天津市河北区2023-2024学年高三下学期质量检测（一）数学试题

这是一份天津市河北区2023-2024学年高三下学期质量检测（一）数学试题，共13页。试卷主要包含了5 D，关于函数有下述四个结论等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题共45分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在指定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知甲乙两组数据分别为和，则下列说法中不正确的是
A.甲组数据中第70百分位数为23 B.甲乙两组数据的极差相同
C.乙组数据的中位数为25.5 D.甲乙两组数据的方差相同
4.函数的导数为，则的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（ ）
A.18 B.27 C.36 D.54
7.关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，点在以为直径的圆上，，过作圆经过点的切线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
第II卷
注意事项：
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.
3.本卷共11小题，共105分.
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上）
10.是虚数单位，复数满足，则__________.
11.若的展开式中常数项为，则__________.
12.直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为__________.
13.已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________.
14.已知，则的最小值为__________.
15.函数若函数恰有两个不同的笭点，则实数的取值范围为__________.
三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，求的值；
（3）若为的中点，且，求的面积.
17.（本小题满分15分）
如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离：
（3）求平面和平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分15分）
设椭圆的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）动点为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.
19.（本小题满分15分）
已知是等差数列，其公差大于1，其前项和为是等比数列，公比为，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）若正整数满足，求证：不能成等差数列；
（3）记，求的前项和.
20.（本小题满分16分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，且，求证：
河北区2023—2024学年度高三年级总复习质量检测（一）
数学答案
一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.； 11.-40； 12.；
13.； 14.18； 15.或.
三､解答题：本大题共5小题，共75分.
16.（本小题满分14分）
解：（1），由正弦定理，得
，
.
（2），
，
.
（3）中，由余弦定理，得，
，
中，由余弦定理，得，
，
联立得，
代入，解得.
的面积.
17.（本小题满分15分）
证明：（1）平面，以为原点，分别以､
的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，点是的中点，
，
，
则.
设平面的法向量为，则有
不妨令，得，
.
平面.
（2），
设平面的法向量为，则有
不妨令，得，
.
则，
点到平面的距离为.
（3）设平面与平面的夹角为，
平面的法向量为，平面的法向量为，
，
平面和平面夹角的余弦值等于.
18.（本小题满分15分）
解：（1）的焦点的坐标，由，，
，得，
椭圆的方程为.
（2），
由题意可知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率，
直线的方程为，
联立消去，
得.
直线过点，
.
代入，得，
.
同理：直线的方程为，
联立消去，
得.
直线过点，
.
代入，得，
.
若，即
直线的斜率
，
直线的方程为，
令，解得，
直线过定点.
若，此时，直线也过点.
直线过定点.
19.（本小题满分15分）
解：（1）
由题意.
联立即
代入整理，，
.
.
（2），
若成等差数列，
则有，即，
等式的左右两边同时除以，
可得，
，
为偶数，为偶数，而1是奇数，
等式不成立，
不能成等差数列.
（3），
，
，
，
，
.
（20）（本小题满分15分）
解：（1），
，
令，
解得.
，
当变化时，的变化情况如下表：
当时，有极大值，也就是最大值，
而，
在上恒成立，
在上单调递减.
（2）要证，
只要证.
，
令，
，
解得：.
，当变化时，的变化情况如下表：
当时，有极大值，也就是最大值.
而，
当时，.
令，
，
当时，恒成立，
在上单调递增，
而，
当时，，
.
（3）已知，且，
.
由（1）可知，函数在上单调递减，
.
由（2）可知，当时，，即，
即，
，
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
A
A
C
D
D
C
B
B
+
0
-
极大值
1
+
0
-
极大值