2024年山东省济宁市太白湖新区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省济宁市太白湖新区中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2的平方根是( )
A. 2B. ±2C. 2D. ± 2
2.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. −a2−ab=−a(a−b)
C. (−2a)2÷(2a)−1=8a3D. (a−b)2=a2−b2
4.将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°
5.要使代数式3 x−4有意义，x的取值应满足( )
A. x≥4B. x>4C. x<4D. x≠3
6.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒.试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶.根据题意，可列方程组为( )
A. x+y=193x+13y=33B. x+y=19x+3y=33C. x+y=1913x+3y=33D. x+y=193x+y=33
7.如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′.已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为( )
A. ( 32,12)
B. (32, 32)
C. (12, 32)
D. ( 32,32)
8.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点F，D，点F是BD的中点，连接AF，BD交于点E.若AB=10，CD=4.连接DF，则弦DF的长为( )
A. 2 5
B. 4 5
C. 4
D. 5
9.如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是( )
A. 100B. 99C. 98D. 80
10.小颖用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格，由于粗心，她算错了其中一个y值.则下列结论中，不正确的是( )
A. 2a+b=0
B. 对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立
C. 点A(m−1,y1)，B(m,y2)在抛物线图象上，若y1D. 一元二次方程ax2+bx+c+1=−2有两个不相等的实数根
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2(x−y)+y2(y−x)=______．
12.若关于x的方程x2−x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
13.如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为_____cm2．
14.如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC.若OA=3，则图中阴影部分的面积是______(结果保留π)．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，且△OAB是等边三角形，若AB=6，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷(a+2+52−a)，其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
17.(本小题7分)
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

(1)C组所对应的扇形圆心角为______度；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______人；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生.要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
18.(本小题7分)
如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求AC的长(结果保留π)．
(2)求证：AD平分∠BDO．
19.(本小题7分)
图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩AB的高度进行了测量，图②是其设计的测量示意图.已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米，该小组沿坡度i=1：2.4的斜坡CD行走52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A的仰角为19°．

(1)求平台DE到水平面BC的垂直距离；
(2)求桥墩AB的高度．
(参考数据：sin19°≈0.33，cs19°≈0.95，tan19°≈0.34)
20.(本小题9分)
工厂生产某种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y(件)与售价x(万元/件)之间满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求y与x的函数关系式(不写自变量的取值范围)．
(2)在今年三月份，该产品的售价为35万元/件，该月总利润为450万元．
①求三月份每件产品的成本是多少万元；
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术(算入四月份的总成本)，使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为30万元，且不高于35万元，求这个月获得的利润w(万元)关于售价x(万元/件)的函数关系式，并求出最大利润是多少万元．
21.(本小题9分)
已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DB
(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=6，DE=3，在△DEF旋转的过程中，请直接写出线段BG长度的最小值为______．
22.(本小题11分)
如图，抛物线y= 24x2+bx+c与x轴交于点A(− 2,0)、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x= 2，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AF⊥AD交对称轴于点F，在直线AF下方对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作PQ/​/y轴交直线AF于点Q，过点P作PE⊥DF交于点E，求PQ+PE最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿着x轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点M是新抛物线上一点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为(± 2)2=2，
所以2的平方根是± 2，
故选：D．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a4=a2+4=a6，故A选项错误，不符合题意；
B、−a2−ab=−a(a+b)，故B选项错误，不符合题意；
C、(−2a)2÷(2a)−1=(2a)2−(−1)=(2a)3=8a3，故C选项正确，符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘、除法公式、单项式乘多项式、完全平方公式直接计算进行判断即可．
本题考查同底数幂的乘、除法公式、单项式乘多项式、完全平方公式，熟记计算公式是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠BED=30°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF=75°，
∴∠1=180°−∠BEF=105°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠ABC=∠BED=30°，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−4≥0且x−4≠0，即x>4，
故选：B．
根据“二次根式被开方数不能为负数，分母不能为0”列出不等式并求解即可．
本题考查了二次根式的定义，分母不能为零，掌握二次根式定义和分母不能为零是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
3x+13y=33
综上：x+y=193x+13y=33，
故选：A．
根据题意，列方程求解即可．
此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
7.【答案】D
【解析】解：已知B′A′=BA=1，∠A′OB′=∠AOB=30°，OB′=OB= 3，
做B′C⊥x轴于点C，那么∠B′OC=60°，OC=OB′×cs60°= 32，B′C=OB′×sin60°= 3× 32=32，
∴B′点的坐标为( 32,32).
故选D．
根据旋转的概念“旋转不改变图形的大小和形状”，即可解决问题．
需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，再由三角函数的意义，计算可得答案．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BC，BD⊥AC，
∵点F是BD的中点，
∴BF=DF，∠BAF=∠DAF，
∴AB=AC，BF=CF(等腰三角形三线合一)，
∴DF=12BC，
∵AB=10，CD=4，
∴AD=AC−CD=AB−CD=6，
又∵AB2−AD2=BD2=BC2−CD2，
∴102−62=BC2−42，
解得BC=4 5或BC=−4 5(舍去)，
∴DF=12×4 5=2 5，
故选：A．
连接DF，先根据圆周角定理可得AF⊥BC，BD⊥AC，∠BAF=∠DAF，再根据等腰三角形的三线合一可得AB=AC=10，BF=CF，从而可得DF=12BC，然后利用勾股定理可得BC的长，由此即可得．
本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵第1个图中小正方形的个数是3=22−1，
第2个图中小正方形的个数是8=32−1，
第3个图中小正方形的个数是15=42−1，
第4个图中小正方形的个数是24=52−1，
…
∴第n个图中小正方形的个数是(n+1)2−1，
∴第9个图中小正方形的个数是(9+1)2−1=100−1=99．
故选：B．
根据图形间变化可得第n个图中小正方形的个数是(n+1)2−1，再代入n=9进行计算即可．
此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律．
10.【答案】C
【解析】解：假设三点(0,−3)，(1,−4)，(2,−3)在函数图象上，
把(0,−3)，(1,−4)，(2,−3)代入函数解析式，c=−3a+b+c=−44a+2b+c=−3，
解a=1b=−2c=−3，
函数解析式为y=x2−2x−3，
当x=−1时，y=0，
当x=3时，y=0，
∴y=−2是错误的，
∵−b2a=−−22×1=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，
∴A正确；
∵对称轴为x=1，
∴a+b+c是最小值，
∴对于任意实数m，a+b+c≤am2+bm+c，
∴对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，
∴B正确；
点A(m−1,y1)，B(m,y2)在抛物线图象上，若y1∴m−1>1，
解得：m>2
∴C错误．
把ax2+bx+c+1=−2整理得，ax2+bx+c=−3，
∵4×1×(−3)−(−2)24×1=−4，
∴当y=−3时，抛物线与直线y=−3有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1=−2有两个不相等的实数根．
∴D正确．
故选：C．
假设三点(0,−3)，(1,−4)，(2,−3)在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．
本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，会求二次函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】(x−y)2(x+y)
【解析】解：原式=x2(x−y)−y2(x−y)
=(x−y)(x2−y2)
=(x−y)(x+y)(x−y)
=(x−y)2(x+y)．
故答案为：(x−y)2(x+y)．
先提取公因式(x−y)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】k>−14
【解析】解：∵x2−x=k有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴(−1)2−4×1×(−k)>0，
∴k>−14，
∴k的取值范围为k>−14，
故答案为：k>−14．
根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则Δ=b2−4ac>0，解出k即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ=b2−4ac>0．
13.【答案】2.8
【解析】【分析】
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．
【解答】
解：∵正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，
∴黑色部分的面积约为：4×70%=2.8cm2，
故答案为2.8．
14.【答案】32π−9 34
【解析】解：连接OC，
，
由于折叠，AD=OD，∠ADC=∠ODC=90°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△OCD(SAS)，
∴AC=OC，
∵OC=OA，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠AOC=60°，OC=3，
∴S扇形AOC=60°×π×32360∘=32π，
∵CD=CO⋅sin∠AOC=3 32，
∴S△AOC=12×CD×AO=9 34，
∵阴影部分的面积=S扇形AOC−S△AOC，
∴阴影部分的面积=32π−9 34，
故答案为：32π−9 34．
由于折叠，AD=OD，∠ADC=∠ODC=90°，可证△ACD≌△OCD，所以AC=OC，因为OC=OA，所以△ACO是等边三角形，再求出扇形AOC和△AOC的面积，因为阴影部分的面积=S扇形AOC−S△AOC，可得阴影部分的面积．
本题考查了扇形的面积，关键是掌握扇形面积公式．
15.【答案】−9
【解析】解：根据题意设A(m,km)，则B(−km,−m)，
∵△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=6，
∴m2+(km)2=36，(m+km)2+(km+m)2=36，
解得k=−9，
故答案为：−9．
根据反比例函数的对称性以及等边三角形的性质设A(m,km)，则B(−km,−m)，根据勾股定理得到m2+(km)2=36，(m+km)2+(km+m)2=36，解得k=−9．
本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，发现A、B的坐标特征是解题的关键．
16.【答案】解：原式=(a−3)2a−2÷4−a2+52−a
=(a−3)2a−2⋅2−a(3−a)(3+a)
=(a−3)2a−2⋅a−2(a−3)(a+3)
=a−3a+3，
∵a−12≤1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式a−12≤1成立的正整数，且a−2≠0，a−3≠0，
∴a=1，
∴原式=1−31+3=−12．
【解析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
17.【答案】72 560
【解析】解：(1)本次抽样调查的样本容量是：12÷30%=40(人)，
C组所对应的扇形圆心角的度数为：360°×840=72°，
故答案为：72；
(2)C组人数为：40−4−16−12=8(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×1640=560(人)，
故答案为：560人；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的6名学生恰好为女生的结果有2种，
∴选出的2名学生恰好为女生的概率为612=12．
(1)由D组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C组人数所占比例即可；
(2)总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
(4)画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
18.【答案】(1)解：连接OA，OC，如图，
∵⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵BC⊥AB，
∴OA/​/BC，
∴∠OAC=∠ACB=20°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=140°，
∴AC的长=140π×6180=143π；
(2)证明：由(1)知：OA/​/BC，
∴∠OAD=∠BDA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠BDA，
∴AD平分∠BDO．
【解析】(1)连接OA，OC，利用圆的切线的性质，直角三角形的性质得到OA/​/BC，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和圆的弧长公式解答即可；
(2)利用平行线的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的弧长公式，直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题的关键．
19.【答案】解：(1)作DH⊥BC，垂足为H，

∵i=1：2.4，
∴DHCH=512，
设DH=5x，则CH=12x，
∴CD= DH2−CH2= (5x)2−(12x)2=13x，
∴13x=52，
解得x=4，
∴CH=48米，DH=20米，
答：平台DE到水平面BC的垂直距离为20米．
(2)延长ED交AB于点G，则EG⊥AB，四边形GBHD为矩形．
∴GD=BH，DH=GB，
∴GE=GD+DE=BC+CH+DE=100+48+52=200(米)，
∵∠AEG=15°，
∴tan∠AEG=AGGE≈0.34，
∴AG=GE⋅0.34=200×0.34=68(米)，
∴AB=AG+GB=AG+DH=68+20=88(米)，
∴桥墩AB的高度为88米．
【解析】(1)作DH⊥BC，垂足为H，设DH=5x，则CH=12x，由勾股定理得CD=13x，解方程即可得到结论；
(2)延长ED交AB于点G，则EG⊥AB，四边形GBHD为矩形．由矩形的性质得到GD=BH，DH=GB，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在表格取点(30,40)，(32,36)．
设一次函数的表达式为y=kx+b，将(30,40)，(32,36)分别代入y=kx+b，
40=30k+b36=32k+b，
解得：k=−2b=100，
则一次函数的表达式为y=−2x+100．
(2)①设三月的成本为m万元，
当x=35时，y=−2x+100=30，
由题意可列方程：450=30(35−m )，
解得m=20，
∴三月份每件产品的成本是20万元．
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20−14=6(万元)，
由题意，得w=(−2x+100)(x−6)−450=−2x2+112x−1050(25≤x≤30)，
∵−2<0，所在抛物线的对称轴为直线x=28，
x=25时，w取得最小值，
此时，w=500，
即四月份最少利润是500万元．
【解析】(1)利用待定系数法代入数据求解即可；
(2)①设三月的成本为m万元，列出方程进行计算即可；
②由题意，得w=−2x2+112x−1050(25≤x≤30)，根据x的取值范围进行分析计算即可．
本题考查二次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.【答案】3 6
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
(2)①证明：如图2，设AG与CD相交于点P．
∠ADP=90°，
∠DAP+∠DPA=90°，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE=∠DCF．
∵∠DPA=∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA=∠GPC+∠GCP=90°．
∠PGN=90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠MBN=90°．
∴∠ABM=∠CBN．
又∵∠AMB=∠BNC=90°
∴△AMB≌△CNB(ASA)．
∴MB=NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，
此时△AMB≌△AHD．
∴BM=AH，
AH2=AD2−DH2，AD=AB=6，
∴DH最大时，AH最小，DH=DE=3，
∴BM=AH= 62−32=3 3，
∴BM=AH=4，
由(2)①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小= 2BM=3 6，
故答案为：3 6．
(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题
22.【答案】解：(1)∵抛物线y= 24x2+bx+c与x轴交于点A(− 2,0)、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 2，
∴设抛物线的顶点式为y= 24(x− 2)2+h，
将A(− 2,0)代入得 24(− 2− 2)2+h=0，
∴h=−2 2，
∴y= 24(x− 2)2−2 2= 24x2−x−3 22；
(2)∵y= 24(x− 2)2−2 2= 24x2−x−3 22，
∴D( 2,−2 2)，
∵A(− 2,0)，AF⊥AD，
∴∠ADF=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴F( 2,2 2)，
设直线AF的解析式为y=kx+a，
∴ 2k+a=2 2− 2k+a=0，解得k=1a= 2，
∴直线AF的解析式为y=x+ 2，
设P(p, 24p2−p−3 22)，则E( 2, 24p2−p−3 22)，Q(p,p+ 2)，
∴PQ=p+ 2−( 24p2−p−3 22)=− 24p2+2p+5 22，
PE=p− 2，
∴PQ+PE=− 24p2+2p+5 22+p− 2
=− 24p2+3p+3 22
=− 24(p−3 2)2+6 2，
∴当p=3 2时，PQ+PE最大值为6 2，此时点P的坐标为(3 2,0)；
(3)由题意得，将原抛物线沿着x轴正方向平移 2个单位，新抛物线经过原点，
∴新抛物线的解析式为y= 24(x− 2− 2)2−2 2= 24x2−2x，
作BC的垂直平分线交y轴于H，垂足为G，

∵抛物线y= 24x2−x−3 22与x轴交于点A(− 2,0)、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 2，
∴B(3 2,0)、C(0,−3 22)，
∴OC=3 22，BC= (3 2)2+(3 22)2=3 102，
∵GH垂直平分BC，
∴CG=3 104，G(3 22,−3 24)，
∵cs∠OCB=OCBC=CGCH，
∴CH=15 24，
∴OH=CH−OC=9 24，
∴H(0,9 24)，
设直线GH的解析式为y=px+9 24，
∴3 22p+9 24=−3 24，
∴p=−2，
∴直线GH的解析式为y=−2x+9 24，
联立y= 24x2−2x得y=−2x+9 24y= 24x2−2x，
解得x=3y=9 24−6或x=−3y=9 24+6，
∴M(3,9 24−6)或(−3,9 24+6)，
∵以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形，
∴点N的坐标为(3 2+3,−6−15 24)或(3 2−3,6−15 24).
【解析】(1)设抛物线的顶点式为y= 24(x− 2)2+h，将A(− 2,0)代入求得h的值，即可解决问题；
(2)求出点D( 2,−2 2)，可得△ADF是等腰直角三角形，则F( 2,2 2)，利用待定系数法可得直线AF的解析式为y=x+ 2，设P(p, 24p2−p−3 22)，则E( 2, 24p2−p−3 22)，Q(p,p+ 2)，根据点的坐标表示出PQ、PE，利用二次函数的性质即可求解；
(3)由题意得，将原抛物线沿着x轴正方向平移 2个单位，新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y= 24(x− 2− 2)2−2 2= 24x2−2x，作BC的垂直平分线交y轴于H，垂足为G，根据锐角三角函数可得CH=15 24，则OH=9 24，利用待定系数法求出直线GH的解析式为y=−2x+9 24，联立新抛物线的解析式求出M的坐标，根据菱形的性质即可得点N的坐标．
本题属于二次函数综合题、考查了一次函数的应用、待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数的性质，平移的性质，锐角三角函数，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．x
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−1
0
1
2
3
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y
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0
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每件售价x/万元
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26
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月销售量y/件
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36
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