2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第61讲离散型随机变量的均值与方差正态分布（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第61讲离散型随机变量的均值与方差正态分布（教师版），共13页。试卷主要包含了均值，方差，两个特殊分布的期望与方差，正态分布等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．方差
设离散型随机变量X的分布列为：
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq \i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
3．两个特殊分布的期望与方差
4．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
题型归纳
题型1离散型随机变量的均值与方差
【例1-1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．
【解】 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
两人都付0元的概率为P1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
两人都付40元的概率为P2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
两人都付80元的概率为
P3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(1,24)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,24)＝eq \f(5,12).
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：
P(ξ＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
P(ξ＝40)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝80)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12)，
P(ξ＝120)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝160)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24).
ξ的分布列为
E(ξ)＝0×eq \f(1,24)＋40×eq \f(1,4)＋80×eq \f(5,12)＋120×eq \f(1,4)＋160×eq \f(1,24)＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×eq \f(1,24)＋(40－80)2×eq \f(1,4)＋(80－80)2×eq \f(5,12)＋(120－80)2×eq \f(1,4)＋(160－80)2×eq \f(1,24)＝eq \f(4 000,3).
【跟踪训练1-1】设0则当a在(0,1)内增大时，( )
A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大
【解析】选D 由题意知E(X)＝0×eq \f(1,3)＋a×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＝eq \f(a＋1,3)，
因此，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,3)－0))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,3)－a))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,3)－1))2×eq \f(1,3)
＝eq \f(1,27)[(a＋1)2＋(1－2a)2＋(a－2)2]＝eq \f(1,27)(6a2－6a＋6)
＝eq \f(2,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).
当0当eq \f(1,2)即当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.
【跟踪训练1-2】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
【解】(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝eq \f(15,50)＝0.3.
(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(2,4))＝eq \f(2,3)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6).
所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(1,6)＝1.
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．
题型2二项分布的均值与方差
【例2-1】某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．
(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布列、数学期望和方差．
【解】 (1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A，
则P(A)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,8),C\\al(3,12))＋eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,12))＝eq \f(168,220)＝eq \f(42,55).
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为eq \f(1,3).
X的所有可能取值为0,1,2,3，
易知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，P(X＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3－k，k＝0,1,2,3，
则P(X＝0)＝eq \f(8,27)，P(X＝1)＝eq \f(4,9)，P(X＝2)＝eq \f(2,9)，P(X＝3)＝eq \f(1,27).
∴随机变量X的分布列为
数学期望E(X)＝3×eq \f(1,3)＝1，
方差D(X)＝3×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,3).
【跟踪训练2-1】设X为随机变量，且X～B(n，p)，若随机变量X的数学期望E(X)＝4，D(X)＝eq \f(4,3)，则P(X＝2)＝________.(结果用分数表示)
【解析】∵X为随机变量，且X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝eq \f(4,3)，解得n＝6，p＝eq \f(2,3)，∴P(X＝2)＝Ceq \\al(2,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))4＝eq \f(20,243).
【答案】eq \f(20,243)
【跟踪训练2-2】一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)．
【解】(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，
解得a＝0.03.
由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，
而50个样本中小球重量的平均值eq \x\t(x)＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24.6克．
(2)该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为eq \f(1,5)，
则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5))).X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2×eq \f(4,5)＝eq \f(12,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125).
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(64,125)＋1×eq \f(48,125)＋2×eq \f(12,125)＋3×eq \f(1,125)＝eq \f(3,5)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或者EX＝3×\f(1,5)＝\f(3,5))).
【名师指导】
二项分布的期望与方差
(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
题型3均值与方差在决策中的应用
【例3-1】现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
eq \a\vs4\al(投资股市：)
购买基金：
(1)当p＝eq \f(1,4)时，求q的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于eq \f(4,5)，求p的取值范围；
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,6)，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．
【解】 (1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
∴p＋eq \f(1,3)＋q＝1.
又p＝eq \f(1,4)，∴q＝eq \f(5,12).
(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则C＝Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B∪AB，且A，B独立．
由题意可知，P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝p，
∴P(C)＝P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＋P(AB)
＝eq \f(1,2)(1－p)＋eq \f(1,2)p＋eq \f(1,2)p
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)p.
∵P(C)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)p>eq \f(4,5)，
∴p>eq \f(3,5).
又p＋eq \f(1,3)＋q＝1，q≥0，
∴p≤eq \f(2,3).
∴p的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(2,3))).
(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，
∴随机变量X的分布列为
则E(X)＝4×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,8)＋(－2)×eq \f(3,8)＝eq \f(5,4).
假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，
∴随机变量Y的分布列为
则E(Y)＝2×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋(－1)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
∵E(X)>E(Y)，
∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
【跟踪训练3-1】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．
注：尺寸数据在[63.0,64.5) 内的零件为合格品，频率作为概率．
(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与期望；
(2)从产品中随机抽取n个，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值；
(3)为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X的期望是2；若按B方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y的期望是4.你会选择哪种改进方案？
【解】(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为eq \f(4,5)，
从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))4＝eq \f(1,625)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,4)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))3＝eq \f(16,625)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2＝eq \f(96,625)，
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3×eq \f(1,5)＝eq \f(256,625)，
P(ξ＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))4＝eq \f(256,625).
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望E(ξ)＝4×eq \f(4,5)＝eq \f(16,5).
(2)从产品中随机抽取n个产品，全是合格品的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n，依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n≥0.3，故n的最大值为5.
(3)设按A方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a，则随机抽取15个产品，不合格品个数X～B(15，a)；设按B方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y～B(25，b)．
依题意得E(X)＝15a＝2，E(Y)＝25b＝4，所以a＝eq \f(2,15)，b＝eq \f(4,25).
因为eq \f(2,15)【跟踪训练3-2】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解】(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为
f(p)＝Ceq \\al(2,20)p2·(1－p)18，
所以f′(p)＝Ceq \\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝2Ceq \\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；
当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．
【名师指导】
离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略
(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单．
(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．
题型4正态分布及其应用
【例4-1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得eq \x\t(x)＝eq \f(1,16)eq \i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq \r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\x\t(x)2)＝eq \r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,16,x)\\al(2,i)－16\x\t(x)2)))≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数eq \x\t(x)作为μ的估计值eq \(μ,\s\up6(^))，用样本标准差s作为σ的估计值eq \(σ,\s\up6(^))，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq \(μ,\s\up6(^))－3eq \(σ,\s\up6(^))，eq \(μ,\s\up6(^))＋3eq \(σ,\s\up6(^)))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ【解】 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由eq \x\t(x)＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为eq \(μ,\s\up6(^))＝9.97，σ的估计值为eq \(σ,\s\up6(^))＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(eq \(μ,\s\up6(^))－3eq \(σ,\s\up6(^))，eq \(μ,\s\up6(^))＋3eq \(σ,\s\up6(^)))之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除(eq \(μ,\s\up6(^))－3eq \(σ,\s\up6(^))，eq \(μ,\s\up6(^))＋3eq \(σ,\s\up6(^)))之外的数据9.22，剩下数据的平均数为eq \f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.
eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除(eq \(μ,\s\up6(^))－3eq \(σ,\s\up6(^))，eq \(μ,\s\up6(^))＋3eq \(σ,\s\up6(^)))之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为eq \f(1,15)(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
因此σ的估计值为eq \r(0.008)≈0.09.
【跟踪训练4-1】某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为( )
A．10 B．20
C．20 D．40
【解析】选B 由已知得P(ξ<9.9)＝eq \f(1－P9.9≤ξ≤10.1,2)＝eq \f(1－0.96,2)＝0.02，
所以分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为1 000×0.02＝20.故选B.
【跟踪训练4-2】某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求a，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值．
(2)①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布N(μ，102)，计算该批产品该项指标值落在(180,220]上的概率；
②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220]为优良，不高于180为合格，高于200为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润.
附：若ξ～N(μ，δ2)，则P(μ－δ<ξ≤μ＋δ)≈0.682 7，
P(μ－2δ<ξ≤μ＋2δ)≈0.954 5.
【解】(1)由10×(2×0.002＋0.008＋0.009＋0.022＋0.024＋a)＝1，解得a＝0.033，
则平均值eq \x\t(x)＝10×0.002×170＋10×0.009×180＋10×0.022×190＋10×0.033×200＋10×0.024×210＋10×0.008×220＋10×0.002×230＝200，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.
(2)①由题意可得μ＝eq \x\t(x)＝200，δ＝10，则P(μ－2δ<ξ≤μ＋2δ)＝P(180<ξ≤220)≈0.954 5，则该批产品指标值落在(180,220]上的概率为0.954 5.
②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为
则每盒该产品的平均售价为E(X)＝10×0.022 75＋20×0.954 5＋30×0.022 75＝20，故每万盒的平均利润为20－15＝5(万元)．
【名师指导】
正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
分布
期望
方差
两点分布
E(X)＝p
D(X)＝p(1－p)
二项分布
E(X)＝np
D(X)＝np(1－p)
ξ
0
40
80
120
160
P
eq \f(1,24)
eq \f(1,4)
eq \f(5,12)
eq \f(1,4)
eq \f(1,24)
X
0
a
1
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,6)
eq \f(2,3)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)
X
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
eq \f(1,2)
eq \f(1,8)
eq \f(3,8)
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
eq \f(1,3)
q
X
4
0
－2
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,8)
eq \f(3,8)
Y
2
0
－1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,625)
eq \f(16,625)
eq \f(96,625)
eq \f(256,625)
eq \f(256,625)
等级
合格
优良
优秀
售价
10
20
30
X
10
20
30
P
0.022 75
0.954 5
0.022 75