广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题及答案解析

这是一份广东省普通高中学2024届高三第一次学业水平合格性考试数学试题及答案解析，共11页。试卷主要包含了函数，的最小值为，已知，，，则，已知函数,若，则x＝等内容，欢迎下载使用。

试卷类型：A
2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学
本试卷共4页，共22小题，满分150分.考试用时90分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则集合A的非空真子集有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
2．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．3D．4
4．函数（e为自然对数的底数）在的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数,若，则x＝（ ）
A．－3B．－2C．3D．3或－2
10．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．86B．85.5C．85D．84.5
11．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．若复数，则 .
14．已知角α的终边经过点(3，4)，则csα= .
15．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
16．某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了 人．
17．已知函数，则 ．
18．已知，，则 .
三、解答题：本大题共4个大题，第19-21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
19．在中，内角所对的边分别为，已知，且.
(1)求的值；
(2)求的面积；
20．某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)求，，，；
(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．
21．1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离（单位：m）与车速（单位：km/h）之间满足关系式，其中为常数．试验测得如下数据：
(1)求的值；
(2)请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．
22．如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面，证明：.
（单位：）
60
50
45
60
70
80
80
80
85
90
（单位：）
40
60
60
80
80
55
80
80
70
95
车速km/h
20
100
刹车距离m
3
55
2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学答案及解析
1．B
【分析】根据题意，得到集合，结合非空真子集的概念，即可求解.
【详解】由集合，
所以集合的非空真子集为：，，，，，，共有6个.
故选：B.
2．D
【解析】利用，展开后应用基本不等式可得最小值．
【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．
故选：D．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
3．A
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选:A.
4．B
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可得答案.
【详解】由题知的定义域为，
又因为，
所以为偶函数，即图象关于轴对称，排除A、C；
又，排除D.
故选：B.
5．D
【分析】由的图像，即可得出时的最小值．
【详解】由的图像可知，时，，
所以，
故选：D．
6．A
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】角用弧度制表示为，B、D错误；
终边相同应加上，故C错误．
故选：A．
7．A
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生，
因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是；
对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是；
对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是；
对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是.
故选：A
8．B
【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为，，
又因为，所以，即，
所以.
故选：B
9．C
【分析】分与两种情况，求出答案.
【详解】当时，，解得，不满足要求，舍去；
当时，，解得，满足要求.
故选：C
10．B
【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解.
【详解】从小到大的顺序排列数据为：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，因为，所以这组数据的第70百分位数是.
故选：B.
11．C
【分析】根据幂函数性质，结合已知判断条件间推出关系，进而确定它们的充分、必要关系.
【详解】由，
当时，由幂函数的性质知：必成立，
当时，也有，
∴“”是“”的充要条件.
故选：C
12．B
【分析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．
【详解】∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个打电话给甲的概率为．
故选B．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．##
【分析】利用复数的四则运算与复数模的运算公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
14．
【解析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可
【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，
所以，
故答案：
【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题
15．
【分析】利用三角形面积公式求得，再利用圆锥的侧面积公式即可得解.
【详解】依题意，设圆锥的底面半径，则母线长为，
则，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
16．30
【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.
【详解】高中生中抽取了人，
故答案为：30
17．##
【分析】由指数与对数的运算法则求解．
【详解】，则，
故答案为：
18．
【分析】利用数量积的运算法则将展开，结合求解即可1.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求得正确答案.
（2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】（1）.
.
由正弦定理可得.
（2），
所以的面积.
20．(1)，，，
(2)选择品种，理由见解析
【分析】（1）根据平均数和方差公式求解即可；
（2）比较平均值和方差的大小可得答案.
【详解】（1），
，
，
．
（2）由可得两个品种平均产量相等，
又，，则品种产量较稳定，故选择品种.
21．(1)
(2)超速，理由见解析
【分析】（1）将表格中的数据代入函数的解析式建立方程组即可求得答案；
（2）根据（1）建立不等式，进而解出不等式，最后判断答案.
【详解】（1）由题意得，解得.
（2）由题意知，，解得或（舍去）
所以该车超速．
22．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.
【详解】（1）设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.

（2）因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.