浙江省杭州市精诚联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题（Word版附答案）

这是一份浙江省杭州市精诚联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，若过点可以作曲线的两条切线，则等内容，欢迎下载使用。

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．从5名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（ ）
A．25B．27C．30D．60
2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．56B．-56C．70D．-70
4．平面的法向量，平面的法向量，则平面与平面的夹角为
A．B．C．或D．
5．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知两个等差数列与的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知0为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ）
A．这批水稻长不大的占比超过10%
B．这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1%
C．如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30%
D．如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3%
10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．在杨辉三角第十行中，从左到右第7个数是84
C．去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前37项和为1014
D．由“”猜想
11．已知函数，若有两个极值点，则下面判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．设数列的前项和为（对于所有），且，则的数值是______.
13．一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个，红色小球1个，每次从中取出一个，取出后不放回，当取出第二种颜色时即停止．设停止取球时，取球的次数为，则______，则______.
14．已知圆，直线，过直线上的一点，作，使，边过圆心，且B，C在圆上，则点的横坐标的取值范围是______.
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）如图九宫格棋盘上有16个定点分别为，先从出发只能向上或者向右，走到为止，每走向上一步得一分，向右不得分，若连续向上两步则得分翻倍（例如路线：得分为），记得分为随机变量
（1）求的概率．
（2）求X的分布列及期望．
16．（15分）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）求函数在区间[0，2]上的最大值.
17．（15分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，，，
（1）求四棱锥的体积．
（2）若为边PC的中点，求二面角的余弦值．
18．（17分）已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，
（1）求双曲线方程．
（2）证明直线QB过定点.
（3）当PQ的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．
19．（17分）设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
（1）已知集合，集合，分别求解．
（2）对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
（1）求的最大值（无需证明）．
（2）已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
2023学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考
高二年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分（两空第一空2分，第二空3分）
12．213．14．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（1）从到的路线共有条，………………………………………………………2分
其中使得的路线有，因此…………………………………………5分
（2）由题意可知的取值可以为3、5、6，所以
(写出一个给1分，两个给3分)…………………………………………………………………………9分
因此X的分布列为
……………………………………………………………………11分
所以……………………………………………………………………13分
15、（1）………………………………………………………2分
（ⅰ）当时，则，从而在上单调递增；………………………………………4分
（ⅱ）当时，令，得，故．
从而在区间上单调递增，
在区间单调递减……………………………………………………………7分
（2）（ⅰ）当时，在区间[0，2]上的最大值是；…………………………………9分
（ⅱ）当时，在区间[0，2]上的最大值是；………………………………12分
（ⅲ）当时，在区间[0，2]上的最大值是……………………15分
16、（1）取中点，连接．
为等腰直角三角形，，且为AD的中点，
，且，
，………………2分
，即为四棱锥的高……………………………………4分
四棱锥的体积…………………………6分
（2）如图建立空间直角坐标系
易得……………………………………………………………7分
为的中点，
又是的中点
………………………………………………9分
设平面PAB和平面MAB的法向量分别为和
，即
，即
……………………………………13分（方程给出给2分，算对给4分）
……………………………15分
18.（1）已知渐近线，则，带入点可得，
即双曲线方程为：．………………………………………………………………………………3分
（2）
①
则，②③………………………………………………………………5分
联立，解得，则，同理可得，…7分
可得④，由②-④可得
化简得，
把①带入得⑤．…………………………………………………………………9分
设直线的斜率为，则，
带入⑤可得，……………………………………………………………………11分
直线的方程为，
即，所以过定点．……………………………13分
（3）直线与的距离为带入①⑤可得，
由题意可得四边形是平行四边形，而，…………15分
故四边形的面积为，
且直线与双曲线右支的交点，故．……………………………………17分
19．（1）已知集合的非空子集有15个：
计算可得，即．……………………………………………2分
集合的非空子集有15个：
计算可得，即………………………………5分
（2）①集合共有个非空子集，的最大值为………………7分
②，
…………………………………………10分
即证
不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为
集合是极异集合，，代表有个不同的正整数
即
……………………………………………………………………………………………14分
中有个元素，有元素互异性可得
，即可得
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
B
D
A
C
B
9
10
11
ACD
ABC
ABD
X
3
5
6
P