江西省宜春市高安市第二中学、第四中学联考2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市高安市第二中学、第四中学联考2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
下册第十六~十七章
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．2，3，D．9，40，41
3．若，则a的值是（ ）
A．B．C．3D．9
4．在等腰直角三角形中，，，，的对应边长分别为a，b，c，则下列式子成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是0，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高为．若铅笔的长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．使代数式有意义的x的取值范围是 ．
8．试写出一组勾股数 ．
9．已知x，y是实数，且满足，则的值为 ．
10．如图，一艘小船以15海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以8海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里．
11．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），m表示物体的质量（单位：千克），v表示物体的运动速度（单位：米/秒），现一个运动的物体的质量是10千克，动能是1000焦耳，则该物体的运动速度是 米/秒．
12．如图，有一块直角三角形的菜地，记为，测量得直角边，直角边．现要将菜地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，则扩充后的等腰三角形的周长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：．
（2）如图，在中，，，求的面积．
14．已知，．求．
15．如图，这是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度、A在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中作，使B，C在格点上，且三边的长为不相等的无理数．
(2)在图2中作一个面积为的等腰直角三角形，P，Q在格点上．
16．淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数．
(1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果．
(2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由．
17．如图，这是某推车的简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），按照设计要求需满足，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，A，B，C，D四点都在格点（小正方形的顶点）上，连接，，．
(1)求，和的长．
(2)仔细观察（1）中的运算过程，在（m，n为大于0的实数）的条件下，若代数式的值最小，直接写出m，n的值．
(3)连接，求四边形的面积．
19．课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用
（2）在图1中，若，，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
20．一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示，小敏和小云想测钢索的长度．她们测得为．由于B，D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点B与点C之间的距离约为．已知B，C，D三点共线，，求钢索的长，（结果保留根号）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板的边长分别为________，________．
(2)求剩余木料（即阴影部分）的面积．
(3)如果木工师傅想从剩余的木料中截出边长为的正方形木板，那么最多能截出________块木板．
22．阅读材料：在二次根式运算中，若两个二次根式的乘积不含根号，则称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个二次根式是另一个二次根式的有理化因式，例如：，则称与互为有理化因式；，则称与互为有理化因式．因此，我们可以利用互为有理化因式的特征把分母中的根号或根号中的分母化去，如，，这一过程叫做分母有理化．
(1)的一个有理化因式是________．分母有理化：________．
(2)已知，求的值．
(3)计算：．
六、解答题（本大题共12分）
23．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B． ，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C． 被开方数里含有能开得尽方的因数；故本选项不符合题意；
D． 符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、，故能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，故不能构成直角三角形，故B符合题意；
C、，故能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，故能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二次根式的加法，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的加法，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，，
解得，，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意，可得为斜边，为直角边，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在等腰直角中，的对应边分别是，
∴为斜边，为直角边，
∴，，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可．
【解答】由题意得，，
∴，
∴点D表示的数，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：；
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为，
即铅笔在笔筒外面最长不超过，
所以这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是．
故选：B．
7．
【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
∴
故答案为：．
8．3、4、5（答案不唯一）．
【解答】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3，4，5．
故答案为：3、4、5（答案不唯一）．
9．1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，代数式求值．解题的关键在于求解的值．由，可知，则，代入计算求解即可．
【解答】解：∵x，y是实数，且满足，
∴，
解得：，
则，
∴，
故答案为：1．
10．34
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是关键．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里），
根据勾股定理得：（海里），
即离开港口2小时后，两船相距34海里．
故答案为：34．
11．
【分析】本题主要考查了算术平方根和二次根式的应用，解题的关键是根据题目中给出的等式变形为，然后代入数据进行计算即可．
【解答】解：∵，千克，焦耳，
∴（米/秒）．
故答案为：．
12．或或．
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
由勾股定理可得，则由题意可分当时，当时和当，然后分别求解即可．
【解答】解：在中，两直角边，，
∴，
则根据题意可分①当时，如图所示：
∴，
，
则的周长为：；
②当时，如图所示：
∴，
，，
，
则的周长为：；
③当时，如图所示：
设，则，
，
，，
即，
解得；，
∴
故的周长为：．
综上所述，扩充后的等腰三角形的周长为或或．
故答案为：或或．
13．（1）；（2）60
【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握运算法则和勾股定理，数形结合，作出辅助线．
（1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【解答】解：（1）
；
（2）过点A作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∴．
14．20
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，先求出，然后将变形为，整体代入求值即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理．
（1）根据要求，结合勾股定理作图即可；
（2）作直角边长为的等腰直角三角形即可．
【解答】（1）解：如图，即为所求作的三角形．

，，，
∵，
∴为直角三角形；
（2）解：如图，即为所求作的三角形．

，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
16．(1)
(2)嘉嘉的说法对，理由见解答
【分析】本题考查了根据二次根式的性质，二次根式加减混合运算．
（1）根据二次根式的性质运算即可；
（2）二次根式加减混合运算法则计算即可．
【解答】（1）解：依题意，得；
（2）解：嘉嘉的说法对，理由如下：
依题意，得，
，与是同类项，
故嘉嘉的说法对．
17．该推车符合设计要求，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得即可得答案．
【解答】∵，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴该推车符合设计要求．
18．(1)，，
(2)
(3)14
【分析】（1）根据勾股定理求出，和的长即可；
（2）观察解析（1）的运算过程和结果，得出答案即可；
（3）利用割补法求出四边形的面积即可．
【解答】（1）解：，
，
；
（2）解：观察（1）中的运算结果可知，，当时，与n的值越接近时，的值越小，
∴当时，最小．
（3）解：，
即四边形的面积为14．
19．（1）见解析；（2）9；（3）
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是数形结合．
（1）根据大正方形的面积的两种表示方法四个直角三角形的面积小正方形的面积，列式证明即可；
（2）先根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
【解答】（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积，
，
．
（2）由勾股定理得，
∴小正方形的面积．
（3）大正方形的面积为：，
大正方形的边长：．
20．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，先根据三角形外角性质求出，得出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可．
【解答】解：，
，
∴，
．
，
，
，
根据勾股定理，得，
在中，，
．
答：钢索的长度是．
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的应用；
（1）根据二次根式的性质化简，可得答案；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
【解答】（1）解： ，，
故答案为： ，；
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积，
（3）解：矩形的长为，宽为，
∵，，
∴最多能截出2块木板．
故答案为2．
22．(1)；
(2)
(3)2025
【分析】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
（1）根据题干信息找出的有理化因式，按照分母有理化的方法求解即可；
（2）先求出，再根据计算即可得到结果；
（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解答】（1）解：的一个有理化因式是；
；
（2）解：∵
，
又∵，
∴，
∴．
（3）解：
．
23．(1)点P的坐标为
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论．
（1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标；
（2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）∵，，
∴
∵将沿折叠，点C落在点处
∴，，
∴
设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为；
（2）∵
∴
∵沿将折叠得，
∴
∴
∴
设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴的面积；
（3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F，
∵，
∴
∴四边形是长方形
∴
当时，
∴，
由折叠得，
∴
∴
∴设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
由折叠得，
∴
∴
∴设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．