河北省沧州市十校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省沧州市十校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量，，那么( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则z的虚部为( )
A.-1B.-2C.D.2
3．若，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.与B.与C.与D.与
4． ( )
A.B.C.D.
5．在四边形中，若，且，则该四边形一定是( )
A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形
6．已知复数z满足，则( )
A.B.1C.D.
7．在中，内角A，B，C对边长分别为a，b，c，已知，且，则( )
A.4B.3C.2D.1
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知，，，若，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，则( )
A.z的虚部为B.z是纯虚数
C.z的模是D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10．设向量，，则( )
A.B.C.D.
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为3，，则( )
A.若，则是等边三角形
B.存在非等边满足
C.内部可以放入的最大圆的半径为
D.可以完全覆盖的最小圆的半径为
三、填空题
12．已知x，，若，则__________.
13．已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足，则O是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为__________.
四、解答题
15．已知复数，，.
（1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数是方程的一个根，求实数m的值.
16．已知向量，.
（1）当k为何值时，与垂直？
（2）当k为何值时，与平行？
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求和a的值；
（2）求的面积.
18．如图，在中，C是的中点，D是线段上靠近点O的四等分点，设，.
（1）若长为2，长为8，，求的长；
（2）若E是上一点，且，试判断A，D，E三点是否共线？并说明你的理由.
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，，所以.故选A.
2．答案：B
解析：的虚部为-2.故选B.
3．答案：D
解析：由，不共线，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面内所有向量的基底.故选D.
4．答案：C
解析：.故选C.
5．答案：A
解析：，此时四边形为平行四边形，因为，所以，即对角线长相等，故四边形为矩形.故选A.
6．答案：C
解析：根据题意，.所以，.故选C.
7．答案：A
解析：，即，即有，即有.又，则，解得（舍去）或.故选A.
8．答案：B
解析：以C为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，，，，，，.因为，所以解得所以.故选B.
9．答案：AC
解析：对于A，由虚部定义知z的虚部为，故A正确；对于B，纯虚数要求实
部为0，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.故选AC.
10．答案：AB
解析：对于A，因为，，所以，，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，则，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为，所以，不共线，故D错误.故选AB.
11．答案：ACD
解析：因为的周长为3，且，可得，由余弦定理得.
对于A，因为，所以，即，则，所以为等边三角形，故A正确；
对于B，假设，则，即，则，此时为等边三角形，故B错误；
对于C，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积，的内切圆半径为，所以内部可以放入的最大圆的半径为，故C正确；
对于D，设外接圆的半径为R，因为，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，故D正确.故选ACD.
12．答案：2
解析：由题意，得所以.
13．答案：垂
解析：因为，同理，，故O为的垂心.
14．答案：
解析：，由正弦定理得，整理得，即，，，，则，，.如图，设边上的中点为E，在中，由余弦定理，得，又，由代入上式，并整理得，当且仅当时取“=”，所以边上中线长的最小值为.
15．答案：（1）
（2）17
解析：（1）.
因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以，
解得.
因此，实数a的取值范围是.
（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，
于是，解得.
所以，，因此.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
，
，
若可得，
即，得，
即时，与垂直.
（2）当时，有，
解得，
即时，与平行.
17．答案：（1），
（2）
解析：（1）在中，由，可得.
又由及，，可得.
由余弦定理得，得，
因为，故解得.
所以，.
（2）由（1）知，，，
所以的面积.
18．答案：（1）
（2）不共线
解析：（1），，C是的中点，
，
.
（2）A，D，E三点不共线，
理由如下：
由（1）知，，
，，
.
易知与不平行，
A，D，E三点不共线.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以.
（2）法一：由（1）知，即.
因为为锐角三角形，所以，解得.
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则.
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是.
法二：过点A作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形.
为锐角三角形，
点B在线段上（不含端点）.
在中，，，易得，
，周长为；
在中，，，易得，，周长为，
所以周长的范围是.