高考数学专题练 专题二 微专题14　三角函数的概念与三角恒等变换（含答案）

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典例1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则角α的最小正值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(11π,6) C.eq \f(5π,3) D.eq \f(2π,3)
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝________.
典例2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)等于( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,9) C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
典例3 (1)(2023·青岛模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋cs 2α等于( )
A．－eq \f(2,3) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(7,9) D.eq \f(7,9)
(2)已知eq \f(tan α,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值是________．
[总结提升]
三角函数的化简与求值遵循的“三看”原则
一看角，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；
二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常用的有“切化弦”；
三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变化的方向，常见的有“通分、去根号、降幂”．
1．(2023·岳阳模拟)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点A是角α的终边与单位圆的交点，若点A的横坐标为－eq \f(4,5)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(2,5) B.eq \f(2,5) C．－eq \f(7,25) D.eq \f(7,25)
2．(2023·烟台模拟)已知tan(α＋β)＝3，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－3，则tan β等于( )
A．－eq \f(1,5) B.eq \f(1,5) C．－eq \f(1,7) D.eq \f(1,7)
3．(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)等于( )
A．－eq \f(6,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5)
4．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，若eq \f(sinα＋β,cs β)＝4，则tan(α＋β)等于( )
A．－eq \f(16,7) B．－eq \f(7,8) C.eq \f(16,7) D.eq \f(2,3)
5．若cs α－sin α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(sin αcs α,tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))等于( )
A．－eq \f(21,4) B.eq \f(21,4) C．－eq \f(21,8) D.eq \f(21,8)
6．(2023·宣城模拟)已知eq \r(3)sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－2α))等于( )
A．－eq \f(7,25) B.eq \f(9,25) C.eq \f(7,25) D.eq \f(24,25)
7．(多选)(2023·湛江模拟)若5sin 2α＋5cs 2α＋1＝0，则tan α的值可能为( )
A．2 B．3 C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)
8．(多选)(2023·张家口模拟)已知sin θcs θ＋eq \r(3)cs2θ＝cs θ＋eq \f(\r(3),2)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则θ等于( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,12) D.eq \f(π,18)
9．(2023·襄阳模拟)已知锐角α，β满足eq \f(sin 2α,cs 2α－1)＝eq \f(1－tan β,1＋tan β)，则cs(α＋β)＝________.
10．(2023·陕西宝鸡中学模拟)sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)＝________.
11．(2023·淄博模拟)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，θ∈(0，π)，则cs θ＝________.
12．(2023·福建联考)已知θ∈(0,2π)，角θ的终边上有点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)，cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)))，则θ＝________.
专题二 平面向量、三角函数与解三角形
微专题14 三角函数的概念与三角恒等变换
[考情分析] 三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现．
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系式
典例1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则角α的最小正值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(11π,6) C.eq \f(5π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 C
解析 角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，即为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
在第四象限，且满足cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，故α的最小正值为eq \f(5π,3).
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝________.
答案 －eq \f(\r(5),5)
解析 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则sin θ>0，cs θ>0，
又因为tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝eq \f(1,2)，
则cs θ＝2sin θ，
且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得sin θ＝eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－eq \f(\r(5),5).
跟踪训练1 (1)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)等于( )
A．－eq \f(15,17) B.eq \f(15,17) C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
答案 D
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，
因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))2)＝eq \f(8,17).
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).
(2)若sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，则tan 2θ等于( )
A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3)
C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 ∵sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，
∴sin θ＝eq \r(5)cs θ，得tan θ＝eq \r(5)，
∴tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2\r(5),1－\r(5)2)＝－eq \f(\r(5),2).
考点二 两角和与差的三角函数
典例2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)sin β，整理得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)等于( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,9) C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
答案 B
解析 因为sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，
而cs αsin β＝eq \f(1,6)，
因此sin αcs β＝eq \f(1,2)，
则sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(2,3)，
所以cs(2α＋2β)＝cs 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(1,9).
跟踪训练2 (1)(2023·景德镇模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(5),5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－α))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)
答案 B
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(5),5)sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)矛盾，
∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))))＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴cs θ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＝－eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1－2\r(6),6).
12．(2023·福建联考)已知θ∈(0,2π)，角θ的终边上有点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)，cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5)))，则θ＝________.
答案 eq \f(39π,20)
解析 tan θ＝eq \f(cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5),－cs \f(4π,5)＋sin \f(4π,5))＝－eq \f(1＋tan \f(4π,5),1－tan \f(4π,5))＝－eq \f(tan \f(π,4)＋tan \f(4π,5),1－tan \f(π,4)·tan \f(4π,5))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)＋\f(π,4)))
＝－tan eq \f(21π,20)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21π,20)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(21π,20)))＝tan eq \f(19π,20)，
故θ＝eq \f(19π,20)＋kπ(k∈Z)，－cs eq \f(4π,5)＋sin eq \f(4π,5)>0，cs eq \f(4π,5)＋sin eq \f(4π,5)＝eq \r(2)sin eq \f(21π,20)