中考数学二轮复习压轴题培优专练专题16 函数的图像变换问题（2份打包，原卷版+解析版）

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函数图像的变换问题的考查一般难度较大，但关键是要理清图像变换前后的解析式的关系，图像变换的规律以二次函数为例：
1．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
2．二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
（2022·湖北恩施·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线 SKIPIF 1 < 0 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 SKIPIF 1 < 0 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
（4）如图，作 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线只有1个交点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
(4)最短距离为 SKIPIF 1 < 0 ，平移后的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
（2）以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0
依题意得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平移后的抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
（3）存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，由NT过点 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（4）如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
设与 SKIPIF 1 < 0 平行的且与 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点的直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即拋物线 SKIPIF 1 < 0 平移的最短距离为 SKIPIF 1 < 0 ，方向为 SKIPIF 1 < 0 方向
SKIPIF 1 < 0
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
SKIPIF 1 < 0 平移后的顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．
（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为 SKIPIF 1 < 0 ，点C的对应点 SKIPIF 1 < 0 ，点G的对应点 SKIPIF 1 < 0 ，将曲线 SKIPIF 1 < 0 ，沿y轴向下平移n个单位长度（ SKIPIF 1 < 0 ）．曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，直接写出P的坐标．
（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；
（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出直线BC和直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点 SKIPIF 1 < 0 ，然后分三种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
(2)（2，-4）或（0，-3）
(3)（1+ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：①把点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
②令y=0，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A（-2，0），
设直线AD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴把点 SKIPIF 1 < 0 和点A（-2，0）代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点H（6，-4），即BH=4，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积记为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF=2EF，
∵EG⊥x，BH⊥x轴，
∴△EFG∽△BFH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或0，
∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 ，
∴点G的坐标为（2，-4），
当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴向上翻折部分的图象解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线BC的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点B（6，0），C（0，-3）代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线BC的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去，不合题意）或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（2021·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．
（1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；
（2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，MN＝CE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）F（-4，3），（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴原抛物线对应的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得：原抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，故顶点C坐标为 SKIPIF 1 < 0
∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，
∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线对应的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0
故新抛物线顶E点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交点G坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：
当平行四边形为 SKIPIF 1 < 0 时，点F坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根据平移性质可知： SKIPIF 1 < 0 一定在原抛物线；
当平行四边形为 SKIPIF 1 < 0 时，点F坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；故不在新抛物线上，
综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是 SKIPIF 1 < 0 时，F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，MN＝CE，
∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，
设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即M点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点N坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线MN解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线MN与y轴交点K坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键．
1．（2022·重庆开州·校联考模拟）如图1，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线y于另一点D，点P为直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一动点．
(1)求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
(2)过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点F，过点P作 SKIPIF 1 < 0 于点E，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移3个单位得到新抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【答案】(1)4
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，将所求转化为 SKIPIF 1 < 0 ，再求解即可；
（3）推出平移后的解析式，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分三种情况讨论；再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可．
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点P为直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一动点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移3个单位得到新抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴新抛物线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的对角线时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上，N点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2021·山东滨州·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于点A， SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，两条抛物线的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧）．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)将抛物线 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 轴正方向平移，使点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，求平移的距离；
(3)在（2）的条件下：规定抛物线 SKIPIF 1 < 0 和抛物线 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 下方的图象所组成的图象为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 上（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右侧），在（2）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)1
(3)点 SKIPIF 1 < 0 坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，即得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，从而抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，即 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，可得平移的距离是1；
（3）抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移1个单位得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 左侧图象上时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的图象上时，分两种情况：① SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且抛物线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的形状、大小相同，开口方向相反，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，即 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 平移的距离是1．
（3）解：由（2）知，抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移1个单位，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 左侧图象上时，如图：
SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的图象上时，分两种情况：
① SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，如图：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的图象上，如图：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·陕西渭南·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （b、c为常数）与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
(2)将该抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移4个单位长度得到新的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，与原抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）存在，根据题意求得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再与抛物线 SKIPIF 1 < 0 联立，求得点C的坐标，进而求得点D的坐标；要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，分当M在x轴上方时和当M在x轴下方时，两种情况讨论，根据矩形的性质列出方程，求解即可．
【详解】(1)解：把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：存在．理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②当M在x轴下方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上，在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 下方的 SKIPIF 1 < 0 上一点，求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值；
(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后恰好经过 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ，沿射线 SKIPIF 1 < 0 的方向平移抛物线 SKIPIF 1 < 0 得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，两抛物线相交于点 SKIPIF 1 < 0 设交点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)y=x+2
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）先根据抛物线的函数表达式求出点A的坐标，再将点A的坐标和（1，3）代入y=kx+b，即可求出直线AB的函数表达式；
（2）过点P作 SKIPIF 1 < 0 交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，易证△MPQ为等腰直角三角形，分别表示出点P和点Q的坐标，求出PQ的最大值，当PQ取最大值时PM也取最大值，
（3）过点E作 SKIPIF 1 < 0 ，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，易证△APE～△DEQ，将点D的坐标用m表示出来，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求出m的值．
【详解】（1）解：当x=0时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴A（0，2），
设直线AB的函数表达式为：y=kx+b，
把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AB得函数表达式为：y=x+2．
（2）将抛物线的函数表达式整理为一般式为： SKIPIF 1 < 0 ，
如图，过点P作 SKIPIF 1 < 0 交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，
设点P的坐标为（a， SKIPIF 1 < 0 ），
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点Q的横坐标为a，
∵点Q在直线AB上，
∴点Q的坐标为（a，a+2），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
当a= SKIPIF 1 < 0 时，PQ有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线AB与竖直方向得夹角为45°，
∴∠MQP=45°，
∴△MPQ为等腰直角三角形，
∴PM= SKIPIF 1 < 0 ，
当PQ取最大值时，PM也取最大值，
∴PM的最大值为： SKIPIF 1 < 0 ，
（3）∵抛物线的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点C（1，1），
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，将点C和点A的坐标代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AC的函数表达式为：y=-x+2，
设点D的横坐标为b，
∵点D在直线AC上，
∴点D的纵坐标为-b+2，即D（b，-b+2），
∴ SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
E的横坐标为m，
∵点E在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴点E的纵坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵点E也在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴点E的纵坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 解得：b=2m或b=1（舍），
∴D（2m，-2m+2），
过点E作 SKIPIF 1 < 0 ，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，
∵∠AED=90°，∠EPA=90°，
∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠DEQ=∠EAP，
在△APE和△DEQ中，
∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE，
∴△APE～△DEQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵A（0，2），E（m， SKIPIF 1 < 0 ），D（2m，-2m+2），
∴PE=m，EQ=m，
DQ= SKIPIF 1 < 0 ，
AP= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
5．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ，B两点，其对称轴 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点D．
图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB，PC，CD，求四边形PBDC面积的最大值和此时点P的坐标；
(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y'对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再运用二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据平移的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，新抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，②当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，③当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，分别画出图形，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：（1） SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，其对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图，连接BC，作PH∥y轴，交BC于H，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于对称轴 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向左平移3个单位长度得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 新抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的周长最小？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上的一个动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），将直线 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线部分关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称形成爱心图案，动点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 ，理由见详解
(3) SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 求解即可：
（2）连接BC，BC与对称轴的交点即点P，此时 SKIPIF 1 < 0 的周长最小；
（3）过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，由三角函数即可求解；
【详解】（1）解：将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设BC的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线的对称轴为： SKIPIF 1 < 0 ，
当点P在BC上时， SKIPIF 1 < 0 的周长最小，
∴将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设点 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可求得CD的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移2个单位得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，平移后点A的对应点为点B．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
(2)若点M是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点N是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）用待定系数法求出b与c的值即可；
（2）先求点B的坐标，再根据平行四边形的性质进行分类讨论．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 的图象经过 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向右平移2个单位得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：存在．理由如下：
∵点 SKIPIF 1 < 0 向右平移2个单位得到点B，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
AB边上的高为4．
易得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上，存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，点M、N的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·四川成都·统考二模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），已知点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是2，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上一点，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，记抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右侧）．当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时（如图1），求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，从 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任取一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的“勾股伴随同类函数”．当抛物线 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的勾股伴随同类函数时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 坐标代入抛物线的解析式即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后利用抛物线的对称轴 SKIPIF 1 < 0 求出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，再代入抛物线解析式中可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决问题；
（2）由（1）可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意抛物线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，则在抛物线 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标仍为 SKIPIF 1 < 0 ，同时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标也为 SKIPIF 1 < 0 ；根据旋转的性质可知：点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，同理点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据点的坐标的唯一性可确定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，从而确定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入即可求解；
（3）根据题意可确定，只有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为三角形其中两个顶点，然后再从 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任取一点构成直角三角形的三个顶点，分三种情况利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴： SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，得：
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当抛物线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，
∴在抛物线 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标仍为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）根据题意可知，在构成的直角三角形三个顶点中，有两个顶点是从点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中选取，有一个点是从 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任取．由图可知，当点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中任意一点构成的三角形是钝角三角形，故只有点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形其中的两个顶点．
设 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 为顶点时，
∵在抛物线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是一个锐角，点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 为顶点时，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 为顶点时，
分两种情况：
第一种： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
第二种： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·重庆·校联考二模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)如图1，点 SKIPIF 1 < 0 为第四象限抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到新抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，在新抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为直角边，若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)10
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
【思路分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，当PD最大时四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最大，即可求解；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出抛物线向左（右）平移的距离，确定点Q的横坐标，分向下和向上两种情况，利用勾股定理进而求解．
【详解】（1）解：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去），
得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大为10；
（3）沿直线AB平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故设向右（左）平移 SKIPIF 1 < 0 ，向上（下）平移 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴 SKIPIF 1 < 0 也向右平移 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 或向左平移 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
当抛物线沿直线 SKIPIF 1 < 0 向上平移时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当抛物线沿直线 SKIPIF 1 < 0 向下平移时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022·江苏泰州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 <0）关于原点对称得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的顶点分别为M，N．
(1)请直接写出抛物线 SKIPIF 1 < 0 的表达式；（用含有 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
(2)若抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点从左到右依次为C，D．
①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②是否存在这样的 SKIPIF 1 < 0 ，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由；
(3)在抛物线 SKIPIF 1 < 0 对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)c2的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)①m=-2；②存在m，m=-1；
(3)p-q=-1．
【思路分析】（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y），将点（-x，-y）代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）①分别求出A（-1+m，0），B（1+m，0），C（-1-m，0），D（1-m，0），再由题意建立方程即可求m的值；
②由M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，则MN为矩形的对角线，在由勾股定理可得1+3+（2m-1）2+3=12+4m2，解得m=-1；
（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线 交GI于点K，则GI∥MH，由平行线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再由NK∥y轴，得 SKIPIF 1 < 0 ，即t= SKIPIF 1 < 0 ，最后
列出等式，可求p-q=-1．
【详解】（1）解：设抛物线c2上任意一点（x，y），
则点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y），
将点（-x，-y）代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线c2的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①对函数 SKIPIF 1 < 0 ，
令y=0，解得x=-1+m或x=1+m，
∵m＜0，
∴A（-1+m，0），B（1+m，0），
对函数c2： SKIPIF 1 < 0 ，
令y=0，解得x=1-m或x=-1-m，
∵m＜0，
∴C（-1-m，0），D（1-m，0），
∴AD=2-2m，BC=-2-2m，
∵AD=3BC，
∴2-2m=3（-2-2m），
∴m=-2；
②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：
∵抛物线c1的对称轴为x=m，
∴M（m， SKIPIF 1 < 0 ），
∵抛物线c2的对称轴为x=-m，
∴N（-m，- SKIPIF 1 < 0 ），
∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，
∴MN为矩形的对角线，
∴AM2+AN2=MN2，
∴1+3+（2m-1）2+3=12+4m2，
解得m=-1；
（3）设G点的横坐标为t，
过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线 交GI于点K，
∴GI∥MH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵GM=pGP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵NK∥y轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵GN=qGQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴t= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴1+p=q，
∴p-q=-1．