山东省日照市东港区田家炳实验中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．
2. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ）
A. 1，，B. 2，3，C. 6，8，10D. 4，，5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可解答．
【详解】A、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
D、，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解；添加条件，再由，不能根据一组对边相等，另一组对边平行证明四边形是平行四边形，故A符合题意；
添加条件，再由，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故B不符合题意；
添加条件，由得到，进而得到，则，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故C不符合题意；
添加条件，再由不能根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选；A．
4. 把根号外的因式移入根号内得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
5. 如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
6. 已知中，，若，，则的面积是（ ）
A. 48B. 24C. 16D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、运用完全平方公式进行运算、三角形面积公式等知识，结合题意确定是解题关键．首先根据勾股定理可得，然后将其整理为，进而解得，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意，中，，，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴的面积．
故选：D．
7. 如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可．
【详解】解：，
，
∵根据网格特点可知，为直角三角形，
∴边上的高为：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的有关计算，根据网格特点得出为直角三角形，是解题的关键．
8. 如图，已知，以，为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，连接，若，，，的值为（ ）
A. 82B. 81C. 41D. 62
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据证明求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可；
【详解】连接，
∵和都为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
故选：A．
9. 如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为16. 则△DOE面积是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．
【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，
则EM∥AN，
∴，
∴EM=AN，
由题意SABCD=16
∴2××AN×BD=16，
∴SOED=×OD×EM=××BD×AN=SABCD=2．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合了平行线的性质以及面积公式．
10. 如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证．
【详解】解：∵平行四边形中，E是的中点，
∴，，，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故①正确；
若，
则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，
E点到B、C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，
由，可得BN=CN，
所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②正确；
若，则BN=2CN，
如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，
∴DQ=2EP，
∵，
∴，
故③正确；
若，
因为，
所以，
分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴,
∴，
又∵，
∴,
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性质进行角或边之间关系的转化等，本题对推理分析能力要求较高，属于中等难度偏上的题目，对学生的综合分析能力有一定的要求．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 化简﹣（）2，结果是____．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据3x-5≥0,求出x的取值范围，从而可判断出3x-1>0,然后根据二次根式的性质化简即可.
【详解】∵3x-5≥0,
∴,
∴3x-1>0,
∴﹣（）2
=﹣（）2
=|3x﹣1|﹣（3x﹣5）
=3x﹣1﹣3x+5
=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围是解答本题的关键.
12. 中，，高，则的长为___________．
【答案】4或14##14或4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，是锐角三角形时，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得
，
∴，
∴的长为；
如图，是钝角三角形时，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得
，
∴，
∴的长为．
故答案为14或4．
13. 如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
14. 如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为1．
15. 圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为______．
【答案】20cm##20厘米
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
（cm）．
故蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm．
故答案为：20cm．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
16. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
【答案】10
【解析】
【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
详解】解：，
（为正整数），
，
，
，
，
则，
故答案：10．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
三、岸答题（共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）利用二次根式的混合运算法则即可求解；
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
18. 如图，梯子靠在墙上，梯子米，梯子的顶端B到地面墙根O的距离为12米．现将梯子的顶端B下降2米至，梯子的底端A向外移动到，求的值．
【答案】4米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中运用，解题的关键是求得，的长．在中，根据，的长可以求得的长，在中，根据和的长可以求得的长，即可求得的长，即可解题．
【详解】解：中，，，
，
∴中，，，
，
米．
答：的长为4米．
19. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形
（2），求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
20. 如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．

【答案】20000元
【解析】
【分析】作点关于的对称点为，连接交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，分别利用勾股定理求出和的长即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，点即为水厂的位置．
分过点作交的延长线于点，过点作于点，

则，，．
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得．
∴（元）．
故铺设水管的总费用为20000元．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
21. 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知 x+y=-6，xy=4，求的值.
小刚是这样解的，把x+y=-6，xy=4代入，得，显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】利用二次根式的性质结合x,y的关系得出它们的符号,进而化简求出答案.
【详解】解：∵x+y=-6，xy=4，
∴x＜0，y＜0，
∴
把x+y=-6代入，xy=4代入原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算,正确掌握二次根式的性质是解题关键.
22. 如图，已知四边形的对角线与相交于点，且，、分别是、的中点，分别交、于点、．你能说出与的大小关系并加以证明吗？
【答案】相等；理由见解析
【解析】
【分析】取的中点，连接，，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．
【详解】解：相等．理由如下：
取的中点，连接，，
∵、分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，，
∵，
∴．
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】注意此题中的辅助线：构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．
23. 如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．

求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件证即可；
（2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证．
【小问1详解】
证明：∵是等腰直角三角形，
，，
∵，∴，
，
在和中，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键．
24. 已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．

（1）如图1，
①求证：．
②线段之间存在的数量关系为_________．
（2）如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①先判断出，得出，即可得出结论；
②先判断出，进而判断出，再用勾股定理得出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出的周长为，进而判断出当时，最短，即可得出结论．
【小问1详解】
①证明：，
，
在和中，
，
，
；
②；
证明：在中，，
，
由（1）知，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由（1）知，，
∵，，
∴，
．
【小问2详解】
解：在中，，
，
的周长为，
要使的周长最小，则最短，
当时，最短，
在中，，根据勾股定理得，，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出时，最短是解本题的关键．