2023年江苏省连云港市中考一模数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年江苏省连云港市中考一模数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体粉笔盒，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．x2y+2yx2=3x2y B．3y2+4y3=7y5C．a+a=a2D．2x-x=2
4．将不等式x-3＞0的解集表示在数轴上，正确的是（）
A．B．
C．D．
5．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2=41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）
A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变
6．如图，在中，D是边上的点，，，则与的面积比是（ ）
A．1:2B．1:3C．1:4D．
7．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
8．如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲作法正确，乙的作法错误D．甲的作法错误，乙的作法正确
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．要使式子有意义，则的取值范围是__________．
10．因式分解：______．
11．粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨。该数据可用科学记数法表示为____________万吨。
12．代数式与代数式的值相等，则x＝______．
13．将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为________．
14．如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且，那么底部B到球体P之间的距离是_________米（结果保留根号）
15．如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________．
16．如图，已知为等边三角形，，将边绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，点E为上一点，且．连接，则的最小值为__________________．
三、解答题（本题共11小题，共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．解不等式组：
20．为了解学生对校园安全知识掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为分）进行统计学处理：
【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：（单位：分）
乙组名同学中成绩在分之间数据：（满分为分，得分用x表示，单位：分）
【整理数据】（得分用表示）
（1）完成下表
【分析数据】请回答下列问题：
（2）填空：
（3）若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？
21．如图，A转盘被等分成三份，并分别标有数字1，2，3；B转盘被分成如图所示的三份，分别标有数字1，2，3．
（1）转动一次A盘，指针指向3的概率是；
（2）转动一次A盘，记录下指针指向的数字，再转动一次B盘，也记录下指针指向的数字．请用列表或画树状图的方法求两个转盘的指针指向的数字都是3的概率．
22．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，与相交于点M．．
（1）求证：；
（2）求证：．
23．某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．
（1）求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
（2）根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？
24．在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：，，）。
25．如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为该抛物线上一动点．
①当点在直线下方时，过点作轴，交直线于点，作轴．交直线于点，求的最大值；
②若，求点的横坐标．
27．问题提出：
（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图①，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点．若，求的长；
变式应用：
（2）如图②，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为．
拓展应用：
（3）如图③，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路（即），现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路（即、、），并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．
①则的度数为；
②求四边形的面积．
分数/班级
甲班（人数）
乙班（人数）
平均分
中位数
众数
甲班

乙班

参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．B
【解析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可。
【详解】解：的相反数是．故选：B．
【点睛】本题考查相反数，熟记相反数的定义是解题的关键。
2．D
【解析】图中圆柱的俯视图是圆，长方体的俯视图是长方形，据此选出即可。
【详解】解：图中正立摆放的圆柱的俯视图是圆，长方体的俯视图是长方形，故选：D．
【点睛】本题考查三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键，注意培养空间想象能力。
3．A
【解析】根据同类项定义，两个单项式，所含的字母相同，相同字母的指数也相同，则称这两个单项式是同类项，同类项可以进行合并．
【详解】A．，故A正确；
B．与不是同类项，不能合并，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【解析】先求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集．
【详解】解：，解得：，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
5．B
【解析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【详解】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．C
【解析】根据相似三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
∵反比例函数I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，I的取值范围是，故D符合题意．
故选：D．
8．A
【解析】
【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线；
对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
乙正确．
理由：∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．##
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得．
【详解】由题意得：
2-x≥0，
解得：x≤2
故答案为x≤2．
10．
【解析】
【分析】先提出公因式，之后利用完全平方公式即可分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：该数据68653万吨用科学记数法表示为万吨．
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
12．7
【解析】
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．##40度
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∵是的外角，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．解题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
14．
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】解：∵点P是线段上的一个黄金分割点，且米，，
∴米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】连接，由点是的中点得到，，由勾股定理得到，求出，，，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，
点是的中点，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
阴影面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，平移的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握扇形面积的计算公式是解答本题的关键．
16．##
【解析】
【分析】过E作，交于H，根据等边三角形的性质和旋转的性质，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例定理，得到，得到，取的中点P，连接，可得点E在以H为圆心，为直径的弧上运动，当B、E、H三点共线时，的长最小，过点B作于Q，利用勾股定理求出，即可得到的最小值．
【详解】解：如图，过E作，交于H，
为等边三角形，
，
将边绕点A顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
取的中点P，连接，
，即点H为的中点，
，
，
点E在以H为圆心，为直径的弧上运动，
为定值2，
当B、E、H三点共线时，的长最小，
过点B作于Q，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
即的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，根据题意正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（本题共11小题，共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．
【解析】
【分析】利用立方根的意义，零指数幂法则，负整数指数幂运算法则将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算．掌握立方根的意义，零指数幂法则，负整数指数幂运算法则是解题的关键．
18．，11
【解析】
【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可；
【详解】解：原式=，
将a=5代入得：原式=2×5+1=11.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键．
19．
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个一元一次不等式的解集是解题的关键．
20．（1），（2），（3）人
【解析】
【分析】（1）根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案；
（2）根据中位数、众数的定义可求出、的值；
（3）求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再乘总人数即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有，个，
故答案为：，；
【小问2详解】
甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数，
将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数，
故答案为：，；
【小问3详解】
（人），
答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人．
【点睛】本题考查中位数、众数，频数分布表，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提．
21．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：转动一次A盘，指针指向3的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是3的结果有2种，
∴两个转盘的指针指向的数字都是3的概率为：．
【点睛】本题考查树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质可得，然后根据可得，最后根据等量代换即可证明结论；
（2）直接运用全等三角形对应角相等的性质即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．
23．（1）每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元
（2）购进甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元
【解析】
【分析】（1）设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设销售甲菜品份，总利润为元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，
根据题意，得：，解得：，
答：每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元；
【小问2详解】
设销售甲菜品份，总利润为元，
根据题意，得：，
解得：，
，
∵，
∴随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为：（元），
此时销售乙菜品：（份），
答：销售甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
24．（1）（2）15.5
【解析】
【分析】（1）根据题意可以求得圆心的坐标和圆的半径，从而可以求得圆形区域的面积；
（2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，由，根据图形得到则，解方程求得x，进而解直角三角形求得
【小问1详解】
连接，则轴，
∴，
设为由O、B、C三点所确定圆的圆心，
则为的直径，
由已知得，由勾股定理得，
∴半径，
∴；
【小问2详解】
过点A作轴于点D，依题意，得，
在中，设，
则，
∴，
∴，
由题意得：，
则，
解得：，
在中，有，即，
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形以及圆的面积计算等知识．熟练掌握圆由半径和圆心确定是解答本题的关键．
25．（1）（2）（3）存在，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，则点向右平移个单位向下平移个单位得到点，进而求解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴，
∵，在一次函数图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
设直线交轴于点，
当时，，解得：
∴点，
设点，
∵面积为，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
【小问3详解】
存在，理由：
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
直线的解析式为，
设点，
∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用点坐标平移的规律：左减右加纵不变，上加下减横不变解决问题．
26．（1）（2）①；②
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由直线的表达式知，其和轴负半轴的夹角为，即，则，进而求解；
②作点关于轴的对称点，则，用解直角三角形的方法求出，进而求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
①∵抛物线的解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，点，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，作轴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最大值为；
②作点关于轴的对称点，连接、，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线与轴交于点，
∴，
∴，
当点在轴的正半轴时，，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：（此时是钝角，不合题意，舍去），（舍去），
当点在轴的负半轴时，，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍去），
综上所述，点的横坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，二次函数与一次函数的交点坐标，对称的性质，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和，勾股定理，三角函数定义的应用，二次函数的最值等知识点，运用了分类讨论和等积法的思想．解题关键是正确添加辅助线构造等角和等积法的运用．
27．（1）；（2）；（3）①；②平方米
【解析】
【分析】（1）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图②，延长交于，延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，同理，，根据全等三角形的性质得到，求得正方形的面积，于是得到结论；
（3）①如图③，连接，根据勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，推出是所在圆的直径，是等腰直角三角形，得到点，，，四点共圆，，圆内接四边形的性质得到的度数；
②根据三角形的面积公式得到；根据旋转的想得到，，，延长交于，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不合题意，舍去），
∴的长为；
（2）解：如图②，延长交于，延长交于，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
在和中，
，
∴，
∴，，
和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵的面积为，，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的面积为：，
故答案为：；
（3）如图③，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是所在圆的直径，是等腰直角三角形，
∴点，，，四点共圆，，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵是等腰直角三角形，
∴，
把绕着点逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴∠，，
∴，
∴，
延长交于，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴（平方米）．
【点睛】本题是圆的综合题，考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键。