高考数学专题三数列　微专题22　数列的递推关系课件PPT

这是一份高考数学专题三数列　微专题22　数列的递推关系课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了n＋1－1，n－2n，·2n－2n－3，典例3，跟踪训练3，所以a1＝1，故选项D正确，故选项B错误，＋4n－6，又a1－4＋6＝3等内容，欢迎下载使用。

数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查.难度中等，但有时在同一个题目中会涉及多种方法，综合性较强.
考点一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
典例1　 (1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1，则an＝__________.
由题意知an＋1＝2an＋1，在等式两边同时加1得an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，
∴an＋1＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－1.
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，则an＝________.
设an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，对比系数求得λ＝－1，∴数列{an－3n}是以a1－3＝－2为首项，2为公比的等比数列，an－3n＝(－2)·2n＝－2n，∴an＝3n－2n.
跟踪训练1　(1)已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1，则an＝______________.
由题意知an＋1＝2an＋2n＋1，等式左右同加2(n＋1)＋3得an＋1＋2(n＋1)＋3＝2an＋2n＋1＋2(n＋1)＋3＝2an＋4n＋6＝2(an＋2n＋3)，
∴an＋2n＋3＝3·2n，化简得an＝3·2n－2n－3.
3·2n－n2－n－3
(2)已知在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋n2－n＋1，则通项公式an＝________________.
设an＋1＋x(n＋1)2＋y(n＋1)＋z＝2(an＋xn2＋yn＋z)，
所以an＋n2＋n＋3＝6·2n－1＝3·2n，故an＝3·2n－n2－n－3.
典例2　(2023·潍坊模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则下列结论正确的是A.数列{an－an＋1}为等比数列B.数列{an＋1＋2an}为等比数列
考点二　形如an＋1＝pan＋qan－1型
由题意得a3＝2a2＋3a1＝5，a4＝2a3＋3a2＝10＋3＝13，由于a1－a2＝0，故数列{an－an＋1}不是等比数列，A错误；a2＋2a1＝1＋2＝3，a3＋2a2＝5＋2＝7，a4＋2a3＝13＋10＝23，
当n≥3时，an＝2an－1＋3an－2，即an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝1＋1＝2，故{an＋1＋an}是首项为2，公比为3的等比数列，故an＋1＋an＝2×3n－1，故a2＋a1＝2，a4＋a3＝2×32，…，a40＋a39＝2×338，
因为an＋1＋an＝2×3n－1，所以an＋2＋an＋1＝2×3n，两式相减得an＋2－an＝2·3n－2·3n－1＝4·3n－1，当n＝2k时，a2k－a2k－2＝4×32k－3，a2k－2－a2k－4＝4×32k－5，…，a4－a2＝4×3，
当n＝2k－1时，a2k－1－a2k－3＝4×32k－4，a2k－3－a2k－5＝4×32k－6，…，a3－a1＝4×30，
跟踪训练2　(多选)(2023·吉安模拟)在数列{an}中，若a1＝0，a2＝1,2an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，则下列结论正确的是A.{an＋1－an}是等比数列B.a11＝C.0≤an≤1D.a8因为在数列{an}中，a1＝0，a2＝1,2an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，
所以{a2k－1}是递增数列，
所以{a2k}是递减数列，所以a2k≤a2＝1，所以0≤an≤1，故C正确；
所以a9考点三　形如an＋1＝ 型
于是得a1＝0或a1＝1，与题设a1>0，a1≠1矛盾，故an＋1≠an.
2.形如an＋1＝pan＋An＋B(p，A，B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ，μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an.
4.形如an＋1＝pan＋qan－1的类型，转化为an＋1＋λan＝p(an＋λan－1)的类型.求出λ，p的值，可知{an＋λan－1}是等差数列还是等比数列，进而可求an.
1.(2023·南京模拟)如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第n个图案中黑色与白色三角形的个数之和为an，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n≥1)，那么下面各数中是数列{an}中的项的是
A.121 B.122 C.123 D.124
2.(2023·南京模拟)在数列{an}中，a1＝7，a2＝24，对所有的正整数n都有an＋1＝an＋an＋2，则a2 024等于A.－7 B.24 C.－13 D.25
由an＋1＝an＋an＋2得an＋2＝an＋1＋an＋3，两式相加得an＋3＝－an，∴an＋6＝－an＋3＝an，∴{an}是以6为周期的数列，而2 024＝337×6＋2，∴a2 024＝a2＝24.
4.若Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝10，且Sn＋1＋2Sn－1－3Sn＝2×3n，则S2 022等于A.32 023－22 024＋1B.32 022－22 023＋1C.2·32 022－22 023D.2·32 023－22 024
由题意得当n≥2时，an＋1－2an＝2×3n，设an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，得an＋1－2·3n＋1＝2(an－2·3n)，又因为a1＝2，a2＝10，所以a2－2×32＝2(a1－2×3)也满足上式，
所以an－2·3n＝(－4)×2n－1，即an＝2(3n－2n)，
故S2 022＝32 023－22 024＋1.
5.(多选)(2023·郑州模拟)数列{an}满足a1＝－21，a2＝－12，an＋1＋an－1＝2an－2(n≥2)，Sn是{an}的前n项和，则下列说法正确的是A. 是等差数列B.an＝－n2＋12n＋32C.a6是数列{an}的最大项D.对于任意正整数m，n(n>m)，Sn－Sm的最大值为10
A，B选项，由an＋1＋an－1＝2an－2，整理得(an＋1－an)－(an－an－1)＝－2，
由此可得an－1－an－2＝15－2n，…，a3－a2＝7，a2－a1＝9，累加得an＝－n2＋12n－32＝(n－8)(4－n)，n≥2，又a1＝－21也符合该式，∴an＝(n－8)(4－n)，n∈N*，
C选项，∵an＝－n2＋12n－32＝－(n－6)2＋4，当n＝6时，an＝－(n－6)2＋4取最大值，∴a6是数列{an}的最大项，故C正确；D选项，对于任意正整数m，n(n>m)，Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an，由a1a7>a8＝0>a9>a10>a11>…，故Sn－Sm＝3＋4＋3＝10时，Sn－Sm取得最大值，最大值为10，故D正确.
6.(多选)(2023·岳阳模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋n－1(n∈N*)，则下列结论正确的是A.数列{Sn＋n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C.数列{an＋1}为等比数列D.数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4
∵Sn＋1＝2Sn＋n－1，∴Sn＋1＋(n＋1)＝2(Sn＋n)，又S1＋1＝2≠0，∴数列{Sn＋n}是首项和公比都为2的等比数列，故选项A正确；Sn＋n＝2n，∴2Sn＝2n＋1－2n，
Sn＋n＝2n，∴Sn＝2n－n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，当n＝1时，a1＝1，
∴数列{an＋1}不是等比数列，故选项C错误.
8.在数列{an}中，若a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1，则数列{an}的通项公式为________________.
an＝3·2n－1－2
∵an＋2＋2an＝3an＋1，∴an＋2－an＋1＝2an＋1－2an＝2(an＋1－an)，∴{an＋1－an}为等比数列，首项为a2－a1＝3，公比为2，∴an＋1－an＝3·2n－1，∵a2－a1＝3，a3－a2＝6，a4－a3＝12，…，an－an－1＝3·2n－2(n≥2)，
又a1＝1，∴an＝3·2n－1－2(n≥2)，又a1＝1符合上式，所以an＝3·2n－1－2.
9.(2023·泉州模拟)设数列{an}满足a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2).(1)证明：数列{an－n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
∵a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2)，∴an－n＝2[an－1－(n－1)]，
∴数列{an－n}是首项为a1－1＝2，公比为2的等比数列，∴an－n＝2n，则an＝2n＋n.
(2)数列{bn}满足an＝2nbn，求b1＋b2＋b3＋…＋bn的值.
(2)求数列{bn}的通项公式；
即比较2n＋1－1与n2＋n的大小.当n＝1时，21＋1－1＝3,12＋1＝2，有3>2；当n＝2时，22＋1－1＝7,22＋2＝6，有7>6；当n＝3时，23＋1－1＝15,32＋3＝12，有15>12，猜想2n＋1－1>n2＋n，下面证明：
＝2＋2(n＋1)＋(n＋1)n－1>n2＋n，∴对于任意的n∈N*都成立，∴bn＋1方法二　令f(x)＝2x＋1－1－x2－x，x∈[4，＋∞)，则f′(x)＝2x＋1ln 2－2x－1，令g(x)＝f′(x)＝2x＋1ln 2－2x－1，
∴当x∈[4，＋∞)时，g′(x)>2x－1－2>0，g(x)即f′(x)在[4，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在[4，＋∞)上单调递增，