高一下学期期中数学试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章、第八章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若a=0，则a=0；②若a=b，则a=b或a=−b；③若a//b，则a=b；④若a//b，b//c，则a//c.其中正确的说法有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）复数z=1−2i，则（ ）
A．z的实部为−1B．z的虚部为−2
C．z的虚部为−2iD．z的虚部为1
3．（5分）（2024·山东烟台·一模）设a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若a // α,b // α，则a // b
B．若a,b与α所成的角相等，则a // b
C．若α⊥β,a // α,b // β，则a⊥b
D．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，则a⊥b
4．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知复数z=1+2i1−i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（5分）（23-24高三下·陕西安康·开学考试）已知向量a=2,0，b=6,8，c=ta+b，a,c=b,c，则t=（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（5分）（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为33，则该物件的高为（ ）
A．32B．1C．2D．3
7．（5分）（23-24高三下·安徽·阶段练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=13c，D为边BC上一点，CD=2BD=2，AD=3，则△ABC的面积为（ ）
A．34B．34C．334D．332
8．（5分）（2024·四川·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是该正方体对角线BD1上的动点，给出下列三个结论：
①AC⊥DP；
②点P到直线AC的距离的最小值是66；
③当BD1=4BP时，三棱锥P−ABD外接球的表面积为25π16．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．平行于同一直线的两直线平行
10．（5分）（2024·辽宁·一模）已知z满足z1−i=z+5i2−i，则（ ）
A．z=−4+i
B．复平面内z对应的点在第一象限
C．zz=17
D．z的实部与虚部之积为−4
11．（5分）（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形ABCDEF，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，AP=xAB+yAD，x，y∈R.（ ）

A．AD−BE+CF=0B．存在点P，使x=y
C．若y=34，则点P的轨迹长度为2D．AP⋅AB的最小值为−2
12．（5分）（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，D是BC的中点．则下列判断正确的是（ ）

A．A1B∥平面AC1DB．异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010
C．A1D⊥BCD．平面ADC1与平面ABB1所成角的正弦值为53
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为5+3i，OB与OA关于y轴对称，则点B对应的复数是 ．
14．（5分）（2024高一下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=2,BC=3,∠ABC=60∘，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM=λAB+μBC，则λ+μ= .

15．（5分）（23-24高三上·浙江杭州·期末）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=70°，∠BDC=30°，CD=108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为 米.（结果保留整数，参考数据：cs80°≈0.174）
16．（5分）（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AD1和B1C1上．给出下列四个结论：
①MN的最小值为2；
②三棱锥N−MBC的体积为43；
③有且仅有一条直线MN与AD1垂直；
④存在点M，N，使△MBN为等腰三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高一下·甘肃临夏·期末）已知复数z=m2−4+m2+2mi，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围．
(1)z是纯虚数；
(2)z对应的点在复平面的第三象限．
18．（12分）（23-24高二上·浙江·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分别为AC，BC上的两点AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于点P．

(1)求AM的值；
(2)求证：AM⊥PN．
19．（12分）（22-23高一下·河南·期中）已知2−i是关于x的方程x2+mx+n=0m,n∈R的一个根，其中i为虚数单位.
(1)求m+2n的值;
(2)记复数z=m+ni，求复数z1+i的模.
20．（12分）（22-23高一下·河南·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段AA1的中点，平面α过点D1、C、E.
(1)画出平面α截正方体所得的截面，并说明原因；
(2)求（1）中截面多边形的面积；
(3)平面α截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：V棱台=13ℎS′+S′S+S）
21．（12分）（2024高二·全国·专题练习）△ABC中，AB=2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．
(1)若sin∠ABC=55，求cs∠BAC；
(2)若AD=AC，且△ABC的面积为7，求BC．
22．（12分）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥P−ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC．

(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角B−AP−C的余弦值；
(3)求点C到平面APB的距离．