2024年河北省石家庄长安区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年河北省石家庄长安区中考一模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了整式，，下列结论等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．比2（ ）
A．小2B．大2C．小4D．大4
2．一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（ ）
A．沿北偏东方向航行B．沿南偏西方向航行
C．沿北偏东方向，航行30海里D．沿南偏西方向，航行30海里
3．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”，将亿用科学记数法表示为，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
4．若使用下图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．①②都可以B．①②都不可以
C．①可以，②不可以D．①不可以，②可以
5．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确D．结论一、结论二都不正确
6．如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下变形过程正确的是（ ）
A．原式B．原式
C．原式D．原式
8．如图，，则直线与所成的锐角的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（ ）

A．段①B．段②C．段③D．段④
10．如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ）

A．只与、的长有关B．只与、的长有关
C．只与、的长有关D．与四边形各边的长都有关
11．班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在D座位，三位同学随机坐在A、B、C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（ ）

A．B．C．D．
12．如图，在正方形纸片上进行如下操作：
第一步：剪去长方形纸条；
第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条．
若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
13．刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家（中间不休息）．如图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系图象．则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（ ）
A．B．
C．D．
14．对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲、乙的作法如图：
甲的作法
连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线．即为所求．

乙的作法
连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．

下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的作法都正确B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误D．乙的作法正确，甲的作法错误
15．如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．如图，矩形中，点E，F，G分别在边，，上，将矩形分别沿，，折叠，使点A，D恰好都落在点O处，点B落在点处．以下结论：
Ⅰ：若点落在上，则．
Ⅱ：若点与点O重合，则．
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都正确B．Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有Ⅰ正确D．只有Ⅱ正确
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．计算：= ．
18．规定一种新运算：，如．
（1）计算： ；
（2）如果，则x的值为 ．
19．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．
（1）连接，的长为 ；
（2）a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了．
(1)琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算；
(2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”．
21．某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：__________=__________；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
22．鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，鱼的存活率约为．小李随机捕捞了20条鱼，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘．统计结果如图所示：
(1)求样本的中位数和平均数；
(2)已知这种鱼的售价为25元，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入．
23．某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升．两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为．
(1)求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度与上升时间的函数关系图象；
(2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．
24．如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为．
(1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）；
(2)在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）；
(3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差．
25．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．
(1)求抛物线和的函数表达式；
(2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
(3)点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标．
26．在中，，，，点P是的中点，M在上（不与点C重合），连接，在的左侧作矩形．
(1)如图1，当点N在线段上时，
①若，求的长；
②求的值．
(2)如图2，当时，
①若矩形在内部（包括边界），设，写出的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；
②若矩形的两个顶点落在的同一条边上，直接写出在矩形内部的线段长．
参考答案与解析
1．C
【分析】
本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行解答即可．
【解答】解：，
∴比2小4，
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了方位角相关问题，根据方位角和距离进行判断即可．
【解答】解：如图，由题意得，若要航线最短，其航行的路线为沿南偏西方向，航行30海里，

故选：D
3．A
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：亿，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解．
【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．
理由：，满足两边之和大于第三边．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
【解答】解：∵，，
∴，故结论一正确；
∵，
∴，的公因式为，故结论二不正确；
故选：A．
6．A
【分析】
逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图，
本题考查了，简单几何体的三视图，解题的关键是：明确旋转后的主视图．
【解答】
解：根据逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图，
由图可知，左视图的小正方体数量为3，面积为3，
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法即可得到答案．
【解答】解：
，
∴四个选项中，只有D选项正确，符合题意，
故选：D．
8．C
【分析】
此题考查了角的概念，邻补角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握邻补角的定义，三角形的内角和定理是解决问题的关键．延长交于点E，先根据邻补角的定义求出，然后根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：延长交于点E，如下图所示：
∵，
∴，，
∴．
故选：C．
9．C
【分析】
本题考查的是数轴．根据，，逐一判断各选项即可．
【解答】
解：，
原点在的右侧，故段①排除，选项A不符合题意；
假设：当原点在段②时，，，，可得，故原点不在段②，选项B不符合题意；
假设：当原点在段③时，，，，可得，故原点在段③，选项C符合题意；
假设：当原点在段④时，，，，可得，故原点不在段④，选项D不符合题意；
综上，原点落在段③，
故选：C．
10．B
【分析】利用三角形的中位线定理求出四边形的周长即可得出结论．
【解答】解：点、、、分别是线段、、、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，
四边形的周长只与、有关，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
11．A
【分析】
本题主要考查了树状图求概率．画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，即、、、，
甲、乙两位同学座位相邻的概率为，
故选：A．
12．A
【分析】
本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质．设正方形的边长为，则根据题意得到数据：，，结合矩形的面积公式和已知条件“长方形纸条和的面积相等”列出方程并解答．
【解答】
解：设正方形的边长为，
由题意，得．
解得．
故选：A．
13．C
【分析】本题考查了函数图象，根据前半段时间，刘阿姨离家越来越远，后半段时间，刘阿姨离家越来越近即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键．
【解答】解：由函数图象可得，前半段时间，刘阿姨离家越来越远，后半段时间，刘阿姨离家越来越近，
故选：．
14．A
【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
对于甲的作法，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确．
【解答】解：对于甲的作法：
由作法得垂直平分，
∴，
∴点为以为直径的圆与的交点，
∴，
∴，
∴为的切线，所以甲的作法正确；
对于乙的作法：
由作法得，OD=BC，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，所以乙的作法正确；
故选：A．
15．C
【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．
【解答】解：如图所示：
直线一定过点，，
把代入得，，此时反比例函数过整点，，，
阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，
的取值可能是4，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．
16．C
【分析】
本题考查矩形的性质，勾股定理的应用以及折叠变换．根据折叠的性质和矩形的性质分析判断结论Ⅰ；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理求得与的数量关系，从而判断结论Ⅱ．
【解答】
解：若点落在上，由折叠性质可得：
，，，，
，，
，
∴，故结论Ⅰ正确；
若点与点重合，如图所示，
设，，则，，
，
在中，，
，
解得：，
，故结论Ⅱ错误；
故选：C．
17．－1
【分析】根据算术平方根的计算方法求解即可．
【解答】解．
故答案为：-1．
【点拨】此题考查了求解算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的计算方法．
18． 1或
【分析】
本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算可得：，从而整理得：，然后按照解一元二次方程因式分解法进行计算即可解答．
【解答】
解：由题意得：☆5
，
故答案为：；
☆，
，
整理得：，
，
或，
或，
故答案为：1或．
19．
【分析】
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．
（1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点．
（2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，，
则，，
是正六边形的一条对角线，
，
在中，，，
，
，
故答案为：；
如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长的值最小，是正方形的对角线，
，
，
如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线，
设时，正方形的边长最大，
，
，
设直线的解析式为，，，
，
，
直线的解析式为，
将代入得，
此时，取最大值，
，
正方形边长的取值范围是：．
故答案为：．
20．(1)
(2)
【分析】
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算减法即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】（1）
解：
；
（2）
解：
．
21．(1)，
(2)（，且为整数）
【分析】
本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键．
（1）计算，根据上述等式规律可得；
（2）根据上述等式，得出规律，，且为整数），再证明即可．
【解答】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
；
故答案为：，；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数）
证明：
，
猜测的算式正确．
22．(1)这20条鱼质量的中位数和平均数分别为1.4kg，1.425kg
(2)估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入64125元．
【分析】
本题考查了用样本估计总体、加权平均数、中位数的知识，解题的关键是正确的用公式求得加权平均数．
（1）根据中位数和加权平均数的定义求解可得；
（2）用单价乘（1）中所得平均数，再乘存活的数量，从而得出答案．
【解答】（1）
解：这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.4，
这20条鱼质量的中位数是，
．
故这20条鱼质量的平均数为1.425kg；
（2）
解：（元．
答：估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入64125元．
23．(1)，图象见解析
(2)能，9m
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，
（1）设，函数的图象经过，两点，运用待定系数法求解即可；根据题意可以直接写出函数的解析式，根据图象过点，，即可得到函数图象；
（2）令，求出x的值，即可解答．
【解答】（1）设，
由图象知，函数的图象经过，两点．
将，分别代入得：，
解得：．
．
由题意得：．
当，，
∴在直角坐标系中描点，，画得函数的图象如图．
（2）在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下：
当时，，解得．
此时．
答：此时两架无人机高度为．
24．(1)
(2)
(3)切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为
【分析】（1）过点作于点，作于点，则四边形为矩形，易得，在中，利用三角函数解得的值，进而可得的值，即可获得答案；
（2）设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，过点作于H，则，作于点D，则四动形为矩形，在中，利用三角函数解得，进而可得，由圆的轴对称性可知，然后利用弧长公式求解即可；
（3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得，在中，利用勾股定理解得；证明，利用相似三角形的性质解得的值，再证明，易得，即可获得答案．
【解答】（1）解：如下图，过点作于点，作于点，
则四边形为矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：点到桌面的距离是；
（2）如下图，设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，
过点作于H，则，作于点D，
则四动形为矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由圆的轴对称性可知，，
∴．
∴符合条件的点所经过的路径长为；
（3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，
∵弧是半圆，
∴为的直径，
∵直线切于点，且经过点，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，两点到桌面的距离的差为．
答：切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、弧长计算、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．
25．(1)抛物线的函数表达式为，的函数表达式为
(2)或
(3)和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出滑道和 的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；
（3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【解答】（1）
解：滑道； 的顶点为点，
即，
点到点的水平距离为2，
将代入，
点．
点与点关于直线对称，
点．
滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，
可设抛物线 的函数表达式为．
将点，分别代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）
解：设直线的函数表达式为．
将，代入 得：
，解得，
直线的函数表达式为．
点为抛物线 的顶点，
抛物线 不存在 的点．
当 时，，．
，
解得，
根据图像可知，
综上所述， 时，过山车到出发点的水平距离为：或；
（3）
解：设，则，，
，
点为上一点，
，且的值随的增大而增大，
当时，，
当时，和长度之和的最大值为4．
此时的坐标为．
26．(1)①2；②
(2)①（）；②或或3或
【分析】（1）①先根据已知可得为 的中位线，则，由平行线的性质和矩形的性质可得，从而可得的长；②如图2，过点作于点，于点．先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由中位线定理可得，都为的中位线，证明，列比例式可解答；
（2）①先证明四边形为正方形，①当点落在边上时，如图3，过点作于点，证明，可得，可得的值；当点在上时，如图4，点，重合，此时；从而可得当矩形在内部（包括边界）时的取值范围；如图5，当矩形在内部（包括边界）时，点在上（不与点重合），过点作于，由勾股定理可得结论；②分四种情况：分别画图根据图形和相似三角形，全等三角形的性质和判定可解答．
【解答】（1）解：①当时，如图1，
，
此时点是的中点，
是的中点，
为 的中位线．
，
在矩形中，，
．
点是的中点．
为中位线．
；
②过点作于点，于点，如图2，
，
，
四边形为矩形，
，
由①同理得，都为的中位线．
，，
，
，
．
．
，
．
，
在中，；
（2）解：在矩形中，当时，四边形为正方形．
，，
①当点落在边上时，过点作于点，如图3，
，
，
，
，
，
，
，
，
，此时；
当点在上时，点，重合，如图4，此时；
当矩形在内部（包括边界）时，的取值范围是：；
当矩形在内部（包括边界）时，点在上（不与点重合），过点作于，如图5，
，
，，
，
在中，；
②分四种情况：
如图4，
，即在矩形内部的线段长为；
过点作于，过点作于，如图6，
同理得：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，即在矩形内部的线段长为；
过点作于，如图7，

则，
，即在矩形内部的线段长为3；
如图8，
则，
，
，在矩形内部的线段长为；
综上，在矩形内部的线段长为或或3或．
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，三角函数，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，同时在求边的长度时，利用同角三角函数也可以求边长或表示边长，比利用相似或勾股定理简单．