数学人教版8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计

这是一份数学人教版8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计，共16页。教案主要包含了羊二,直金十两.牛二等内容，欢迎下载使用。

课时目标
1.能够根据具体的数量关系列出二元一次方程组,并解决简单的实际问题.
2.会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分等问题.
3.经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型.
学习重点
探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.
学习难点
发现问题中隐含的未知数,寻找等量关系并列出方程组,由方程组的解解释实际问题.
课时活动设计
情境引入
今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.牛、羊各直金几何?
题目大意:5头牛、2只羊共价值10两;2头牛、5只羊共价值8两.问每头牛、每只羊各价值多少.
你能算出每头牛、每只羊各价值多少吗?
设计意图:通过生活例子,引导学生列出二元一次方程组,一方面让学生体会数学来源于生活,另一方面为后续的学习打下基础.
知识回顾
问题1:解二元一次方程组的方法有哪些?
问题2:列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么?
建议:让学生回顾前面所学方程的相关知识,小组内进行交流体会,教师给予必要的提示.
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.
探究新知
养牛场原有30头大牛和15头小牛,1天约用饲料675 kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg,每头小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗?
问题1:题目中有哪些未知量?
引导学生关注有2个未知量,
即每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料.
问题2:题目中有哪些等量关系?
引导学生关注有2个等量关系,
即30头大牛1天用的饲料+15头小牛1天用的饲料=675 kg,
42(30+12)头大牛1天用的饲料+20(15+5)头小牛1天用的饲料=940 kg.
问题3:如何根据等量关系列方程组?
引导学生关注有2个等量关系.
设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料x kg和y kg,
根据题意,得30x+15y=675,①42x+20y=940.②
问题4:列一元一次方程能解决这个问题吗?
引导学生体会当未知数的个数有2个时,列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更简单.
若设每头大牛1天需要x kg饲料,则每头小牛1天需要675-30x15 kg饲料.
由题意,得42x+20×675-30x15=940.
问题5:如何解这个方程组呢?
让学生交流、讨论,教师引导学生对比,发现先化简再解更简捷.
方法一:直接消元.
解:①×4,得120x+60y=2 700.③
②×3,得126x+60y=2 820.④
④-③,得6x=120,解得x=20.
把x=20代入①,得30×20+15y=675,解得y=5.
所以这个方程组的解是x=20,y=5.
方法二:先化简再消元.
解:方程组可化简为2x+y=45,①21x+10y=470.②
由①,得y=45-2x.③
把③代入②,得21x+10(45-2x)=470,解得x=20.
把x=20代入③,得y=5.
所以这个方程组的解是x=20,y=5.
问题6:饲养员李大叔估计的准确吗?
引导学生对比计算结果和李大叔的估计,得到结论.
答案:饲养员李大叔对大牛的食量估计准确,对小牛的食量估计偏高.
设计意图:1.引导学生发现未知数和等量关系,运用二元一次方程组解决,用方程组的解去分析、解释实际问题.
2.让学生经历分析数量关系,得到等量关系,列方程组的过程,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.
归纳总结
组织学生小组讨论,然后组内选取代表回答,教师汇总并补充.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
1.审题:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系;
2.设元:用字母表示题目中的未知数;
3.列方程组:根据题中的等量关系列出方程组;
4.解方程组:解方程组,求出未知数的值;
5.检验:检验所求的解是否符合实际意义;
6.作答.
设计意图:引导学生总结运用方程组建立数学模型,解决实际问题的步骤,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克.若所购B型粽子的质量比A型粽子的质量的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2 560元,求该商店订购了两种型号的粽子各多少千克.
解:设该商店订购了A型粽子x千克,B型粽子y千克,
根据题意,得y=2x-20,28x+24y=2 560,解得x=40,y=60.
答:该商店订购了A型粽子40千克,B型粽子60千克.
例2 一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,用1 m3钢材可做20个A部件或15个B部件.发现用90 m3钢材制作的部件配比成套后剩余B部件45个,问:恰好配成这种仪器多少套?
解:设用x m3钢材做A部件,y m3钢材做B部件,
由题意,得x+y=90,20x:(15y-45)=2:3,解得x=29,y=61.
则共做A部件29×20=580(个),B部件61×15=915(个).
一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,故恰好配成这种仪器580÷2=290(套).
答:恰好配成这种仪器290套.
例3 某厂有甲、乙两个车间,若从乙车间调12人到甲车间,则甲车间人数是乙车间人数的3倍;若从甲车间调10人到乙车间,则甲车间比乙车间少4人.甲、乙车间原来各有工人多少名?
解:设甲车间原来有x名工人,乙车间原来有y名工人,
由题意,得x+12=3(y-12),x-10=y+10-4,解得x=48,y=32.
答:甲、乙两车间原来各有48名和32名工人.
设计意图:经历由实际问题抽象二元一次方程组的全过程,感悟列方程组解应用题的关键是要读懂题目意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想,并掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
巩固训练
1.甲、乙两数的和为42,甲数的3倍等于乙数的4倍,求甲、乙两数,设甲数为x,乙数为y,则下列方程组正确的是( B )
A.x+y=42,4x=3y B.x+y=42,3x=4y C.4x+3y=42,3x=4y D.3x+4y=42,4x=3y
2.用4 700张纸装订成两种挂历共500本,其中甲种每本7张纸,乙种每本13张纸.若甲种挂历有x本,乙种挂历有y本,则下面所列方程组正确的是( B )
A.x+y=500,13x+7y=4 700 B.x+y=500,7x+13y=4 700
C.x+y=500,13x-7y=4 700 D.x+y=500,7x-13y=4 700
3.某工厂有60名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天可生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?
解:设生产螺栓的人数是x人,生产螺母的人数是y人.
由题意,得x+y=60,2×14x=20y.解得x=25,y=35.
答:应分配25人生产螺栓,35人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.
4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试:同时开放1个大餐厅和2个小餐厅,可供1 680名学生就餐;同时开放2个大餐厅和1个小餐厅,可供2 280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐?
(2)若7个餐厅同时开放,请你估计一下能否供应全校的5 300名学生就餐?请说明理由.
解:(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名、y名学生就餐.
由题意,得x+2y=1 680,2x+y=2 280,解得x=960,y=360.
答:1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名、360名学生就餐.
(2)若7个餐厅同时开放,
则5×960+2×360=5 520(名),
因为5 520>5 300,所以若7个餐厅同时开放,可以供应全校5 300名学生就餐.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤: (1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)解方程组;(5)检验;(6)作答 .
2.找等量关系的常见方法:(1)各部分数量之和= 全部数量 ;(2)明显的关键词有 比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几 等,隐含的关键词有 总面积、总数量、总钱数 等.
设计意图:通过小结,引导学生思考、交流,梳理所学知识,建立起符合自身认知特点的知识结构.训练学生的口头表达能力,让学生养成及时归纳总结的良好学习习惯.
课堂8分钟.
1.教材第101,102页习题8.3第3,4,5题.
2.七彩作业.
第1课时 和差倍分与配套问题
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
(1)审题; (2)设元; (3)列方程组;
(4)解方程组; (5)检验; (6)作答.
2.找等量关系的常见方法:
(1)基本数量关系:各部分数量之和=全部数量;
(2)方法:
明显的关键词,如比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几等;
隐含的关键词,如总面积,总数量,总钱数等.
3.例题讲解.
教学反思


第2课时 几何图形与图文信息问题
课时目标
使学生继续经历如何列二元一次方程组解决实际问题的探究过程,熟练掌握列二元一次方程组解实际问题的方法和一般步骤,体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高学生运用方程组模型分析、解决几何图形和图表信息问题的能力.
学习重点
正确理解、观察、分析几何图形和图表信息问题,找出等量关系,列二元一次方程组.
学习难点
转化问题,寻找几何图形和图表信息问题中的等量关系,尤其是暗含的等量关系列方程组.
课时活动设计
情境引入
你能根据这对父子的对话内容,分别求出这两块农田今年的产量吗?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?
1.审题:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系.
2.设元:用字母表示题目中的未知数.
3.列方程组:根据题中的等量关系列出方程组.
4.解方程组:解方程组,求出未知数的值.
5.检验:检验所求的解是否符合实际意义.
6.作答.
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.
探究新知
探究1:据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1?2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物.怎样划分这块土地,使甲、乙两种作物的总产量的比是3?4?
问题1:此题研究的是长方形面积的分割问题,你能画出示意图帮助自己理解吗?
问题2:长度涉及的数量关系.
解:AE+BE=200 m,即x+y=200.
问题3:产量比与种植面积的比有什么关系?
解:S甲?2S乙=甲作物的总产量?乙作物的总产量,
即100x?(2×100y)=3?4.
问题4:你能根据数量关系列出方程组,并解决这个问题吗?
解:如图,一种种植方案为:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
此时设AE=x m,BE=y m,由题意,可列方程组x+y=200,100x:2×100y=3:4.
解这个方程组,得x=120,y=80.
答:过长方形土地的长边上离一端120 m处,作这条边的垂线,把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块地种甲种作物,较小的一块地种乙种作物.
问题5:你还能设计其他种植方案吗?
解:数量关系为AE+DE=100 m,即x+y=100.
S甲?2S乙=甲作物的总产量?乙作物的总产量,即200x?(2×200y)=3?4.
(答案不唯一,合理即可)
探究2:七年级(3)班43名同学共捐款530元,捐款情况如下表.可是表中有两栏不小心被墨渍污染了,你能求出这两栏中的数据吗?
问题1:题目要求我们解决什么问题?
解:求捐款10元的人数和捐款15元的人数.
问题2:题目中有哪些已知量?
解:捐款5元的人数、捐款20元的人数、捐款的总人数和总金额.
问题3:题目中的等量关系有哪些?
解:总人数=各项人数之和,总金额=各捐款数之和.
问题4:你能根据数量关系列出方程组,并解决这个问题吗?
解:设捐款10元的人数为x名,捐款15元的人数为y名.
由题意,可列方程组x+y+6+9=43,10x+15y+5×6+20×9=530.
化简,得x+y=28,2x+3y=64.
解这个方程组,得x=20,y=8.
答:捐款10元的人数为20名,捐款15元的人数为8名.
设计意图:1.引导学生发现未知数和等量关系,运用二元一次方程组解决实际问题.
2.让学生经历分析数量关系,得到等量关系,列方程组的过程,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.
归纳总结
1.熟悉的平面图形有线段、角、三角形、平行四边形、长方形、正方形、圆等,平面图形的元素有边、角以及边与边之间的、角与角之间的数量关系,与之相联系的有面积和周长,列二元一次方程组的关键是寻找等量关系;
2.解决图表信息问题:要注意阅读和观察图表中的数学信息,解决问题时一定要将图表信息和前面给出的条件结合起来,尤其要重视图表中暗含的等量关系.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 如图1,将边长为x cm的大正方形剪去一个边长为y cm的小正方形,剩余部分的面积为21 cm2,并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示的形状,即宽为3 cm的长方形,请你求出大正方形和小正方形的边长.
解:依题意,得x-y=3,3(x+y)=21,解得x=5,y=2.
答:大正方形的边长为5 cm,小正方形的边长为2 cm.
例2 餐馆里把塑料凳整齐的叠放在一起(如图),根据图中的信息计算有20张同样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是多少厘米?
解:设塑料凳凳面的厚度为x cm,腿高y cm.
根据题意,得3x+y=29,5x+y=35,解得x=3,y=20.
20+3×20=80(cm).
答:20张同样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是80 cm.
设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养巩固训练、积极思考的习惯.
巩固训练
1.一个长方形的周长为36 cm,若长减少4 cm,宽增加2 cm,长方形就变成正方形,求正方形的边长.
解:设长方形的长为x cm,宽为y cm.
由题意,得x+y=12×36,x-4=y+2,解得x=12,y=6.则x-4=12-4=8.
答:正方形的边长为8 cm.
2.在长为10 m,宽为8 m的长方形空地中,沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃,其示意图如图所示,则小长方形花圃的长和宽分别是多少?
解:设小长方形花圃的长为x m,宽为y m.
根据题意,得2x+y=10,x+2y=8,解得x=4,y=2.
答:小长方形花圃的长为4 m,宽为2 m.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
(1)用二元一次方程组解决实际问题的步骤是怎样的?
(2)如何快速准确地寻找题目中的等量关系?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第101,102页习题8.3第1,7题.
2.七彩作业.
第2课时 几何图形与图文信息问题
列方程组解应用题的一般步骤:
审题；
设元；
列方程组；
解方程组；
检验；
作答.
例题讲解.
教学反思



第3课时 销售问题与行程问题
课时目标
1.在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中,进一步提高分析问题中的等量关系、设未知数、列方程组、解方程组的能力.
2.学会设间接未知数迂回解决问题.
3.通过探究实际问题,使学生进一步感受方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性,体会数学的应用价值,提高分析问题,解决问题的能力.进一步发展模型观念的核心素养.
学习重点
分析问题,寻找等量关系,列方程组并解二元一次方程组来解决实际问题.
学习难点
列表格分析题目中的数量关系.
课时活动设计
情境引入
新年来临,爸爸想送小明一个书包和一台学习机作为新年礼物,爸爸对小明说:“学习机和书包的单价之和是930元,且学习机的单价比书包单价的10倍还多50元,你能说出学习机和书包的单价各是多少元,我就把它们买给你做新年礼物.”
你能帮助小明吗?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.
探究新知
如图,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费15 000元,铁路运费97 200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
问题1:如何设未知数?
解:销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关,而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有,所以设制成x t产品,购买y t原料.
问题2:此题涉及的量较多,这种情况下常用列表的方式来处理,这样比较直观、简洁.此题涉及哪两类量呢?
解:一类是公路运费和铁路运费;另一类是产品数量和原料数量.
问题3:如何确定题中的数量关系?
解:设制成x t产品,购买y t原料.根据题中数量关系填写下表.
问题4:通过上面的表格你发现等量关系了吗?请你列方程组并求解.
解:由题意得1.5×(20x+10y)=15 000,1.2×(110x+120y)=97 200.
先化简,得2x+y=1 000,11x+12y=8 100.解得x=300,y=400.
销售款-原料费-运输费=8 000×300-1 000×400-(15 000+97 200)=1 887 800(元).
因此,这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.
设计意图:通过讨论让学生认识到合理设定未知数的意义.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法.培养学生有条理地思考、分析和表达的习惯,让学生认识到检验的重要性,并学会规范作答.
归纳总结
(1)在什么情况下考虑选择设间接未知数?
(2)如何更好地分析这种数量关系比较复杂的实际问题?
设计意图:对本课时新学的内容进行梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例 李师傅从杭州驾车到椒江办事,汽车在高速路段平均油耗为0.06 L/km,在非高速路段平均油耗为0.075 L/km,从杭州到椒江的总油耗为16.5 L,总路程为270 km.
(1)求此次杭州到椒江高速路段的路程;
(2)若汽油价格为8元/L,高速路段过路费为0.45元/km,求此次杭州到椒江的单程交通费用(交通费用=油费+过路费).
解:(1)设此次杭州到椒江高速路段的路程为x km,非高速路段的路程为y km,
由题意,得x+y=270,0.06x+0.075y=16.5,解得x=250,y=20.
答:此次杭州到椒江高速路段的路程为250 km.
(2)此次杭州到椒江的单程油费为8×16.5=132(元),
此次杭州到椒江的单程过路费为0.45×250=112.5(元),
∴此次杭州到椒江的单程交通费用为132+112.5=244.5(元).
答:此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元.
设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养巩固训练、积极思考的习惯.
巩固训练
1.某商店购进A,B两种商品共50件,已知这两种商品的进货单价与销售单价如下表所示,且将这两种商品销售完共可获利660元.设该商店购进A种商品x件,购进B种商品y件,则根据题意可列方程组为 x+y=50,(40-30)x+(55-40)y=660 .
2.某种电器产品,每件若以原定价的八折销售,则可获利120元;若以原定价的六折销售,则亏损20元,该种商品每件的进价为 440 元.
3.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路,如果保持上坡路每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡路每小时走5 km,那么从甲地到乙地需40 min,从乙地到甲地需30 min.甲地到乙地的全程是多少?
解:设从甲地到乙地的上坡路有x km,平路有y km.
根据题意,得x3+y4=4060,y4+x5=3060,解得x=54,y=1,
∴x+y=54+1=94.
答:甲地到乙地的全程是94 km.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
通过这节课的学习,在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第101,102页习题8.3第2,8,9题.
2.七彩作业.
第3课时 销售问题与行程问题
列表分析数量关系.
例题板演1 例题板演2 例题板演3
例题讲解
教学反思


捐款/元
5
10
15
20
人数
6
9
产品x t
原料y t
合计
公路运费/元
1.5×20x
1.5×10y
1.5×(20x+10y)
铁路运费/元
1.2×110x
1.2×120y
1.2×(110x+120y)
价值/元
8 000x
1 000y
商品类别
进货单价/元
销售单价/元
A
30
40
B
40
55