福建省宁德市霞浦县2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省宁德市霞浦县2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数（i为虚数单位）,则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．如图,某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90°的扇形,则该几何体的表面积是( )
A.B.C.D.
3．一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫做“球台”,两平行平面间的距离叫做球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台,其直观图如图2,已知杯底的直径为,杯口直径为,杯的深度为,则该卧足杯侧面所在球面的半径为( )
A.B.C.D.
4．设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数为（ ）
A.B.C.D.
5．已知中，，，则的充要条件是( )
A.是等腰三角形B.
C.D.，
6．在边长为3的菱形中,,将绕直线旋转到,使得四面体外接球的表面积为,则此时二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．关于向量,,下列命题中,正确的是( )
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
8．已知A,B,C三点在球O的球面上,且,,若球O上的动点D到点A,B,C所在平面的距离的最大值为,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，则( )
A．B．若，则
C.若，则D．
10．已知单位向量,的夹角为,则以下说法正确的是( )
A.B.
C.D.与可以作为平面内的一组基底
11．如图,四棱锥的底面是梯形,,,2.,,平面平面,,分别为线段,的中点,点是底面内包括边界的一个动点,则下列结论正确的是( )
A.
B.三棱锥外接球的体积为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.若直线与平面所成的角为,则点Q的轨迹长度为
12．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是( )
A.B.的面积为
C.D.点A在点C的北偏西方向上
三、填空题
13．复数（i为虚数单位）,则复数z的虚部为___________.
14．已知向量,满足,,,则__________.
15．已知四面体满足,,则四面体的外接球的表面积是_________.
16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形.内接于下底面圆,且是一个面积为的等腰直角三角形,则该圆柱的体积为_______________.
四、解答题
17．如图,在四边形中,.若,,__________,求的长.
从①,;
②,;
③,这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中并作答.
18．第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办,其标志建筑——世纪馆以“蝶恋花”为设计理念,拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体,屋顶跨度280米,屋面板只有250毫米,相当于一张2米长的桌子,其桌面板的厚度不到2毫米.图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆;图3是场馆的简化图.如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形,,其中米;圆心距米：半径米：椭圆中心P与圆心O的距离米,C、为直线与半圆的交点,.
（1）设,计算的值;
（2）计算的大小（精确到1°）.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,的面积为6.
（1）求a及的值;
（2）求的值.
20．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,,M为AB的中点.
（1）求证：平面PMD;
（2）求证：;
（3）求点A到平面PBC的距离.
21．如图所示1,已知四边形ABCD满足,,E是BC的中点.将沿着AE翻折成,使平面平面AECD,F为CD的中点,如图所示2.
（1）求证：平面;
（2）求AE到平面的距离.
22．在四棱锥中,,,平面,E为的中点,.
（1）求证：平面;
（2）若F为的中点,求F到平面的距离.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
所以在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限.
故选：D.
2．答案：C
解析：由三视图可知,该几何体是半径为1的八分之一球,直观图如图所示.
其表面积.
故选：C.
3．答案：A
解析：如图所示,作出“球台”的轴截面,设球心为O,过O作交于点E,交于点F,
依题意,,,
设球的半径为,则且,
即,解得,
即球面的半径为;
故选：A.
4．答案：D
解析：
5．答案：D
解析：当是等腰三角形时，或或；当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；当时，，即，，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；当时，，即，解得，，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；当时，；当时，即，，根据余弦定理，解得，，，，则，所以，是的充要条件，选D.
6．答案：A
解析：由题意可知,和均为正三角形,
设E为中点,延长,作交于点H,
可得是二面角的平面角,
作的中心F,则F在上,且,
作,,,可知四面体外接球的球心O在上,又,,
在和中,由,,
,,解得,,
,二面角的余弦值为.
故选：A.
7．答案：D
解析：对选项A：取,满足,不成立,错误;
对选项B：当时,当不平行时,,也成立,错误;
对选项C：向量不能比较大小,错误;
对选项D：若,则,正确.
故选：D.
8．答案：B
解析：因为,,所以,则外接圆的半径为,
当点D到平面ABC的距离最大时,D与AB在球的大圆截面且,
所以球O的半径R满足：,
解得,所以球O的表面积为.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：显然，A对，得：或，B错，，，C对，，，D对．故选：ACD
10．答案：ABD
解析：据题意,
因为
所以,所以对
因为,所以,所以B对.
因为
所以,所以C错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D正确
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：易证四边形为菱形,所以,
连接,因为,所以,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
又,所以平面又平面,所以,故A正确;
易证为等腰直角三角形,为等边三角形,且平面平面,
所以三棱锥外接球的球心为等边三角形的中心,所以三棱锥外接球的半径为,
所以三棱锥外接球的体积为,故B错误;
因为,所以为异面直线与所成的角或其补角,
因为,所以,
在中,由余弦定理,得,故C正确;
因为平面,所以为在平面内的射影,
若直线与平面所成的角为,则,
因为,所以,故点的轨迹为以为圆心,为半径的半圆,
所以点Q的轨迹长度为,故D错误.
故选：AC.
12．答案：AC
解析：对于A，因为，点B位于点A的南偏西的方向上，所以，，.又，，，，在，中，，，所以，故A正确；对于B，的面积为，故B错误；对于C，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确；对于D，如图，过点A作于点G，易知，所以，故D错误，故选AC.
13．答案：
解析：因为,
所以复数z的虚部为,
故答案为：.
14．答案：
解析：由已知得,
,
,
.
故答案为：.
15．答案：
解析：在四面体中,,,
将四面体补成长方体,设,,,
则,
设四面体的外接球半径为R,则,
因此,四面体的外接球表面积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示,设圆柱的底面半径为r,高为h,则.
再设的腰长为a,则,
解得,即,
因为,
所以,
所以,.
所以该圆柱的体积为.
故答案为：.
17．答案：选①;选②;选③或.
解析：若选①,在中,
,,,
由正弦定理可知,解得,
又, ,即,
,
在中,,,.
由余弦定理得,解得.
若选②,在中,,,,
由正弦定理得,解得,
在中,,,,
由余弦定理得,即.
若选③,在中,,,,
由正弦定理得,解得,
在中,
由,解得,
则或,
由余弦定理得,
当时,解得,当时,解得,
综上所述：或.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由为等腰梯形中位线,
根据对称性有,
.
（2）由,由（1）知,则.
在中,由正弦定理,
即,
则,
结合（1）可得：,
.
19．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）由已知,,,
且,,,
在中,,
,.
（2）,,
又,,
,,
.
20．答案：（1）见解析;
（2）见解析;
（3）.
解析：（1）,,,M为AB的中点,
且
四边形BCDM为平行四边形
,平面PMD,平面PMD,
平面PMD;
（2）因为平面ABCD,平面ABCD,所以.
由,得.
因为,平面PCD,平面PCD,
所以平面PCD.
因为平面PCD,所以.
（3）如图,连接AC.设点A到平面PBC的距离h.因为,,所以.
从而由,,得的面积为1.
由平面ABCD及,得三棱锥的体积.
因为平面ABCD,平面ABCD,所以.
又,所以.
由,,得的面积为.由,得.
因此点A到平面PBC的距离为：.
21．答案：（1）证明见详解;
（2）
解析：证明：（1）如图,连接,取的中点G,连接,
在四边形ABCD中,由,,E是BC的中点,
易得四边形、四边形均为平行四边形,可得,
,,均为等边三角形,
在等边中,F为CD的中点,可得,且,故,
在等边,G为的中点,故,又平面平面AECD,
平面平面,且平面,故可得：平面AECD,
故：,由,,平面,平面,
故：平面;
（2）如图,连接,取的中点H点,连接,
由（1）得：平面AECD,故,
且易得四边形为平行四边形,,由,可得,
由,且平面,平面,可得平面,
,易得,且H点为的中点,
故,又,且平面,平面,
故平面,易得AE到平面的距离即为点G到平面的距离,
在中,,可得,
即AE到平面的距离为.
22．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在中,,
,,
取中点M,连,,则,
平面,平面,
平面,
在中,,,
.而
,
平面,平面,
平面,
,
平面平面.
平面
平面.
（2）,F为的中点,
,
平面,平面,
.
,且,面,
平面.又
平面,即为三棱锥的高.
,得,
从而,
在中,.
于是,设F到平面的距离为h,
由,即,解得,故F到平面的距离为.