2022-2023学年河南省济源市英才学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省济源市英才学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在一次试验中，当变量x的值取1，2，3，4时，变量y的值分别为2，3，4，5，则y与x的回归直线方程为( )
A. y​=x+1B. y =2x+3C. y =2x+1D. y =x−1
2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3.要证明 3+ 7<2 5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A. 综合法B. 分析法C. 类比法D. 归纳法
4.已知z1=2+i，z2=1−2i，则复数z=z2−z1对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：
算得，K2≈7.8.见附表：参照附表，得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
6.设p：lg2x<0，q：(12)x−1>1，则p是q的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有( )
A. b与r的符号相同B. a与r的符号相同C. b与r的符号相反D. a与r的符号相反
8.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提)，而y=(13)x是指数函数(小前提)，所以y=(13)x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )
A. 大前提错导致结论错B. 小前提错导致结论错
C. 推理形式错导致结论错D. 大前提和小前提错都导致结论错
9.已知{an}为等比数列，a5=2，则有a1⋅a2⋅…⋅a9=a59=29.若{bn}为等差数列，b7=3，则数列{bn}的类似结论为( )
A. b1⋅b2⋅…⋅b13=3×13B. b1+b2+…+b13=313
C. b1+b2+…+b13=3×13D. b1⋅b2⋅…⋅b13=313
10.设f(x)=2x2−x3，则f(x)的单调递减区间是( )
A. (0,43)B. (43,+∞)
C. (−∞,0)D. (−∞,0)和(43,+∞)
11.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. 1716B. 1516C. 78D. 0
12.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，则双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为______．
14.已知sinα+sinβ+sinγ=0，csα+csβ+csγ=0，则cs(α−β)=______．
15.设i是虚数单位，复数1+ai2−i为纯虚数，则实数a= ．
16.已知 2+23=2 23, 3+38=3 38, 4+415=4 415,…，若 6+ab=6 ab,(a,b∈R)，则a+b= ______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设a>0，b>0，2c>a+b，求证：c− c2−ab18.(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
19.(本小题12分)
某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：
已知i−17x2=280，i−17y2=45309，i−17xiyi=3487．
(1)求x，y(若结果不是整数，请用最简分数表示)；
(2)做出散点图，判断纯利y(元)与每天销售件数x之间是否线性相关；
(3)如果具有线性相关关系，求出回归方程(回归系数精确到0.01)．
20.(本小题12分)
已知a>0，且a≠1，证明：函数y=ax−xlna在(−∞,0)内是减函数．
21.(本小题12分)
已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
22.(本小题12分)
设f(x)=lnx，g(x)=f(x)+f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)−g(x)<1a对任意x>0成立．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：x−=1+2+3+44=2.5，y−=2+3+4+54=3.5．
则样本点的中心的坐标为(2.5,3.5)，
把点(2.5,3.5)分别代入四个选项，可知只有A成立，
∴y关于x的经验回归方程为y​=x+1．
故选：A．
由已知求得样本点的中心的坐标，然后逐一代入四个选项得答案．
本题考查经验回归方程的应用，明确经验回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可得：a=3+3=6．
故选：C．
根据杨辉三角的数据，发现每一行两端的数字为1，且中间的数字等于上一行对应的两个数字和．
本题考查归纳推理，通过观察、发现、归纳并发现题目的规律是解题的关键，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：要证明 3+ 7<2 5，
只要证( 3+ 7)2<(2 5)2，
即证10+2 21<20，
即证 21<5，
即证21<25，此式显然成立，
故用分析法最合理．
故选：B．
要证 3+ 7<2 5，只要证( 3+ 7)2<(2 5)2，即证…，显然用分析法最合理．
本题考查分析法的应用，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：∵z1=2+i，z2=1−2i，
则z=z2−z1=(1−2i)−(2+i)=−1−3i．
∴复数z=z2−z1对应的点的坐标为(−1,−3)，位于第三象限．
故选：C．
由复数代数形式的加减运算求出z的坐标，则答案可求．
本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知本题所给的观测值K2≈7.8>6.635，
∴这个结论有0.01=1%的机会说错，
即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
故选：C．
根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．
6.【答案】B
【解析】解：
∵lg2x<0
∴0又∵(12)x−1>1，
∴得x−1<0，
故x<1是0故p是q的充分不必要条件．
故选：B．
由lg2x<0可知01，得x−1<0，故x<1是0掌握对数函数的性质以及必要条件，充分条件的判断．
7.【答案】A
【解析】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，
r为负，表示负相关，回归直线方程下降，
∴b与r的符号相同．
故选：A．
根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升．
本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关．
8.【答案】A
【解析】解：∵当a>1时，函数是一个增函数，
当0∴y=ax是增函数这个大前提是错误的，
从而导致结论错．
故选A．
对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a>1时，函数是一个增函数，当0本题考查演绎推理的基本方法，考查指数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的．
9.【答案】C
【解析】解：若{bn}为等差数列，b7=3，则数列{bn}的类似结论为b1+b2+…+b13=3×13．
故选：C．
根据题意，结合等差数列的性质类比推理即可．
本题考查类比推理，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=2x2−x3，x∈R，
所以f′(x)=4x−3x2，
令f′(x)<0，
即有4x−3x2<0，3x2−4x>0，
解得x<0或x>43，
所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)和(43,+∞)．
故选：D．
求导得f′(x)=4x−3x2，令f′(x)<0，求解即可得答案．
本题考查了导数的综合运用，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的标准方程为x2=14y，
∴F(0,116)，准线方程为y=−116，
令M(x0,y0)，则由抛物线的定义得，1=y0+116，即y0=1516
故选：B．
令M(x0,y0)，则由抛物线的定义得，1=y0+116，解得答案．
本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．
12.【答案】B
【解析】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，
6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；
则两球颜色为一白一黑的概率P=615=25；
故选：B．
首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式．
13.【答案】 52
【解析】解：由题意得椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 32，
所以e= a2−b2a= 1−(ba)2= 32．
所以ba=12．
所以双曲线的离心率e= a2+b2a= 1+(ba)2= 52．
故答案为： 52．
利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出ba=12，接着利用a，b表示出双曲线的离心率e= 1+(ba)2，即可求出双曲线的离心率．
解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．
14.【答案】−12
【解析】解：sinα+sinβ+sin1=0，
可得sinα+sinβ=−sin1，
两边平方可得(sinα+sinβ)2=(−sin1)2，…①
csα+csβ+cs1=0，
可得csα+csβ=−cs1，
两边平方可得(csα+csβ)2=(−cs1)2…②．
①+②可得：2+2cs(α−β)=1．
解得cs(α−β)=−12．
故答案为：−12．
直接利用已知条件，通过三角函数的平方关系式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，基本知识的考查．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，属于基础题．
将复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．
【解答】
解：因为1+ai2−i=(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+(2a+1)i5是纯虚数，所以a=2．
故答案为：2．
16.【答案】41
【解析】解：由题意，依此类推，有 n+nn2−1=n nn2−1，(n≥2且n是正整数)
当n=6时，有a=6，b=62−1=35，
∴a+b=41．
故答案为41．
根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式 n+nn2−1=n nn2−1，(n≥2且n是正整数)，将n=6代入可得答案．
本题考查归纳推理，关键是根据题意所给的等式，发现其中的共同点．
17.【答案】证明：要证c− c2−ab即证：− c2−ab即证：(a−c)2即证：a2−2ac<−ab，
即证：a2+ab<2ac．
∵a>0，
也就是证：a+b<2c，而此不等式为已知条件，显然成立．
故不等式c− c2−ab【解析】可采用分析法，要证原不等式成立，需证：− c2−ab0，b>0，2c>a+b，即可证得结论．
本题考查不等式的证明，着重考查分析法，考查转化思想与推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为70500=14%---------------------------------------(5分)
(2)K2=500×(40×270−30×160)2200×300×70×430=9.967．
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．-------------(12分)
【解析】(1)由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．
(2)根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．
19.【答案】解：(1)x−=3+4+5+6+7+8+97=6，
y−=66+69+73+81+89+90+917=5597；
(2)由散点图知，y与x有线性相关关系，

(3)设回归直线方程y​=b​x+a​，
b =i=17xiyi−7x−y−i=17xi2−7x−2=3487−7×6×5597280−7×62=13328=4.75，
a =y−−b x−=5597−6×13328=71914≈51.36．
∴回归方程为：y =4.75x+51.36．
【解析】(1)利用平均数公式计算即得．
(2)把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
(3)作出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，即可求出回归方程．
本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，是中档题．
20.【答案】证明：∵y=ax−xlna，
∴y′=axlna−lna=lna(ax−1)，
当01，ax−1>0，
∴lna(ax−1)<0，函数y=ax−xlna在区间(−∞,0)内是减函数；
当a>1时，lna>0，若x<0，则ax<1，ax−1<0，
∴lna(ax−1)<0，函数y=ax−xlna在区间(−∞,0)内是减函数．
综上，函数y=ax−xlna在区间(−∞,0)内是减函数．
【解析】求出原函数的导函数，得到导函数在(−∞,0)内的符号，从而得到原函数的单调性．
本题考查利用函数的导函数判断函数的单调性，关键是熟记基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，是基础题．
21.【答案】解：(1)由4x2+y2=1y=x+m得5x2+2mx+m2−1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m2−4×5(m2−1)≥0，即−4m2+5≥0，
解得− 52≤m≤ 52，
所以实数m的取值范围是− 52≤m≤ 52；
(2)设所截弦的两端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由(1)知，x1+x2=−2m5，x1x2=m2−15，
所以弦长|AB|= 2|x1−x2|= 2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 2⋅ (−2m5)2−4(m2−1)5=2 2⋅ 5−4m25，
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．
【解析】(1)当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
(2)设所截弦的两端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目的基础知识，应熟练掌握．
22.【答案】解：(1)由题设知f(x)=lnx，g(x)=lnx+1x>0，
所以g′(x)=x−1x2，
令g′(x)=0，得x=1．
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间．
因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以g(x)的最小值为g(1)=1．
(2)由(1)知g(x)的最小值为1．
所以g(a)−g(x)<1a对任意x>0成立，
g(x)>g(a)−1a对任意x>0恒成立，
即lna<1.从而得0【解析】(1)根据题意，求导，判断单调性，进而找到最小值；
(2)g(a)−g(x)<1a对任意x>0成立，即g(x)>g(a)−1a对任意x>0恒成立，结合(1)结果，求解即可．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91