2024年陕西省西安市西咸新区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 目前正值冬春交替季节，昼夜温差较大．青青所在的城市某天上午气温上升记作，那么该城市这天傍晚气温下降应记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键．
【详解】解：气温上升记作，
气温下降记作；
故选：D．
2. 如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（ ）
A. 经过一点有无数条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短D. 两点确定一条直线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的性质，理解垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：由题意得：依据是：垂线段最短；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了整式的运算，熟练掌握公式，是解本题的关键．根据合并同类项的法则和同底数幂的乘除法则逐项判断即可.
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，结论错误，不符合题意；
B.，结论正确，符合题意；
C.不是同类项，不能合并，结论错误，不符合题意；
D.， 结论错误，不符合题意；
故选：B．
4. 将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及正比例函数的定义，熟知函数图象“左加右减，上加下减”的平移法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移个单位后得到一个正比例函数，
即，
，
则m的值为2．
故选：A．
5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长．
【详解】解：五条平行横线的距离都相等，
，
的长为3，
，
故选：C．
6. 如图，点为正方形的对角线的中点，点为线段上一点，连接是以为底边的等腰三角形，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形等知识，根据正方形的性质得到，，由勾股定理得到，进一步求出，，即可得到的长．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴
∵点为正方形的对角线的中点，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
故选：D
7. 在源远流长的岁月中，小小的扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条、的夹角，点为和所在圆的圆心，点、分别在、上，经测量，，，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求扇形的阴影面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：
，
（）；
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当时，平移后所得的新二次函数的最大值为9，则的值为（ ）
A. 6B. C. 2或D. 或6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与图象变化，熟练掌握最值求法是解答本题的关键．先推出平移后的抛物线解析式，再分情况讨论时函数最值即可．
【详解】解：二次函数，
将二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数解析式为：，
∵当时，平移后所得的新二次函数的最大值为9，
∴当时，，，解得，
当，时，，解得，
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 数轴上点表示的数是，则与点相距4个单位长度的点表示的数是______．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查了数轴的应用，关键是注意符合条件的有两种情况．根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出即可．
【详解】解：分为两种情况：①当点在表示的点的左边时，数为；
②当点在表示的点的右边时，数为；
故答案为：或3
10. 如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中______．
【答案】##36度
【解析】
【分析】根据五边形的外角可得，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，
∴，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了正多边形的外角，三角形内角和定理，掌握正多边形的外角和为360°且每一个外角都相等是解题的关键．
11. 我国古代数学家梅縠成的《增删算法统宗》中有题如下：一千官军一千布，一官四疋无零数．四军才分布一疋，请问官军多少数．其大意为：今有1000官兵分1000疋布，1官分4疋，4兵分1疋，请问官兵各几人？若设官x人，兵y人，依题意可列方程组为___________．
【答案】
【解析】
分析】依据总人数1000和布1000分别列出二元一次方程，再组成二元一次方程组即可．
【详解】∵有1000官兵
∴
∵有1000疋布
∴
故可列出方程组：．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用二元一次方程组解决实际问题，关键是依据等量关系列出方程组．
12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，连接并延长交该反比例函数图象于另一点，点在轴正半轴上，连接，则的面积为______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数，解题关键是正确计算面积．作轴于，由，得，设，由点在反比例函数的图象上，即可得，故的面积的面积．
【详解】解：作轴于，
由，
得，
设，
由点在反比例函数的图象上，
得，
故的面积的面积．
故答案为：16
13. 如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值．
【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
直线l与直线之间的距离为1，
，
，
，
，
，
即的最小值为，
即周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，化简绝对值，二次根式的乘法，负整数幂，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键，先分别求出两个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．即可求得不等式组的解集．
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为，．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外的除法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．掌握相应的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
17. 如图，在四边形中，，点为边的中点，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得四边形和四边形的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，当点是的中点时，四边形和四边形的面积相等，作出的垂直平分线，即可求解；理解的中点满足题意，掌握做法是解题的关键．
【详解】解：如图，
点即为所求．
18. 如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，得出即可．
【详解】证明：，
，
又，
，
在和中，，
，
．
19. 如图，在中，，点为边上一点，，连接，点为的中点，连接，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的计算，勾股定理，线段中点的相关计算，根据角的正切值求出的长，从而得到的长，利用勾股定理求出，进而得到结果．
【详解】解：在中，，
，即，
，
，
，
在中，，
点为的中点，
．
20. 2024年元宵节，西安城墙灯会深挖春节文化、诗词文化内核，将非遗制灯工艺与经典古诗词有机融合，营造出“一步一绝句，一灯一诗词；龙行五千年，华灯满城彩”的节庆文化氛围．中国古诗词作为中国文化的瑰宝，承载了丰富的历史和文化内涵，喜欢古诗词的宋宇和赵云两人制作了4张背面完全相同的卡片，并在卡片正面写上四首古诗（其中三首是李白的诗，一首是杜甫的诗），如图，现将卡片背面朝上洗匀后，宋宇从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵后，放回，洗匀后，赵云再从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵
（1）宋宇朗诵的是李白的诗的概率为______；
（2）请用列表法或画树状图的方法求宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）画状图得出所有等可能的结果数以及宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，宋宇朗诵的是李白的诗的概率为 ，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的结果共种，
∴宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率为．
21. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织九年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动．其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如下表所示：
请你选择其中的一种测量方案，求古树AB的高度．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题是解直角三角形的应用，
选甲组，根据矩形的性质得出的长，再根据锐角三角函数求出的长即可得出结果；
选乙组，根据锐角三角函数得出与的长即可得出结果；
掌握锐角三角函数及特殊角三角函数值是解题的关键．
【详解】解：选甲组：
∵四边形为矩形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即古树的高度为；
选乙组：
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即古树的高度为．
22. “千里游学、古已有之”，为传承红色基因，激发学生的爱国热情，提高学生的社会责任感，小苏和小李两家周末带孩子前往某爱国主义教育基地进行参观．已知小苏家、小李家和爱国主义教育基地在同一条笔直的道路上，如图．小苏和家人从家出发，开车以的速度前往爱国主义教育基地，同时，小李和家人骑自行车从家出发，匀速前往爱国主义教育基地，小李到小苏家的距离与行驶时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）出发多久后，小苏与小李在途中相遇，相遇时他们距离小苏家多远？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，用待定系数法可以求得与之间的函数关系式；
（2）根据函数图象中的数据，设出发后，小苏距家，列出方程求解即可．
【小问1详解】
设与之间的函数关系式为，
则，
解得，
与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
设出发后，小苏距家．
令，
解得，
当时，，
出发后，小苏和小李在途中相遇，相遇时他们距离小苏家．
23. 据中国乘用车市场信息联席会整理的海关数据显示，2023年全年中国汽车出口的数量和金额均达到世界第一，首次超越日本成为全球最大汽车出口国．为保护中国汽车出口的大好形势，各大品牌严把质量关．某品牌汽车计划对该品牌下其中一种型号某一批次新能源汽车的电池续航里程进行检测，随机抽取20辆这种型号汽车，将其电池续航里程的检测结果绘制成如下统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）所抽取汽车电池续航里程的众数是______km，中位数是______km；
（2）求所抽取汽车电池续航里程的平均数；
（3）若该种型号新能源汽车本批次共生产了150辆，请估计电池续航里程能达到的有多少辆？
【答案】（1）470 ；470
（2）抽取汽车电池续航里程的平均数
（3）电池续航里程能达到的有30辆
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，众数中位数及平均数的定义，样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据众数，中位数的定义即可求解；
（2）根据平均数的定义，代入数值计算即可；
（3）用样本中电池续航里程达到占20辆这种型号汽车的比例乘150即可．
【小问1详解】
解：抽取20辆这种型号汽车中，电池续航里程为的汽车最多，
众数为：，
抽取20辆这种型号汽车中，将电池续航里程从小到大排列，排在第9和第10的电池续航里程都是，
中位数是，
故答案为：470，470；
【小问2详解】
解：，
答：抽取汽车电池续航里程的平均数；
【小问3详解】
解：（辆）
答：电池续航里程能达到的有30辆．
24. 如图，在中，点为边的中点，以为直径的切于点，点是上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，由切线的性质得到，根据垂径定理得到，即可证明结论；
（2）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，由垂径定理即可得到结果．
【小问1详解】
证明：连接交于点，如图．
与相切于点，
，
，
，
又，
，即，
，
；
【小问2详解】
解：点为中点，，
，
，
，
在中，，
，
，
，即，
解得．
，且为的半径，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，切线定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
25. 为了弘扬耕读文化，进一步引导中学生树立正确的劳动价值观，提升劳动技能，某校搭建了一座劳动实践基地．基地中某一根黄瓜藤在钢圈的支撑下，其形状近似呈如图所示的抛物线形，黄瓜藤的藤根和藤梢均在地面上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是钢圈的支架，边在轴上，顶点均在抛物线上，经测量，，已知图中所有的点都在同一平面内．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知在瓜藤上的点处有一根黄瓜，点到轴的距离为，为使黄瓜不长成弯曲状（黄瓜长度大于点到轴的距离时，黄瓜会长成弯曲状），在黄瓜不超过多长时就应该从瓜藤上摘下？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当时的函数值，根据题意进行解答即可．
【小问1详解】
解：
，抛物线的对称轴为直线．
，且矩形顶点均在抛物线上，
点到抛物线对称轴的距离为1，即．
∴点的坐标为．
抛物线经过坐标原点，
设抛物线的函数表达式为．
将点代入，
得，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
当时，，
点到轴的距离为，
为使黄瓜不长成弯曲状，在黄瓜不超过的长度时就应该从瓜藤上摘下．
26. 【问题提出】
（1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值为米
【解析】
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得到，即可得到的面积；
（2）证明，进一步得到，则证明点P在矩形内部以为直径的上运动，连接， 交于点，进一求出，则，由，即可得到的最小值；
（3）证明得到，则，再证明得到，证明点H在劣弧上运动，求得，进一步求得米，勾股定理可得米，记与相交于点，则米，求出米，由米，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：5
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴点P在矩形内部以为直径的上运动，
连接， 交于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值；
（3）连接，作的外接圆，连接，如图3，
∵四边形是菱形，
∴米，，
∵，
∴
∵
∴
∴，即
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴点H在的劣弧上运动，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
在中，米，，过点O作于点M，如图，
则米，
∴米，
∴米，
∴米，
记与相交于点，则米，
∴米，
∵米，
∴的最小值为的长，即的最小值为米
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键．
活动课题
测量古树AB的高度
研学小组
甲组
乙组
测量示意图
测量说明
于点，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内
于点，图中所有的点都在同一平面内
测量数据
，，
，，