中考数学二轮复习核心专题复习攻略（讲+练）专题05 一次函数及其运用（2份打包，原卷版+解析版）

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考点01 一次函数相关概念
正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
2. 一次函数：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
3. 一次函数的一般形式：
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
【注意】（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
【例1】下列函数中，正比例函数是
A．y= SKIPIF 1 < 0 B．y= SKIPIF 1 < 0
C．y= SKIPIF 1 < 0 x D．y= SKIPIF 1 < 0 （x-1）
【例2】下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝ SKIPIF 1 < 0 ；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点2 一次函数的图像和性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
（2）一次函数的性质
（3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
【例3】已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是
A．B．
C． D．
【例4】已知一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点3 待定系数法求一次函数解析式
（1）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
（2）待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：
①设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
③解方程，求出待定系数k．
④将求得的待定系数k的值代入解析式．
（3）待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
③解二元一次方程组，求出k，b．
④将求得的k，b的值代入解析式．
【例5】一次函数图象经过（3，1），（2，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求当x=6时，y的值．
考点4 一次函数与正比例函数的区别与联系
【例6】将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）
考点5.一次函数与方程（组）、不等式
（1）一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
（2）一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
（3）一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
【例7】已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为
A．x=0B．x=1
C．x=–2D．x=3
【例8】如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x= （ ）
A．2B．–2
C．0D．–1
【例9】如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数的图象经过点B（−2，−1）.
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组−1【例10】如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是
A． B．
C． D．
考点6.一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
【例11】在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
考点7.一次函数的实际应用
（1）主要题型：
①求相应的一次函数表达式；
②结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
（2）用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
①设定实际问题中的自变量与因变量；
②通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
③确定自变量的取值范围；
④利用函数性质解决问题；
⑤检验所求解是否符合实际意义；
⑥答．
（3）方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
（4）方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【例12】某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1.下列函数①y=﹣2x+1，②y=ax﹣b，③y=﹣ SKIPIF 1 < 0 ，④y=x2+2中，是一次函数的有
A．①②B．①C．②③D．①④
2.一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是
A．B．
C．D．
3.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为
A．x=0B．x=1C．x= SKIPIF 1 < 0 D．x=–2
如图，一次函数y1=x＋b与一次函数y2=kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是
A．x>﹣2B．x>0C．x>1D．x<1
如图，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B． C． D．
7.若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0B．b＜0C．a+b＞0D．a﹣b＜0
8.如图，直线y＝kx+b交直线y＝mx+n于点P（1，2），则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集为（ ）
A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2
9.如图，一束光线从点 SKIPIF 1 < 0 出发，经 SKIPIF 1 < 0 轴上的点 SKIPIF 1 < 0 反射后经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为
A． SKIPIF 1 < 0 B．2
C． SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0
填空题
填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11.已知函数y=（m+2）是正比例函数，则m的值是__________．
12.把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．
13.如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把 SKIPIF 1 < 0 绕点B逆时针旋转90°后得到 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是_____．
14.如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
15.直线经过，两点，则______（填“”“”或“”）．
16.如图，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标______．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17. 已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=14，当x=–1时，y=–6.
（1）求k与b的值；
（2）当y与x相等时，求x的值.
18. 已知y–3与3x+1成正比例，且x=2时，y=6.5．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a的值．
如图，直线l1的函数解析式为y=2x–2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．
（1）求点D、点C的坐标；
（2）求直线l2的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．
20.某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．
（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．
21.张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶．已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（1）张师傅开车行驶 小时后开始加油，本次加油 升．
（2）求加油前Q与t之间的函数关系式．
（3）如果加油站距目的地210千米，汽车行驶速度为70千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．
22.某乡A，B两村盛产大蒜，A村有大蒜200吨，B村有大蒜300吨，现将这些大蒜运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的大蒜为x吨，A，B两村运大蒜往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- SKIPIF 1 < 0 ，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100
C
D
总计
A
x吨

200吨
B


300吨
总计
240吨
260吨
500吨