2024南通海安高级中学高二下学期第一次月考试题数学含答案

这是一份2024南通海安高级中学高二下学期第一次月考试题数学含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2.设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
3.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ）
A.35B.40C.50D.70
4.如图，已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，以，，为基底，则可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
5.江苏海安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵。海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战火摧残，多数已面目全非。随着海安城市人文建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建。海中高二年级几名同学打算利用周末时间寻访“十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠柏、双桥曲径、桂岭秋香。因时间有限，计划从中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社，则东郊文社不是第一个游览的情况有（ ）
A.2016种B.1512种C.1426种D.1362种
6.在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间。则理论上他们的排法有（ ）
A.3864种B.3216种C.3144种D.2952种
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，E为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。正确答案为3个的选对1个得2分；正确答案为2个的选对1个得3分；有选错的得0分。）
9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A.若空间向量，，则在上的投影向量为
B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C.若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（ ）
A.可组成360个四位数
B.可组成216个是5的倍数的五位数
C.可组成270个比1325大的四位数
D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2301
11.如图，在正四棱锥中，，，E是的中点.设棱锥与棱锥的体积分别为，，，与平面所成的角分别为，，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 .
13.若曲线（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是 .
14.将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为，则 .
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知向量，，
（1）求的值；（2）求；（3）求的最小值.
16.（本小题满分15分）若函数，在处切线方程为：.
（1）求的解析式；（2）求在上的最大值、最小值.
17.（本小题满分15分）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点M为中点.
（1）证明：平面；
（2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值.
18.（本小题满分17分）如图，是半球O的直径，，M，N是底面半圆弧上的两个三等分点，P是半球面上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若点P在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……、从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解.
已知函数，.
（1）当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
（2）若，求a的取值范围.
海安高级中学2023-2024学年度高二年级第二学期阶段练习
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B
6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。正确答案为3个的选对1个得2分；正确答案为2个的选对1个得3分；有选错的得0分。）
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】125
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】
（1）因为，，所以，又因为，
所以.
（2）因为，，所以.
（3）因为，，所以，
所以，
当时，取得最小值28，则最小值为.
16.【答案】
（1）
（2）最大值，最小值
【分析】（1）求导，根据切线方程可得，即可得解；
（2）利用导数求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，从而可得答案.
【详解】（1），
因为函数在处切线方程为：，
所以，解得，
所以；
（2），
当或时，，当时，，
所以函数在，上递增，在上递减，
又，，，，
所以，.
17.【分析】（1）连接交与点O，证明四边形为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）取中点为N，连接，，，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：连接交与点O，连接，，
由于平面，平面，
平面平面，故，
O为的中点，点M为中点，故，
，则四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，
故平面；
（2）由（1）知，取中点为N，连接，，，
由题意知是边长为2的正三角形，在中，，，，
则，故，
是边长为2的正三角形，则，
又，，平面，则平面，
平面，故，
，∴，则为正三角形，故，
而，，平面，故平面：
以N为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
则，令，则；
，，设平面的法向量为，
则，即，令，则，
故，
设平面与平面所成二面角为，，
故，故平面与平面所成二面角的正弦值为.
18.【答案】
（1）连接，，，因为M，N是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为，所以，都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为Q，Q为和的中点，因为，，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为P是半球面上一点，是半球O的直径，所以，因为，，平面，所以平面.
（2）因为点P在底面圆内的射影恰在上，由（1）知Q为的中点，为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即、、两两互相垂直，以点Q为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为θ，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.
19.【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）首先求处的切线方程，求得，再求处的切线方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化简不等式，，再构造函数并求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性，转化为求函数的最值，并结合最值的单调性，即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
曲线在处的切线为，且
曲线在处的切线为，且
故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为.
【小问2详解】
由，得，
设，
则
∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意；
当时，则有，，单调递减，，，单调递增，
即，即
易知单调递增，且，故.