2023-2024学年四川省自贡市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省自贡市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知某新型流感病毒的直径约为0.00000011米，将0.00000011用科学记数法表示为( )
A. 1.1×10−6B. 1.1×10−7C. 1.1×106D. 1.1×107
2.下列几何图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.能与长为20cm，30cm的两根木条首尾顺次相接钉成一个三角形的木条长度是( )
A. 10cmB. 30cmC. 50cmD. 70cm
4.下列计算正确的是( )
A. (m2)3=m6B. m2⋅m3=m6C. m−3=−m3D. m4÷m4=m
5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD.若∠B=40∘，BA=BD，则∠DAC为( )
A. 25∘
B. 30∘
C. 35∘
D. 40∘
6.下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. 2x(x−3)=2x2−6xB. 12m2n=3m2⋅4n
C. a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1D. x2−y2=(x+y)(x−y)
7.如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点D，若AB=DC−AC，∠DAC=57∘，则∠DCA的度数是( )
A. 80∘
B. 81∘
C. 82∘
D. 83∘
8.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OAA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若分式3x−2有意义，则x的取值范围是______.
10.约分：mn+mm2=______.
11.如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAE=30∘，∠DAC=20∘，则∠AOB的度数是______.
12.已知(x+m)(x−n)=x2−4x−2，则m+n=______.
13.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有______条对角线．
14.如图，已知锐角△AOB的面积为42，∠AOB=60∘，AB=10，点C是AB边上一动点，点E，F是OA，OB边上异于端点的两个动点，当△EFC的周长最小时，点O到线段EF的距离是______.
三、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：(x−2)2−x(x−1).
16.(本小题5分)
解方程：xx−1+2=32x−2.
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE=DF.
18.(本小题5分)
计算：(−mn)2÷(2m25n)2⋅m25n.
19.(本小题5分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，要把图纸上的这块三角形土地均分给甲、乙、丙三家农户，并使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请在图上画出分割图.(要求；尺规作图，要写出作法，并保留作图痕迹.)
20.(本小题6分)
自贡彩灯文化历史悠久，盐、龙、灯被称为自贡的“大三绝”.师徒二人制作某种彩灯，师父每天比徒弟多做5个，师父做80个所用的时间与徒弟做60个所用的时间相等.
(1)求师父每天做彩灯多少个？
(2)春节前夕，有600个该种彩灯需要制作.若师父工价是每天300元，徒弟每天250元，总预算费用不超过9200元，则最多可安排徒弟做多少天？
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为(−4,3)，(−3,1)，(−1,1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△DEF，并写出点D，E，F的坐标；
(2)求以A，C，F，D为顶点的四边形的面积.
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，DE//AC交AB于点E.求证：AE=BE.
23.(本小题7分)
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20都是“神秘数”.
(1)请说明36是否为“神秘数”；
(2)证明：“神秘数”一定是4的倍数；
(3)2000是“神秘数”吗？请说明理由.
24.(本小题8分)
如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB.点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，且EA⊥AB.
(1)若DG⊥AE，垂足为G，求证：AE=AF+BC.
(2)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.00000011=1.1×10−7.
故选：B.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D.
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】B
【解析】解：设要选取的木条长度是x cm，
∴30−20∴10∴要选取的木条长度是30cm，
故选：B.
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设要选取的木条长度是x cm，由此得到10本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】A
【解析】解：A.∵(m2)3=m6，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
B.∵m2⋅m3=m5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵m−3=1m3，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵m4÷m4=m0=1，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A.
A.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
B.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
C.根据负整数指数幂的性质进行计算，然后判断即可；
D.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则和负整数指数幂的性质．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠B=40∘，BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA=180∘−∠B2=180∘−40∘2=70∘，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=12∠BDA=35∘，
故选：C.
首先利用等腰三角形的性质求得∠BDA的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是了解线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
6.【答案】D
【解析】解：2x(x−3)=2x2−6x是整式乘法运算，则A不符合题意；
12m2n=3m2⋅4n是单项式的变形，则B不符合题意；
a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1的右边不是积的形式，则C不符合题意；
x2−y2=(x+y)(x−y)符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，延长CA至E，使AE=AB，连接BD，ED，ED交BA的延长线于点N，
∵AB=DC−AC，
∴AB+AC=DC=AE+AC，
∴EC=DC，
∵AD平分∠NAC，
∴∠NAD=∠DAC，
∵∠BAC=∠EAN，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
AE=BA∠EAD=∠BADAD=AD，
∴△EAD≌△BAD(SAS)，
∴∠E=∠ABD，
设∠DCA=x，
∵EC=DC，
∴∠E=∠CDE=12×(180∘−x)=90∘−12x，
∴∠ABD=90∘−12x，
∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点D，
∴DB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=180∘−x∘，
∵∠DAC=57∘，
∴∠NAC=2∠DAC=114∘，
∵∠ACB+∠2∠DCA=180∘，
∴∠ACB=180∘−2x，
∵∠NAC=∠ABC+∠ACB，
∴114∘=180∘−x+180∘−2x，
∴x=82∘，
即∠DCA=82∘，
故选：C.
延长CA至E，使AE=AB，连接BD，ED，由“SAS”可证△EAD≌△BAD，可得∠E=∠ABD，设∠DCA=x，由等腰三角形的性质可得∠E=90∘−12x，根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=180∘−x∘，∠NAC=2∠DAC=114∘，根据平角定义求出∠ACB=180∘−2x，再根据三角形外角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∠OAB=∠OCD=70∘，
∴∠AOB=∠COD=180∘−2×70∘=40∘，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，
故①正确，符合题意；
由三角形的外角性质得：∠AHB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，
∴∠AHB=∠AOB=40∘，
故②正确，符合题意；
作OG⊥AH于G，OM⊥HD于M，如图所示，
则∠OGA=∠OMB=90∘，
在△OAG和△OBM中，
∠OGA=∠OMB∠OAG=∠OBMOA=OB，
∴△OAG≌△OBM(AAS)，
∴OG=OM，
∴HO平分∠AHD，
故④正确，符合题意；
假设OH平分∠BOC，则∠BOH=∠COH，
∴∠AOH=∠DOH，
∵HO平分∠AHD，
∴∠OHA=∠OHD，
在△AOH和△DOH中，
∠AOH=∠DOHOH=OH∠OHA=∠OHD，
∴△AOH≌△DOH(ASA)，
∴OA=OD，
与OA故③错误，不符合题意；
根据题意，无法求证直线BD平分线段OC，
故⑤错误，不符合题意；
正确的个数有3个；
故选：B.
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AHB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，得出∠AHB=∠AOB=40∘，②正确；
作OG⊥AH于G，OM⊥HD于M，如图所示：则∠OGA=∠OMB=90∘，由AAS证明△OAG≌△OBM(AAS)，得出OG=OM，由角平分线的判定方法得出HO平分∠AHD，④正确；
假设OH平分∠BOC，则∠BOH=∠COH，由HO平分∠AHD，∠OHA=∠OHD，利用ASA推出△AOH≌△DOH，得OA=OD，而OA根据题意，无法求证直线BD平分线段OC，故⑤错误，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式3x−2有意义，
∴x−2≠0，
∴x≠2.
故答案是：x≠2.
根据分式有意义的条件计算即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
10.【答案】n+1m
【解析】解：原式=m(n+1)m2
=n+1m.
故答案为：n+1m.
先把分子因式分解，然后把分子分母都约去m即可．
本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
11.【答案】125∘
【解析】解：∵角平分线AE，BF相交于点O，∠BAE=30∘，
∴∠BAC=2∠BAE=60∘，∠ABF=12∠ABC，
∵AD是高，
∴∠ADC=90∘，
∵∠DAC=20∘，
∴∠C=180∘−∠ADC−∠DAC=70∘，
∴∠ABC=180∘−∠C−∠6BAC=50∘，
∴∠ABF=25∘，
∴∠AOB=180∘−∠BAE−∠ABF=125∘.
故答案为：125∘.
由角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAE=60∘，∠ABF=12∠ABC，由高线可得∠ADC=90∘，从而可求得∠C=70∘，再由三角形的内角和可得∠ABC=50∘，即可求∠ABF的度数，从而可求∠AOB的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
12.【答案】±2 6
【解析】解：(x+m)(x−n)
=x2−nx+mx−mn
=x2+(m−n)x−mn，
∵(x+m)(x−n)=x2−4x−2，
∴m−n=−4，mn=2，
∴(m−n)2=16，
m2+n2−2mn=16，
m2+n2−2×2=16，
m2+n2=20，
∴(m+n)2
=m2+n2+2mn
=20+2×2
=20+4
=24，
∴m+n=± 24=±2 6，
故答案为：±2 6.
先利用多项式乘多项式法则计算已知条件中等式的左边，然后根据右边得到m−n=−4，mn=2，再灵活利用完全平方公式求出m+n即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握完全平方公式和灵活运用完全平方公式解决问题．
13.【答案】5
【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
(n−2)×180=360×3，
解得n=8，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8−3=5，
故答案为：5.
首先设这个多边形有n条边，由题意得方程(n−2)×180=360×2，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线可得答案．
此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式．
14.【答案】215
【解析】解：作点C关于OA的对称点G，点C关于OB的对称点H，连接CG、CH、OG、OH，
∵OA垂直平分CG，OB垂直平分CH，∠AOB=60∘，
∴OG=OC=OH，
∴∠AOG=∠AOC，∠BOH=∠BOC，
∴∠COG=2∠COA，∠COH=2∠COB，
∴∠GOH=∠COG+∠COG=2(∠COA+∠COB)=2∠AOB=120∘，
∴∠OGH=∠OHG=12×(180∘−120∘)=30∘，
作OI⊥GH于点I，则IG=IH，OI=12OG，∠OIG=90∘，
∴IG= OG2−OI2= OG2−(12OG)2= 32OG，
∴GH=2IG=2× 32OG= 3OG= 3OC，
连接GE、HF，则GE=CE，HF=CF，
∴CE+EF+CF=GE+EF+HF，
∵GE+EF+HF≥GH，
∴CE+EF+CF≥ 3OC，
作OD⊥AB于点D，
∵△AOB的面积为42，AB=10，
∴12×10OD=42，
解得OD=425，
∵OC≥OD，
∴当点C与点D重合时，OC=OD=425，此时OC的值最小，
∴当CE+EF+CF= 3OC= 3×425=42 35时，CE+EF+CF的值最小，
∴△EFC的周长最小，
∵OG=OC=425，
∴OI=12OG=12×425=215，
∴点O到线段EF的距离是215，
故答案为：215.
作点C关于OA的对称点G，点C关于OB的对称点H，连接CG、CH、OG、OH，则OG=OC=OH，所以∠AOG=∠AOC，∠BOH=∠BOC，则∠GOH=2∠AOB=120∘，求得∠OGH=∠OHG=30∘，作OI⊥GH于点I，则IG=IH，OI=12OG，求得IG= 32OG，所以GH=2IG= 3OG= 3OC，连接GE、HF，则GE=CE，HF=CF，所以CE+EF+CF=GE+EF+HF，则CE+EF+CF≥ 3OC，作OD⊥AB于点D，由△AOB的面积为42，AB=10，求得OD=425，则当点C与点D重合时，OC=OD=425，此时OC的值最小，当CE+EF+CF= 3OC=42 35时，△EFC的周长最小，由OG=OC=425，求得OI=12OG=215，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(x−2)2−x(x−1)
=x2−4x+4−x2+x
=−3x+4.
【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则计算即可．
本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：原方程去分母得：2x+4(x−1)=3，
去括号得：2x+4x−4=3，
移项，合并同类项得：6x=7，
系数化为1得：x=76，
检验：将x=76代入2(x−1)得2×16=13≠0，
故原分式方程的解为x=76.
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90∘，
∵点D为BC中点，
∴DB=DC，
∴在△DBE和△DCF中∠B=∠C∠BED=∠CFDDB=DC，
∴△DBE≌DCF(AAS)，
∴DE=DF.
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C.
根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据全等三角形的判定和性质得出DE=DF即可；
18.【答案】解：(−mn)2÷(2m25n)2⋅m25n
=m2n2÷4m425n2⋅m25n
=m2n2⋅25n24m4⋅m25n
=54n.
【解析】先算乘方，再算乘除，即可得出结果．
本题考查了分式的乘方、乘除法，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：
作法：作AB边的垂直平分线，分别交BC、AB于点E、F，连接AE.△ACE、△AEF、△BEF即为分出的三块地．
【解析】作AB边的垂直平分线EF，连接AE.
本题考查了应用与设计作图，三角形内角和定理．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
20.【答案】解：设师父每天做彩灯x个，则徒弟每天做彩灯(x−5)个，
由题意得：80x=60x−5，
解得 x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
答：师父每天做彩灯20个；
(2)设可安排徒弟做b天，则安排师父做600−15b20天，即(30−34b)天，
由题意得：300(30−34b)+250b≤9200，
解得：b≤8，
答：最多可安排徒弟做8天．
【解析】(1)设师父每天做彩灯x个，则徒弟每天做彩灯(x−5)个，关键师父做80个所用的时间与徒弟做60个所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可；
(2)设可安排徒弟做b天，则安排师父做600−15b20天，即(30−34b)天，根据总预算费用不超过9200元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)如图所示，△DEF即为所求，
由图知，D(4,3)、E(3,1)、F(1,1)；
(2)由图知AD=8，CF=2，
以A，C，F，D为顶点的四边形的面积为12×(8+2)×2=10.
【解析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得出答案；
(2)根据梯形的面积公式求解即可．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22.【答案】证明：∵DE//AC，
∴∠C=∠EDB，
∴∠CAD=∠ADE，
在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵AD是BC上的中线，
∴AD是∠DEB的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠ADE=∠DAB=∠CAD，
∴AE=DE，
∴∠C=∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴AE=BE=DE，
即AE=BE.
【解析】首先利用DE//AC和AB=AC，推导出∠CAD=∠DAB，∠ADE=∠DAB=∠CAD，进而得到AE=DE，进一步推导出DE=BE，AE=BE=DE，进而得证．
本题主要考查了平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质，
23.【答案】解：(1)假设36是神秘数，则能表示为两个连续偶数的平方差，设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2.
∴(x+2)2−x2=36.
解得：x=8.
∴x+2=10.
∴36=102−82.
∴36是“神秘数”．
(2)设较小的偶数为2k，则较大的偶数为2k+2.
∴(2k+2)2−(2k)2
=8k+4
=4(2k+1).
∵k为正整数，
∴2k+1为正整数．
∴“神秘数”一定是4的倍数．
(3)2000不是“神秘数”．
理由：假设2000是“神秘数”，
由(2)得4(2k+1)=2000.
解得：k=250.5.
∵k不是整数，
∴假设不成立．
∴2000不是“神秘数”．
【解析】(1)假设36是神秘数，看36是否能表示为两个连续偶数的平方差即可判断是否为“神秘数”；
(2)可设较小的偶数为2k，则较大的偶数为2k+2，看较大偶数与较小偶数的平方差是否是4的倍数即可；
(3)把2000代入(2)得到的式子中，看是否符合实际意义．
本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．注意应用已得到的结论．
24.【答案】(1)证明：如图1，∵EA⊥AB，DG⊥AE，
∴∠EAF=∠DGE=∠AGD=90∘，
∵∠C=90∘，
∴∠AGD=∠C，∠DAG=∠B=90∘−∠BAC，
在△DAG和△ABC中，
∠AGD=∠C∠DAB=∠BAD=BA，
∴△DAG≌△ABC(AAS)，
∴AG=BC，
∵Rt△DFE是以DF为斜边的等腰直角三角形，
∴DE=EF，∠DEF=90∘，
∴∠GED=∠AFE=90∘−∠AEF，
在△GED和AFE中，
∠DGE=∠EAF∠GED=∠AFEDE=EF，
∴△GED≌AFE(AAS)，
∴GE=AF，
∴GE+AG=AF+BC，
∵GE+AG=AE，
∴AE=AF+BC.
(2)解：AE+AF=BC，
理由：如图2，作DH⊥AE交AE的延长线于点H，则∠H=∠C=∠EAF=90∘，
∴∠DAH=∠B=90∘−∠BAC，
在△DAH和△ABC中，
∠H=∠C∠DAH=∠BAD=BA，
∴△DAH≌△ABC(AAS)，
∴AH=BC，
∵∠H=∠EAF=∠DEF=90∘，
∴∠HED=∠AFE=90∘−∠AEF，
在△HED和AFE中，
∠H=∠EAF∠HED=∠AFEDE=EF，
∴△HED≌AFE(AAS)，
∴HE=AF，
∴AE+AF=AE+HE=AH，
∴AE+AF=BC.
【解析】(1)由EA⊥AB，DG⊥AE，得∠EAF=∠DGE=∠AGD=90∘，而∠C=90∘，AD=BA，则∠AGD=∠C，∠DAG=∠B=90∘−∠BAC，即可根据“AAS”证明△DAG≌△ABC，得AG=BC，再证明△GED≌AFE，得GE=AF，则AE=GE+AG=AF+BC；
(2)作DH⊥AE交AE的延长线于点H，可证明△DAH≌△ABC，得AH=BC，再证明△HED≌AFE，得HE=AF，则AE+AF=AE+HE=AH=BC.
此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．