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2023年广东省深圳市光明区李松蓢学校中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省深圳市光明区李松蓢学校中考数学三模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术，佛山剪纸，流传于广东省佛山市的传统美术，是国家级第一批非物质文化遗产之一，剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.铬记是最好的致敬，传承是最好的情怀.截止2023年4月4日，清明祭英烈网上献花人数约605万人次，数据“605万”用科学记数法表示为( )
A. 0.605×105B. 605×104C. 6.05×106D. 6.05×107
4.下列运算中，正确的是( )
A. 3x+4y=12xyB. x9÷x3=x3
C. (x2)3=x6D. (x−y)2=x2−y2
5.某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是( )
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8D. 方差是8
6.不等式组x−1>0x+12≤2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若∠B=50°，则∠CAD的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
8.下列命题中，是假命题的是( )
A. 平行四边形的对角相等B. 在同一个圆内，圆周角等于圆心角的一半
C. 反比例函数的图象与坐标轴没有交点D. 0的立方根是0
9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为( )
A. 5x+6y=165x+y=x+6yB. 5x+6y=164x+y=x+5y
C. 5x+6y=15x+y=x+6yD. 5x+6y=14x+y=x+5y
10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DH并延长交AB于点K，若DF平分∠CDK，则DHHK=( )
A. 2 33
B. 65
C. 5−1
D. 4 57
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：ab2−2ab+a= ．
12.关于x的一元二次方程x2+2x−a=0的一个根是2，则另一个根是______．
13.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，盒子中白色球的个数可能是______．
14.如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO=90°，BO=2，将△ABO绕O点旋转至△A′B′O的位置，且B′为OA中点，A′在反比例函数y=kx上，则k的值______．
15.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在△ABC的同侧作正方形ABDE，设正方形的中心为O，连接OC.若AB=13，AC=5，则OC的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(−1)2023+6cs60°+(π−3.14)0− 16．
17.(本小题7分)
先化简、再求值：(2−1x+1)÷4x2−12x−1，其中x= 2−1．
18.(本小题8分)
银川市第十五中学开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如所示两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列学生喜欢运动项目条形统计图问题：
(1)本次调查的学生共有______人；
(2)在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数______；并把条形统计图补充完整；
(3)在最喜爱健美操项目的学生中，九一班有2名同学(用A1，A2表示)和九二班有3名同学(用B1，B2，B3表示)有健美操基础，学校准备从这5人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB=2∠ABC；
(2)若tan∠ADC=34，BC=12，求AE的长．
20.(本小题8分)
2023年是中国农历癸卯兔年.春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．
(1)“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共200个，“吉祥兔”售价定价为70元，“如意兔”售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个“吉祥兔”？
21.(本小题9分)
定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”.例如，点(1,1)和(−13,13)是函数图象y=12x+12的“等距点”．
(1)判断函数y=x2+2x的图象是否存在“等距点“？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=−4x图象的“等距点”为A、B，函数y=−x+b图象的“等距点”为C，若△ABC的面积为2 3时，请直接写出满足条件的函数y=−x+b的表达式；
(3)若函数y=−x2+2x+2m+2图象只存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．
22.(本小题10分)
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
【问题发现】
(1)如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是______；BD和CE的位置关系是______；
【类比探究】
(2)如图2所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出DHBC的值；
【拓展延伸】
(3)如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN，直接写出线段MN的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：A、B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：605万=605×104=6.05×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=x6，错误；
C、原式=x6，正确；
D、原式=x2−2xy+y2，错误，
故选：C．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7=8，
按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，
∴中位数是8；
∵8出现了3次，次数最多，
∴众数是8；
方差S2=18[(10−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=1.25．
所以D错误．
故选：D．
由题意可知：这组数据的平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7；总数个数是奇数的，按从小到大的顺序排列，取中间的那个数便为中位数，按此方法求中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，这组数据8出现次数最多，由此求出众数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，按此方法计算方差．
考查了方差，加权平均数，中位数及众数的知识，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x−1>0①x+12≤2②，
∵解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是1在数轴上表示为：．
故选：A．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据尺规作图可知，AP是角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，
∴∠BAC=∠C−∠B=90°−50°=40°，
∴∠CAD=20°，
故选：B．
根据作图可知AP是角平分线，再利用三角形内角和定理即可求得∠CAD．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，尺规作图法，掌握角平分线的尺规作图法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A、平行四边形的对角相等，正确，为真命题；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故原命题为假命题；
C、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，正确，为真命题；
D、0的立方根是0，正确，为真命题；
故选：B．
根据平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，
∴5x+6y=16；
∵雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，
∴4x+y=x+5y．
∴根据题意可列方程组5x+6y=164x+y=x+5y．
故选：B．
根据“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点K作KM⊥AH，设DE=a，AE=b，
∵DF平分∠CDK，
∴∠CDF=∠EDH，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，
∴∠CDF=∠ABH，DE=AH，∠DEA=∠EHB，
∴DF//HB，
∴∠EDH=∠BHK，
∴∠KBH=∠KHB，
∴KH=KB，
∵∠AHB=90°，
∴∠KBH+∠KAH=90°，∠KHB+∠KHA=90°，
∴∠KHA=∠KAH，
∴KH=KA，
∴HM=12AH=12a，
∵∠HED=∠DEA，∠HDE=∠EAD，
∴△EHD∽△EDA，
∴HEDE=DEAE，
即b−aa=ab，
解得：b= 5+12a，
∵DE//KM，
∴△HED∽△HMK，
∴DHHK=EHHM=b−a12a= 5+12a−a12a= 5−1，
故选：C．
过点K作KM⊥AH，设DE=a，AE=b，先证得∠KHA=∠KAH，可得KH=KA，再证△EHD∽△EDA，可得HEDE=DEAE，即b−aa=ab，解出b= 5+12a，再证△HED∽△HMK，列比例式求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】a(b−1)2
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(b2−2b+1)=a(b−1)2．
12.【答案】−4
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−2，
∴m=−4，
故答案为：−4，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
13.【答案】18
【解析】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：60×(1−30%−40%)=60×30%=18(个)，
故答案为：18．
根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
14.【答案】−4 3
【解析】解：连接BB′，作A′E⊥x轴于点E，
由题意可得：OB=OB′，B′是OA的中点，
∠AOB=∠A′OB′，OA=OA′，
∴BB′=12OA=OB′，
∴△BOB′是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OA=2OB=4，∠A′OE=60°，
∴OA′=4，
∴OE=12OA′=2，
∴A′E= 3OE=2 3，
∴A′(−2,2 3)，
∵A′在反比例函数y=kx上，
∴k=−2×2 3=−4 3，
故答案为：−4 3．
连接BB′，作A′E⊥x轴于点E，先证明△BOB′是等边三角形，求出OA=2OB=4，∠A′OE=60°，再得出OE=12OA′=2，进而得出A′E= 3OE=2 3，求出A′(−2,2 3)，即可得出答案．
本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出A′(−2,2 3)是解本题的关键．
15.【答案】7 22
【解析】解：过O作OF⊥OC，与BC交于点F，
∵四边形ABDE是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠COF=∠AOB，
∴∠AOC=∠BOF，
∵∠ACG=∠BOG=90°，∠AGC=∠BGO，
∴∠OAC=∠OBF，
∴△OAC≌△OBF(ASA)，
∴OC=OF，AC=BF=5，∠ACO=∠BOF，
∵BC= AB2−AC2= 132−52=12，
∴CF=BC−BF=12−5=7，
∵∠ACO=∠BOF，∠BOG=90°，
∴∠COF=90°，
∴OC= 22CF=7 22．
故答案为：7 22．
过O作OF⊥OC，与BC交于点F，证明△OAC≌△OBF，求得BF，由勾股定理求得BC，进而求得CF，便可求得OC．
本题主要考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
16.【答案】解：原式=−1+6×12+1−4
=−1+3+1−4
=−1．
【解析】先根据有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质进行化简，再进行加减运算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，涉及有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(2−1x+1)÷4x2−12x−1
=2x+2−1x+1⋅2x−1(2x+1)(2x−1)
=2x+1x+1⋅2x−1(2x+1)(2x−1)
=1x+1，
当x= 2−1时，原式=1 2−1+1= 22．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】50 108°
【解析】解：(1)20÷40%=50(人)，
故答案为：50；
(2)健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：360°×1550=108°，
喜欢“跳绳”的学生人数为：50−20−15−10=5(人)，
补全条形统计图如下：
(3)用列树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有8种，
所以，选中的2名同学恰好是同一个班级的概率820=25，
答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为25．
(1)从两个统计图中可得，喜欢“篮球”的人数是20人，占调查人数的40%，根据频率=频数总数进行计算即可；
(2)求出喜欢“健美操”的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出喜欢“跳绳”的学生人数可补全条形统计图；
(3)利用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握频率=频数总数是正确计算的关键，列举出所有可能出现的结果是计算相应概率的前提．
19.【答案】(1)证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC//DE，
∴∠DAB=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC；
(2)解：连接AC，如图，
∵∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=34，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵tan∠ABC=ACBC=34，
∴AC=34BC=34×12=9，
∴AB= AC2+BC2= 92+122=15，
∵OC//AE，
∴∠CAE=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠CAE=∠OAC，
∵∠ACB=∠AEC，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB=AE：AC，即9：15=AE：9，
解得AE=275，
即AE的长为275．
【解析】(1)根据切线的性质得到OC⊥CE，则OC//DE，再根据平行线的性质得到∠DAB=∠AOC，接着根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC，从而得到结论；
(2)连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC，∠ACB=90°，在Rt△ABC中利用正切定义可计算出AC=9，则利用勾股定理可计算出AB=15，接着证明∠CAE=∠OAC，加上∠ACB=∠AEC，则可判断△ACE∽△ABC，然后利用相似比可求出AE的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)设每件“如意兔”的进价是x元，则每件“吉祥兔”的进价是(x+4)元，
根据题意得：8800x+4=4000x×2，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4=40+4=44．
答：每件“吉祥兔”的进价是44元，每件“如意兔”的进价是40元；
(2)设购进m个“吉祥兔”，则购进(200−m)个“如意兔”，
根据题意得：(70−44)m+(60−40)(200−m)≥4120，
解得：m≥20，
∴m的最小值为20．
答：最少购进20个“吉祥兔”．
【解析】(1)设每件“如意兔”的进价是x元，则每件“吉祥兔”的进价是(x+4)元，利用数量=总价÷单价，结合用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每件“如意兔”的进价，再将其代入(x+4)中，即可求出每件“吉祥兔”的进价；
(2)设购进m个“吉祥兔”，则购进(200−m)个“如意兔”，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)存在“等距点”，
令x2+2x=x，
解得x1=0，x2=−1，
∴函数y=x2+2x的图象上有两个“等距点”(0,0)或(−1,−1)，
令x2+2x=−x，
解得x1=0，x2=−3，
∴函数y=x2+2x的图象上有两个“等距点”(0,0)或(−3,3)，
综上所述，函数y=x2+2x的图象上有三个“等距点”(0,0)或(−1,−1)或(−3,3)；
(2)令−4x=−x，
解得x1=−2，x2=2，
则A(−2,2)，B(2,−2)，
∴AB=4 2，
令−x+b=x，
解得：x=b2，
则点C(b2,b2)，
∴CO= 22|b|，
∵AB⊥OC，
∴S△ABC=12AB⋅CO，
即2 3=12×4 2× 22|b|，
解得：b=± 3，
则y=−x± 3；
(3)令x=−x2+2x+2m+2，
整理得：x2−x−2m−2=0，
Δ=1+4(2m+2)=8m+9，
当m>−98时，Δ>0，
此时在一、三象限有2个“等距点”．
令−x=−x2+2x+2m+2，
整理得，x2−3x−2m−2=0，
则Δ=32+4(2m+2)=8m+17，
则当m>−178时，Δ>0，
此时在二四象限有2个“等距点”．
∵函数y=−x2+(2+m)x+2m+2图象恰存在2个“等距点”，
综上，m>−178．
【解析】(1)根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；
(2)先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；
(3)根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
本题考查新定义题型的理解，掌握一次函数，二次函数及反比例函数理解题意是解题关键．
22.【答案】解：(1)BD=CE；BD⊥CE．
(2)①连接AF、PE、PD，
∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PB=PF，∠APC=∠CPB=90°，∠DPC=∠FPE=45°，DP= 2AP，PE= 2PF，
∴∠DPE=90°，
在△APF和△CPB中
∴AP=CP∠APC=∠CPB=90°PB=PF
△APF≌△CPB(SAS)，
∴∠BCP=∠PAF，BC=AF，
∵DPAP= 2=PEPF，∠DPE=∠APF，
∴△DPE∽△APF，
∴∠PCB=∠PDE，
∵∠DNC=∠CPD+∠PDE=∠DMC+∠PCB，
∴∠DMC=∠DPC=45°；
②DHBC= 22．
(3)线段MN最大值是32．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB，根据三角形外角的性质得∠CPD=90°，即可得BD⊥CE；
(2)①通过证明△DPE∽△APF，可得∠PCB=∠PDE，由外角的性质可求解；
②通过证明△DCH∽△ACF，可得DHAF=DCAC= 22，即可求解；
(3)先证△CMN是等边三角形，可得CN=MN，通过证明△CEN∽△AEB，可得CNAB=CEAE，由二次函数的性质可求解．
【解答】
解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，∠ADE+∠AED=90°，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAE=AD
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠CPD=∠CED+∠EDP=∠AEC+∠AED+∠EDP，
∴∠CPD=∠ADB+∠AED+∠EDP=∠ADE+∠AED=90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD=CE；BD⊥CE．
(2)①见答案；
②∵∠PDC=∠PAC=45°，∠PDE=∠PCB=∠PAF，
∴∠CAF=∠CDH，
又∵∠ACF=∠DCH=45°，
∴△DCH∽△ACF，
∴DHAF=DCAC= 22，
∵BC=AF，
∴DHBC= 22；
(3)∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
BC=AC∠ACD=∠BCEDC=EC
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠EAD=∠CBE，
∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠BCD，
在△BCN和△ACM中
∠EAD=∠CBEBC=AC∠ACB=∠BCD
∴△BCN≌△ACM(ASA)，
∴CM=CN，
又∵∠BCD=60°，
∴△CMN是等边三角形．
∴CN=MN，
∵∠BAC=∠DCE=60°，
∴CD//AB，
∴△CEN∽△AEB，
∴CNAB=CEAE，
设CE为x，则有AC=AB=6−x，
∴CN6−x=x6，
∴CN=x−16x2，
∴CN=−16(x−3)2+32，
∴当x=3时，CN有最大值是32，
即点C在AE的中点时，线段MN最大，最大值是32．
1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术，佛山剪纸，流传于广东省佛山市的传统美术，是国家级第一批非物质文化遗产之一，剪纸作品形式多样，以下剪纸作品中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.铬记是最好的致敬，传承是最好的情怀.截止2023年4月4日，清明祭英烈网上献花人数约605万人次，数据“605万”用科学记数法表示为( )
A. 0.605×105B. 605×104C. 6.05×106D. 6.05×107
4.下列运算中，正确的是( )
A. 3x+4y=12xyB. x9÷x3=x3
C. (x2)3=x6D. (x−y)2=x2−y2
5.某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是( )
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8D. 方差是8
6.不等式组x−1>0x+12≤2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若∠B=50°，则∠CAD的度数是( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
8.下列命题中，是假命题的是( )
A. 平行四边形的对角相等B. 在同一个圆内，圆周角等于圆心角的一半
C. 反比例函数的图象与坐标轴没有交点D. 0的立方根是0
9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为( )
A. 5x+6y=165x+y=x+6yB. 5x+6y=164x+y=x+5y
C. 5x+6y=15x+y=x+6yD. 5x+6y=14x+y=x+5y
10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DH并延长交AB于点K，若DF平分∠CDK，则DHHK=( )
A. 2 33
B. 65
C. 5−1
D. 4 57
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：ab2−2ab+a= ．
12.关于x的一元二次方程x2+2x−a=0的一个根是2，则另一个根是______．
13.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，盒子中白色球的个数可能是______．
14.如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO=90°，BO=2，将△ABO绕O点旋转至△A′B′O的位置，且B′为OA中点，A′在反比例函数y=kx上，则k的值______．
15.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在△ABC的同侧作正方形ABDE，设正方形的中心为O，连接OC.若AB=13，AC=5，则OC的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(−1)2023+6cs60°+(π−3.14)0− 16．
17.(本小题7分)
先化简、再求值：(2−1x+1)÷4x2−12x−1，其中x= 2−1．
18.(本小题8分)
银川市第十五中学开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如所示两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列学生喜欢运动项目条形统计图问题：
(1)本次调查的学生共有______人；
(2)在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数______；并把条形统计图补充完整；
(3)在最喜爱健美操项目的学生中，九一班有2名同学(用A1，A2表示)和九二班有3名同学(用B1，B2，B3表示)有健美操基础，学校准备从这5人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠DAB=2∠ABC；
(2)若tan∠ADC=34，BC=12，求AE的长．
20.(本小题8分)
2023年是中国农历癸卯兔年.春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．
(1)“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共200个，“吉祥兔”售价定价为70元，“如意兔”售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个“吉祥兔”？
21.(本小题9分)
定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”.例如，点(1,1)和(−13,13)是函数图象y=12x+12的“等距点”．
(1)判断函数y=x2+2x的图象是否存在“等距点“？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=−4x图象的“等距点”为A、B，函数y=−x+b图象的“等距点”为C，若△ABC的面积为2 3时，请直接写出满足条件的函数y=−x+b的表达式；
(3)若函数y=−x2+2x+2m+2图象只存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．
22.(本小题10分)
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
【问题发现】
(1)如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是______；BD和CE的位置关系是______；
【类比探究】
(2)如图2所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出DHBC的值；
【拓展延伸】
(3)如图3所示，已知点C为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于N，连接AD交BC于M，连接MN，直接写出线段MN的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：A、B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：605万=605×104=6.05×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=x6，错误；
C、原式=x6，正确；
D、原式=x2−2xy+y2，错误，
故选：C．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7=8，
按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，
∴中位数是8；
∵8出现了3次，次数最多，
∴众数是8；
方差S2=18[(10−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=1.25．
所以D错误．
故选：D．
由题意可知：这组数据的平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7；总数个数是奇数的，按从小到大的顺序排列，取中间的那个数便为中位数，按此方法求中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，这组数据8出现次数最多，由此求出众数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，按此方法计算方差．
考查了方差，加权平均数，中位数及众数的知识，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x−1>0①x+12≤2②，
∵解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是1
故选：A．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：根据尺规作图可知，AP是角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，
∴∠BAC=∠C−∠B=90°−50°=40°，
∴∠CAD=20°，
故选：B．
根据作图可知AP是角平分线，再利用三角形内角和定理即可求得∠CAD．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，尺规作图法，掌握角平分线的尺规作图法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A、平行四边形的对角相等，正确，为真命题；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故原命题为假命题；
C、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，正确，为真命题；
D、0的立方根是0，正确，为真命题；
故选：B．
根据平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，
∴5x+6y=16；
∵雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，
∴4x+y=x+5y．
∴根据题意可列方程组5x+6y=164x+y=x+5y．
故选：B．
根据“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点K作KM⊥AH，设DE=a，AE=b，
∵DF平分∠CDK，
∴∠CDF=∠EDH，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，
∴∠CDF=∠ABH，DE=AH，∠DEA=∠EHB，
∴DF//HB，
∴∠EDH=∠BHK，
∴∠KBH=∠KHB，
∴KH=KB，
∵∠AHB=90°，
∴∠KBH+∠KAH=90°，∠KHB+∠KHA=90°，
∴∠KHA=∠KAH，
∴KH=KA，
∴HM=12AH=12a，
∵∠HED=∠DEA，∠HDE=∠EAD，
∴△EHD∽△EDA，
∴HEDE=DEAE，
即b−aa=ab，
解得：b= 5+12a，
∵DE//KM，
∴△HED∽△HMK，
∴DHHK=EHHM=b−a12a= 5+12a−a12a= 5−1，
故选：C．
过点K作KM⊥AH，设DE=a，AE=b，先证得∠KHA=∠KAH，可得KH=KA，再证△EHD∽△EDA，可得HEDE=DEAE，即b−aa=ab，解出b= 5+12a，再证△HED∽△HMK，列比例式求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】a(b−1)2
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(b2−2b+1)=a(b−1)2．
12.【答案】−4
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2=−2，
∴m=−4，
故答案为：−4，
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
13.【答案】18
【解析】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：60×(1−30%−40%)=60×30%=18(个)，
故答案为：18．
根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
14.【答案】−4 3
【解析】解：连接BB′，作A′E⊥x轴于点E，
由题意可得：OB=OB′，B′是OA的中点，
∠AOB=∠A′OB′，OA=OA′，
∴BB′=12OA=OB′，
∴△BOB′是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OA=2OB=4，∠A′OE=60°，
∴OA′=4，
∴OE=12OA′=2，
∴A′E= 3OE=2 3，
∴A′(−2,2 3)，
∵A′在反比例函数y=kx上，
∴k=−2×2 3=−4 3，
故答案为：−4 3．
连接BB′，作A′E⊥x轴于点E，先证明△BOB′是等边三角形，求出OA=2OB=4，∠A′OE=60°，再得出OE=12OA′=2，进而得出A′E= 3OE=2 3，求出A′(−2,2 3)，即可得出答案．
本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出A′(−2,2 3)是解本题的关键．
15.【答案】7 22
【解析】解：过O作OF⊥OC，与BC交于点F，
∵四边形ABDE是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠COF=∠AOB，
∴∠AOC=∠BOF，
∵∠ACG=∠BOG=90°，∠AGC=∠BGO，
∴∠OAC=∠OBF，
∴△OAC≌△OBF(ASA)，
∴OC=OF，AC=BF=5，∠ACO=∠BOF，
∵BC= AB2−AC2= 132−52=12，
∴CF=BC−BF=12−5=7，
∵∠ACO=∠BOF，∠BOG=90°，
∴∠COF=90°，
∴OC= 22CF=7 22．
故答案为：7 22．
过O作OF⊥OC，与BC交于点F，证明△OAC≌△OBF，求得BF，由勾股定理求得BC，进而求得CF，便可求得OC．
本题主要考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
16.【答案】解：原式=−1+6×12+1−4
=−1+3+1−4
=−1．
【解析】先根据有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质进行化简，再进行加减运算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，涉及有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(2−1x+1)÷4x2−12x−1
=2x+2−1x+1⋅2x−1(2x+1)(2x−1)
=2x+1x+1⋅2x−1(2x+1)(2x−1)
=1x+1，
当x= 2−1时，原式=1 2−1+1= 22．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】50 108°
【解析】解：(1)20÷40%=50(人)，
故答案为：50；
(2)健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：360°×1550=108°，
喜欢“跳绳”的学生人数为：50−20−15−10=5(人)，
补全条形统计图如下：
(3)用列树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有8种，
所以，选中的2名同学恰好是同一个班级的概率820=25，
答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为25．
(1)从两个统计图中可得，喜欢“篮球”的人数是20人，占调查人数的40%，根据频率=频数总数进行计算即可；
(2)求出喜欢“健美操”的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出喜欢“跳绳”的学生人数可补全条形统计图；
(3)利用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握频率=频数总数是正确计算的关键，列举出所有可能出现的结果是计算相应概率的前提．
19.【答案】(1)证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC//DE，
∴∠DAB=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB=2∠ABC；
(2)解：连接AC，如图，
∵∠ABC=∠ADC，
∴tan∠ABC=tan∠ADC=34，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵tan∠ABC=ACBC=34，
∴AC=34BC=34×12=9，
∴AB= AC2+BC2= 92+122=15，
∵OC//AE，
∴∠CAE=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠CAE=∠OAC，
∵∠ACB=∠AEC，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB=AE：AC，即9：15=AE：9，
解得AE=275，
即AE的长为275．
【解析】(1)根据切线的性质得到OC⊥CE，则OC//DE，再根据平行线的性质得到∠DAB=∠AOC，接着根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC，从而得到结论；
(2)连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC，∠ACB=90°，在Rt△ABC中利用正切定义可计算出AC=9，则利用勾股定理可计算出AB=15，接着证明∠CAE=∠OAC，加上∠ACB=∠AEC，则可判断△ACE∽△ABC，然后利用相似比可求出AE的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)设每件“如意兔”的进价是x元，则每件“吉祥兔”的进价是(x+4)元，
根据题意得：8800x+4=4000x×2，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4=40+4=44．
答：每件“吉祥兔”的进价是44元，每件“如意兔”的进价是40元；
(2)设购进m个“吉祥兔”，则购进(200−m)个“如意兔”，
根据题意得：(70−44)m+(60−40)(200−m)≥4120，
解得：m≥20，
∴m的最小值为20．
答：最少购进20个“吉祥兔”．
【解析】(1)设每件“如意兔”的进价是x元，则每件“吉祥兔”的进价是(x+4)元，利用数量=总价÷单价，结合用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每件“如意兔”的进价，再将其代入(x+4)中，即可求出每件“吉祥兔”的进价；
(2)设购进m个“吉祥兔”，则购进(200−m)个“如意兔”，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)存在“等距点”，
令x2+2x=x，
解得x1=0，x2=−1，
∴函数y=x2+2x的图象上有两个“等距点”(0,0)或(−1,−1)，
令x2+2x=−x，
解得x1=0，x2=−3，
∴函数y=x2+2x的图象上有两个“等距点”(0,0)或(−3,3)，
综上所述，函数y=x2+2x的图象上有三个“等距点”(0,0)或(−1,−1)或(−3,3)；
(2)令−4x=−x，
解得x1=−2，x2=2，
则A(−2,2)，B(2,−2)，
∴AB=4 2，
令−x+b=x，
解得：x=b2，
则点C(b2,b2)，
∴CO= 22|b|，
∵AB⊥OC，
∴S△ABC=12AB⋅CO，
即2 3=12×4 2× 22|b|，
解得：b=± 3，
则y=−x± 3；
(3)令x=−x2+2x+2m+2，
整理得：x2−x−2m−2=0，
Δ=1+4(2m+2)=8m+9，
当m>−98时，Δ>0，
此时在一、三象限有2个“等距点”．
令−x=−x2+2x+2m+2，
整理得，x2−3x−2m−2=0，
则Δ=32+4(2m+2)=8m+17，
则当m>−178时，Δ>0，
此时在二四象限有2个“等距点”．
∵函数y=−x2+(2+m)x+2m+2图象恰存在2个“等距点”，
综上，m>−178．
【解析】(1)根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；
(2)先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；
(3)根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
本题考查新定义题型的理解，掌握一次函数，二次函数及反比例函数理解题意是解题关键．
22.【答案】解：(1)BD=CE；BD⊥CE．
(2)①连接AF、PE、PD，
∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PB=PF，∠APC=∠CPB=90°，∠DPC=∠FPE=45°，DP= 2AP，PE= 2PF，
∴∠DPE=90°，
在△APF和△CPB中
∴AP=CP∠APC=∠CPB=90°PB=PF
△APF≌△CPB(SAS)，
∴∠BCP=∠PAF，BC=AF，
∵DPAP= 2=PEPF，∠DPE=∠APF，
∴△DPE∽△APF，
∴∠PCB=∠PDE，
∵∠DNC=∠CPD+∠PDE=∠DMC+∠PCB，
∴∠DMC=∠DPC=45°；
②DHBC= 22．
(3)线段MN最大值是32．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠AEC=∠ADB，根据三角形外角的性质得∠CPD=90°，即可得BD⊥CE；
(2)①通过证明△DPE∽△APF，可得∠PCB=∠PDE，由外角的性质可求解；
②通过证明△DCH∽△ACF，可得DHAF=DCAC= 22，即可求解；
(3)先证△CMN是等边三角形，可得CN=MN，通过证明△CEN∽△AEB，可得CNAB=CEAE，由二次函数的性质可求解．
【解答】
解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，∠ADE+∠AED=90°，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAE=AD
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠CPD=∠CED+∠EDP=∠AEC+∠AED+∠EDP，
∴∠CPD=∠ADB+∠AED+∠EDP=∠ADE+∠AED=90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD=CE；BD⊥CE．
(2)①见答案；
②∵∠PDC=∠PAC=45°，∠PDE=∠PCB=∠PAF，
∴∠CAF=∠CDH，
又∵∠ACF=∠DCH=45°，
∴△DCH∽△ACF，
∴DHAF=DCAC= 22，
∵BC=AF，
∴DHBC= 22；
(3)∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
BC=AC∠ACD=∠BCEDC=EC
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠EAD=∠CBE，
∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠BCD，
在△BCN和△ACM中
∠EAD=∠CBEBC=AC∠ACB=∠BCD
∴△BCN≌△ACM(ASA)，
∴CM=CN，
又∵∠BCD=60°，
∴△CMN是等边三角形．
∴CN=MN，
∵∠BAC=∠DCE=60°，
∴CD//AB，
∴△CEN∽△AEB，
∴CNAB=CEAE，
设CE为x，则有AC=AB=6−x，
∴CN6−x=x6，
∴CN=x−16x2，
∴CN=−16(x−3)2+32，
∴当x=3时，CN有最大值是32，
即点C在AE的中点时，线段MN最大，最大值是32．
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