新高考数学二轮复习 专题6 第3讲　导数的简单应用（讲） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第3讲 导数的简单应用（讲·学生版）
高考定位
1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.
2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
核心整合
1．导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为———————．
2．四个易误导数公式
(1)(sin x)′＝cs x；
(2)(cs x)′＝————；
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(4)(lgax)′＝———————(a>0，且a≠1)．
3.导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．
4.导数与极值、最值
(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”.
真题体验
1．（2021•全国高考乙卷文、理科）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.故选D.
2.（2021•全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选D.
3.（2021•全国高考甲卷理科）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】因为，所以当时，，所以点在曲线上.
又求导得，所以，
所以切线方程为．
4.（2021•全国新高考II卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
5.（2021•全国新高考Ⅰ卷）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴.
能力突破
考点一 导数的几何意义与计算
【例1】 (1)(2021·湖北八校第一次联考)已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－eq \r(3)a，则a＝6是直线l与曲线C相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·高考全国卷Ⅰ) 曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
【答案】 (1)A (2)y＝2x
【解析】 (1)因为曲线C：f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y＝(3xeq \\al(2,0)－3)x－2xeq \\al(3,0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3xeq \\al(2,0)－3＝a，,2xeq \\al(3,0)＝\r(3)a，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\r(3)，,a＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(\r(3),2)，,a＝－\f(3,4)，))所以a＝6是直线l与曲线C相切的充分不必要条件，故选A.
(2)设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝eq \f(1,x)＋1，则该切线的斜率k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝x0＝\f(1,x0)＋1＝2))，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
【规律方法】 求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率k，求切线方程
设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程
设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
【对点训练1】1．(一题多解) (2018·高考全国卷Ⅰ)设函数ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若ƒ(x)为奇函数，则曲线y＝ƒ(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
【答案】D
【解析】法一：∵ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴ƒ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又ƒ(x)为奇函数，∴ƒ(－x)＝－ƒ(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴ƒ′(x)＝3x2＋1，∴ƒ′(0)＝1，
∴曲线y＝ƒ(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
法二：∵ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴ƒ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即ƒ′(x)＝3x2＋1，∴ƒ′(0)＝1，
∴曲线y＝ƒ(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
2.已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝eq \f(1,4)e2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为( )
A．2 B．1
C．e2 D．－e2
【答案】B
【解析】设直线l与曲线C1：y＝ex的切点为A(x1，ex1)，与曲线C2：y＝eq \f(1,4)e2x2的切点为Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(1,4)e2xeq \\al(2,2))).由y＝ex，得y′＝ex，所以曲线C1在点A处的切线方程为y－e x1＝e x1 (x－x1)，即y＝ex1x－e x1 (x1－1) ①.
由y＝eq \f(1,4)e2x2，得y′＝eq \f(1,2)e2x，所以曲线C2在点B处的切线方程为y－eq \f(1,4)e2xeq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)e2x2(x－x2)，即y＝eq \f(1,2)e2x2x－eq \f(1,4)e2xeq \\al(2,2) ②.
因为①②表示的切线为同一直线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e x1＝\f(1,2)e2x2，,e x1（x1－1）＝\f(1,4)e2xeq \\al(2,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2，,x2＝2，))所以直线l的方程为y＝e2x－e2，令y
3．(2020·江西五校联考)已知函数f(x)＝x＋eq \f(a,2x)，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是________．
【解析】f′(x)＝1－eq \f(a,2x2)，设切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，x0＋\f(a,2x0)))，则切线方程为y－x0－eq \f(a,2x0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,2xeq \\al(2,0))))(x－x0)，又切线过点(1，0)，所以－x0－eq \f(a,2x0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,2xeq \\al(2,0))))(1－x0)，整理得2xeq \\al(2,0)＋2ax0－a＝0，又曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8(－a)＞0，解得a＞0或a＜－2.
【答案】(－∞，－2)∪(0，＋∞)
考点二 利用导数研究函数的单调性
命题角度1 确定函数的单调性(区间)
【例2—1】1.（2021·静宁县第一中学高三月考（理））函数在定义域(-，3)内的图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．[-，1][2，3) B．[-1，][，]
C．[-，][1，2) D．(-，-][，][，3)
【答案】A
【解析】观察函数的图象知，在和上都是单调递减的，
所以不等式的解集为.故选A.
2.已知f(x)＝a(x－ln x)＋eq \f(2x－1,x2)，a∈R.讨论f(x)的单调性．
【解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a－eq \f(a,x)－eq \f(2,x2)＋eq \f(2,x3)＝.
若a≤0，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(\f(2,a))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(\f(2,a)))).
(1)当00，f(x)单调递增，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(\f(2,a))))时，f′(x)2时，0