【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）黄金卷08及答案

这是一份【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）黄金卷08及答案，共23页。
（新高考Ⅱ卷专用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，，则（ ）.
A．B．C．D．
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是B．z的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第一象限D．
3．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（ ）

A．B．C．D．
6．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Kch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系
A．B．
C．D．
8．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则为定值B．若，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若，则直线l与圆C相离D．是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
10．下列命题中是真命题的是（ ）
A．直线恒过定点
B．“”是“”的必要不充分条件
C．已知数据，，…，的平均数为，方差为，则数据，，…，的平均数和方差分别为，
D．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是9
11．正方体的棱长为2．点P在正方体的体对角线上（包含端点），点Q在正方体的棱上（包含端点），则（ ）
A．直线与的距离为2
B．点P在上运动，点Q在上运动时，的最小值为
C．当点P、Q分别为、的中点时，到面的距离为1
D．当点Q为棱的中点，点P在上运动时，存在点P，使得面
12．已知函数，是定义域为的奇函数，的图像关于直线对称，函数的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．函数的图像关于点对称
C．若，则
D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）
14．已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为 .
15．已知，则 ．
16．已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论：
①；
②是上的偶函数，
③若，则；
④函数在上是减函数.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
18．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．
(1)记平面交于点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
20．某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准
(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分）
(3)在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率．
21．已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在区间上存在唯一零点，求证：.
调查评分
心理等级
A
参考答案：
1．C
【分析】解一元二次不等式得集合，解对数不等式得集合，然后由交集定义计算．
【详解】由题意，，所以．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是掌握对数函数性质，确定集合的元素．
2．C
【分析】利用复数除法法则计算出，进而得到z的实部和虚部，求出模长，及共轭复数对应的点所在的象限，选出正确答案.
【详解】由题设，
，,
A选项，z的实部是，故A错误；
B选项，z的虚部是，故B错误；
C选项，复数对应的坐标为，在复平面内对应的点在第一象限，故C正确；
D选项，，故D错误.
故选：C
3．D
【解析】求出的值，取，然后对函数在区间上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值.
【详解】由于函数的最小正周期为，则，.
不妨取，则.
若函数在区间上单调，则，
若函数在区间上先增后减，
则；
若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为.
，综上可知，的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题.
4．A
【分析】根据函数奇偶性可排除D，取特殊值代入即可排除BC，即可得解.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
故函数为偶函数，排除D；
因为，排除C；
而，排除B.
所以A为正确选项，
故选：A.
【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像，奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.
5．B
【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.
【详解】由题意知：，
又，，即，
由三点共线，可得，即.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.
【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，
由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，
即经过4次操作之后所得图形的面积是.
故选：A
7．C
【分析】根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f（2018），f（2019），f（2020）的大小．
【详解】∵函数 f （x）满足：
①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；
②f（x+4）＝f（x），故函数的周期为4；
③x1，x2∈[1，3]时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数；
故f（2018）＝f（2），
f（2019）＝f（3），
f（2020）＝f（0）＝f（2），
故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题．
8．C
【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此．，．可得，结合余弦函数运算求解．
【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，
因为，则四边形为矩形，
所以，
则，．
．
．
即，
则，
因为，则，
可得，即，
所以，
即双曲线离心率的取值范围是，
故选：C．
9．ABD
【分析】利用圆心到直线的距离，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用判断C；利用直线与轴的交点，判断D.
【详解】A. 若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为，即，故A正确；
B.弦长，当时，，故B正确；
C.联立方程，，得，
，当时，
整理为恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；
D.直线与轴的交点是，当时，在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【解析】A．化简直线方程，得到直线所过的定点；B．根据与的互相推出情况，分析出是何种条件；C．根据平均数与方差的线性变化关系分析结论是否正确；D．根据条件分析出直线过圆心，由此代入圆心坐标至直线方程中，再根据基本不等式可求解得的最小值.
【详解】A．即为，所以直线过定点，故正确；
B．当时，；当时，不一定成立，例如时，所以“”是“”的充分不必要条件，故错误；
C．根据平均数与方差的线性变化关系可知C正确；
D．因为圆的方程为，所以半径为，由题意可知直线过圆的圆心，
所以，所以，所以，
取等号时，故正确，
故选：ACD.
11．BCD
【分析】作出直线的中垂线，进而判断A,B，通过线面垂直的证明可以判断C和D.
【详解】如图：
当分别为的中点时，取中点，连接，则，易知，所以，则四边形为平行四边形，所以.易知，而平面，平面，则,又，所以平面，则，又，所以.又因为，所以.于是PQ是与的垂线段，且.故A错误，因为连接两条异面直线上两点的线段中，垂线段的距离最大，故B正确；
而此时PQ到面ABCD的距离，故C正确；
由前面的证明可知，此时平面，，所以平面，故D正确.
故选：BCD.
12．ABC
【分析】根据奇偶性及对称性得到的周期性，令，则关于点对称，即可得到，从而得到，即可得到的对称性，再根据的奇偶性得到的周期性，最后根据周期性判断C、D.
【详解】解：对于A：因为是定义域为的奇函数，所以，
又的图像关于直线对称，所以，即，
所以，则，即函数的一个周期为，故A正确；
对于B：令，则关于点对称，
所以，即，即，
所以，即的图像关于点对称，故B正确；
对于C：因为是定义域为的奇函数，所以，又的图像关于点对称，
所以，所以，即函数的一个周期为，
所以，又，，
所以，即，所以，故C正确；
对于D：因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，即，所以，
所以，故D错误；
故选：ABC
13．
【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有项，然后写出第一项二项展开式的通项，由的指数为2求得值，则答案可求．
【详解】解：，
仅在第一部分中出现项的系数．
再由，令，可得，
项的系数为．
故答案为45．
【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
14．6
【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列数列的对称性，可得到0，，从而得出结果.
【详解】因为，
所以，又，
所以0，所以，则，
故答案为：6.
15．
【分析】由诱导公式化简得，平方后计算得，从而计算出，再由诱导公式以及余弦的二倍角公式代入求解得答案.
【详解】，则，所以，因为，所以，，则.
故答案为：
16．①③④
【分析】通过对分别赋值，逐个分析四个结论.
【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确；
对于②，令，则，，
由当时，，所以，所以，得，
故②错误；
对于③，令，则，得，
令，则，得，
故③正确
对于④，设，则，
当时，，所以，
由已知得，
所以，故④正确.
故答案为：①③④
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据作差计算可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和，即可得证.
【详解】（1）解：因为，
当时，，
当时，，
所以，
而当时，也成立，∴ ．
（2）解：由（1）可得 ，
∴
.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即．
因为在中，，
所以．
又是锐角，所以．
（2）由正弦定理得，
则，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面积的取值范围为．
19．(1)证明见解析
(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，理由见解析
【分析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接、、，推导出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：连接、、，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为四边形是边长为的菱形，则，
又因为，则为等边三角形，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，
，
则，
取，则，，所以，，
由题意可得，
整理可得，即，因为，解得，
故当点为线段上靠近点的三等分点时，二面角的正弦值为.
20．(1)，
(2)不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据调查评分在中的市民有200人，且频率为可求出的值，再由各组频率和为1列方程可求出的值；
（2）根据频率分布直方图结合平均数的定义求出调查评分的平均值，再计算出心理健康指数比较即可；
（3）根据频率分布直方图结合分层抽样的定义求出抽取的调查评分在和中的人数，然后根据相互独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）由已知条件可得，
又因为每组的小矩形的面积之和为1.
所以，解得；
（2）由频率分布直方图可得，
.
估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，
所以市民心理健康指数平均值为.
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
（3）由（1）知：，则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人，
设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”.
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以.
故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为.
21．(1)；
(2)存在，N（0，1）.
【分析】（1）根据焦距求出c，再将点P的坐标代入椭圆方程，进而求得答案；
（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据得到点N在以AB为直径的圆上，得到，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题.
【详解】（1）由焦距为2得，又因为P（，－）在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以椭圆C的方程为：．
（2）假设在y轴上存在定点N，使得恒成立，设N（0，），A（，），B（，）.
①当直线l的斜率存在时，设l：，由整理得，，，．
因为，所以，而点M为线段AB的中点，所以，则点N在以AB为直径的圆上，即．
因为，
所以
，
∴解得，即存在N（0，1）满足题意.
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足.
综上，存在定点N（0，1），使得恒成立.
【点睛】本题需要解决两个问题：首先，说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.
22．(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）对求导得，所以首先分和两种情况，在讨论时，以的两个零点为分界点又可以分三种小情况来讨论，根据导数与原函数单调性的关系即可求解.
（2）由题意可得，若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，连续求导即可得证.
【详解】（1）对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：
情形一：当时，有，令，解得，
所以当时，有，此时单调递减，
当时，有，此时单调递增；
所以在单调递减，在单调递增；
情形二：当时，令，解得，
接下来又分三种小情形来讨论的单调性：
情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；
情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；
情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：
由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以由题意，
又因为在区间上存在唯一零点，
所以存在唯一的，有，化简得，
若要证明，则只需，即只需，
不妨设，求导得，
令，继续求导得，
所以当时，单调递增，
所以，
所以当时，单调递增，
所以，
即当时，有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则.
【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是明确含参的函数的单调性首先要分类讨论，
在讨论时，通过比较的两个零点的大小关系可知又要分三种小情况来讨论；
而第二问的关键是首先得到，然后分析出只需证明即可，
对此构造函数，连续求导即可顺利得证.