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吉林省吉林市2024届高三下学期3月第三次模拟考试 数学
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这是一份吉林省吉林市2024届高三下学期3月第三次模拟考试 数学，共7页。
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知若，则实数的值为
A．B．C．或D．
3．已知随机变量~，且，则
A．B．C．D．
4．若互不相等的正数满足，则
A．，，成等差数列B．，，成等比数列
C．，，成等差数列D．，，成等比数列
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是
A．B．
C．D．
6．已知圆锥的侧面积是且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为
A．B．C．D．
7．已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点，则该椭圆的离心率的最大值为
A．B．C．D．
8．已知为锐角，且，则的最大值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，，则
A．
B．
C．
D．的子集个数为
10．在的展开式中，下列说法正确的是
各二项式系数的和为
B．各项系数的绝对值的和为
C．有理项有项
D．常数项是第项
B
C
D
O
A
B
C
D
O
11．如图，在等腰梯形中，，且，为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图），则
图 图
A．在翻折过程中，与可能垂直
B．在翻折过程中，二面角无最大值
C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．已知向量，，若，则 ．
13．“冰天雪地也是金山银山”.年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造一圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等处打卡景观．若这处景观分别用，，，表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则 （结果用表示）．
14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分别为，直线与直线交于点，则与的面积比值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知的三个内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在方向上的投影向量是，，求的面积．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，为中点，点在棱上（不包括端点）．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点为的中点，求直线到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且．
（Ⅰ）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（Ⅱ）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围．
18．（本小题满分17分）
短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度．为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的名游客调查得知，南方游客有人，因收看短视频而来的名游客中南方游客有人．
（Ⅰ）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；
（Ⅱ）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一．现有甲、乙等人参加此游戏，球首先由甲传出．
(ⅰ)求经过次传递后球回到甲的概率；
(ⅱ)记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望．
参考公式：
附表：
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设分别是的极小值点和极大值点，记，．
(ⅰ)证明：直线与曲线交于除外另一点；
(ⅱ)在(ⅰ)结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
命题、校对：高三数学核心组单位：人
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知若，则实数的值为
A．B．C．或D．
3．已知随机变量~，且，则
A．B．C．D．
4．若互不相等的正数满足，则
A．，，成等差数列B．，，成等比数列
C．，，成等差数列D．，，成等比数列
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是
A．B．
C．D．
6．已知圆锥的侧面积是且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为
A．B．C．D．
7．已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点，则该椭圆的离心率的最大值为
A．B．C．D．
8．已知为锐角，且，则的最大值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，，则
A．
B．
C．
D．的子集个数为
10．在的展开式中，下列说法正确的是
各二项式系数的和为
B．各项系数的绝对值的和为
C．有理项有项
D．常数项是第项
B
C
D
O
A
B
C
D
O
11．如图，在等腰梯形中，，且，为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图），则
图 图
A．在翻折过程中，与可能垂直
B．在翻折过程中，二面角无最大值
C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．已知向量，，若，则 ．
13．“冰天雪地也是金山银山”.年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造一圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等处打卡景观．若这处景观分别用，，，表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则 （结果用表示）．
14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分别为，直线与直线交于点，则与的面积比值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知的三个内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在方向上的投影向量是，，求的面积．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，为中点，点在棱上（不包括端点）．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点为的中点，求直线到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且．
（Ⅰ）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（Ⅱ）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围．
18．（本小题满分17分）
短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度．为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的名游客调查得知，南方游客有人，因收看短视频而来的名游客中南方游客有人．
（Ⅰ）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；
（Ⅱ）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一．现有甲、乙等人参加此游戏，球首先由甲传出．
(ⅰ)求经过次传递后球回到甲的概率；
(ⅱ)记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望．
参考公式：
附表：
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设分别是的极小值点和极大值点，记，．
(ⅰ)证明：直线与曲线交于除外另一点；
(ⅱ)在(ⅰ)结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
命题、校对：高三数学核心组单位：人
游客
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合计
收看
未看
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北方游客
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