专题07 抛体运动模型---2024届新课标高中物理模型与方法

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17766" 【平抛运动模型的构建及规律】 PAGEREF _Tc17766 \h 1
\l "_Tc18125" 【三类常见的斜面平抛模型】 PAGEREF _Tc18125 \h 6
\l "_Tc660" 【半圆模型的平抛运动】 PAGEREF _Tc660 \h 18
\l "_Tc17854" 【平抛与圆相切模型】 PAGEREF _Tc17854 \h 22
\l "_Tc13680" 【台阶平抛运动模型】 PAGEREF _Tc13680 \h 26
\l "_Tc9398" 【体育生活中平抛运动的临界模型】 PAGEREF _Tc9398 \h 31
\l "_Tc7682" 【对着竖直墙壁的平抛模型】 PAGEREF _Tc7682 \h 37
\l "_Tc5680" 【斜抛运动模型】 PAGEREF _Tc5680 \h 48
【平抛运动模型的构建及规律】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：即，
方向：v与水平方向夹角为，即
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为，即
一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示:
3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
【模型演练1】（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由小球和弹簧组成的系统机械能守恒可知
得小球离开桌面时速度大小为
（2）离开桌面后由平抛运动规律可得
第一次碰撞前速度的竖直分量为，由题可知
离开桌面后由平抛运动规律得
，
解得小球第一次落地点距桌面上其飞出的水平距离为
【模型演练2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.eq \f(E2,E1)等于( )
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
【答案】 B
【解析】 摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝eq \f(1,2)gt12，可解得v1＝eq \r(\f(gh,2))，动能E1＝eq \f(1,2)mv12＝eq \f(mgh,4)；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝eq \f(1,2)gt22，解得v2＝3eq \r(gh)，动能E2＝eq \f(1,2)mv22＝eq \f(9,2)mgh，故eq \f(E2,E1)＝18，B正确．
【模型演练3】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
由题意可知
即
石子抛出速度的最小值为。
【模型演练4】（2023·江苏南通·模拟预测）一辆货车以速度在平直的公路上匀速行驶，某时刻车上的石子从车尾高处掉落，假设石子与地面碰撞反弹时的速率为撞击地面时速率的，反弹前后速度方向与地面的夹角相等。重力加速度，忽略空气阻力。求
（1）石子第一次落地时的速度大小v；
（2）石子第二次落地时距车尾的水平距离L。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设石子从车尾下落到地面的时间为t，石子做平抛运动
竖直方向的速度

石子第一次落地时速度
解得
（2）石子撞击地面前后速度与水平地面夹角相同，反弹速率为撞击地面时速率的，第一次反弹时石子的速度
第一次反弹后至第二次落地前石子在空中的时间
第二次落地时石子与车尾水平距离
解得
【模型演练5】(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】：eq \f(2\r(5),5) m/s
【解析】：频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为
t＝4T＝0.05×4 s＝0.2 s
设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间在水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t
y1＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×0.22 m＝0.2 m
y2＝eq \f(1,2)g(2t)2－eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×(0.42－0.22)m＝0.6 m
令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为s1＝ eq \r(x2＋y2)
s2＝ eq \r(x2＋3y2)＝ eq \r(x2＋9y2)
则有 eq \r(x2＋y2)∶ eq \r(x2＋9y2)＝3∶7
整理得x＝eq \f(2\r(5),5)y
故在抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,t)＝eq \f(2\r(5),5) m/s。
【三类常见的斜面平抛模型】
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
v0
θ(
)α
)α
x＝v0t ，
y＝eq \f(1,2)gt2，
tan θ＝eq \f(y,x)，
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g)。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．
法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示
vx＝v0cs θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcs θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcs θ·t＝0，即t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2)当t＝eq \f(v0tan θ,g)时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝eq \f(2v0tan θ,g)，
A、B间距离s＝v0cs θ·T＋eq \f(1,2)gsin θ·T2＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P，
则tan θ＝eq \f(y,\f(1,2)x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,\f(1,2)v0t)，
t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2) eq \x\t(AC)＝y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(veq \\al(2,0)tan2 θ,2g)，而eq \x\t(AC)∶eq \x\t(CD)＝1∶3，所以eq \x\t(AD)＝4y＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan2θ,g)，A、B间距离s＝eq \f(eq \x\t(AD),sin θ)＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)，得t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan θ＝eq \f(y,x)，y＝xtan θ①
y＝eq \f(1,2)gt′2②
x＝v0t′③
由①②③式得：t′＝eq \f(2v0tan θ,g)
而x＝v0t′＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,g)，
因此A、B间的距离s＝eq \f(x,cs θ)＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
类型二：垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)，
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
)θ
H
H-y
x
类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题
v0
)θ
θ

过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcs θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcs θ·cs θ＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝ eq \r(\f(gh,2))sin θ，t＝eq \r(\f(2h,g))cs θ.
【模型演练1】（2023·浙江·校联考模拟预测）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处时为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为，斜坡与水平方向的夹角为，不计空气阻力。计算运动员在a处的速度大小①，在空中飞行的时间②，运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻③，运动员在空中离坡面的最大距离④。以上四个计算结果正确的（ ）

A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．有①②③④
【答案】D
【详解】①②运动员从A点做平抛运动，而平抛运动可以分解成竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，设竖直方向的位移为，水平方向的位移为，则
代入数据解得
①②正确；
③当运动员从a处开始到在空中离坡面的距离最大时，此时运动员的速度方向恰好和坡面平行，此时速度方向偏转了，根据运动的合成与分解，可将速度正交分解成水平方向的和竖直方向的，则有
代入数据可得
③正确；
④将运动员的运动分解到垂直斜面向上和平行斜面向下，则可知在垂直斜面向上运动员做匀减速的运动，离斜面最远的距离也是垂直斜面向上速度减为零的地方，将初速度分解到垂直斜面的方向，可得
将重力加速度分解到垂直斜面的方向，可得
设最大距离为，则有
④正确。
故选D。
【模型演练2】．（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图，小球甲从O点以10m/s的初速度水平抛出，同时小球乙从P点竖直向上抛出，当小球甲垂直打在倾角为45°的水平固定斜面上时，小球乙刚好回到P点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则小球乙被抛出时的初速度大小为（ ）
A．0.5m/sB．5m/s
C．10m/sD．20m/s
【答案】B
【详解】小球甲做平抛运动有
小球乙与小球甲在空中运动的时间相等，为
所以小球乙从P点抛出到运动至最高点的时间为
则小球乙被抛出时的初速度大小为
故选B。
【模型演练3】．（2023·贵州毕节·统考三模）如图，在斜面顶端P点处，沿竖直面内将一小球以初动能水平向右抛出，经一段时间后落在斜面上的A点，若在P点处以初动能水平向右抛出同一小球，经一段时间后落在斜面上的B点。下列物理量的关系正确的是（ ）

A．时间为B．速度为
C．动能为D．动量为
【答案】C
【详解】A．设小球抛出时的初速度为，斜面倾角为，则有
解得小球在空中的时间为
由于两次抛出的初动能之比为
可得两次抛出的初速度之比为
则有
故A错误；
BCD．小球落到斜面时的速度为
则两次小球落到斜面时的速度之比为
两次小球落到斜面时的动能之比为
两次小球落到斜面时的动量之比为
故BD错误，C正确。
故选C。
【模型演练4】．（2023·浙江金华·模拟预测）如图所示，一可视作质点的小球在斜面上的某点以水平速度从斜面上抛出，飞行一段时间后落回在斜面上，水平向左方向上有恒定的风力作用，不计空气阻力，下列说法不正确的一项是（ ）

A．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量大小不变
B．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量方向不变
C．小球在空中的运动轨迹是一条抛物线
D．小球在空中的运动性质是变加速曲线运动
【答案】D
【详解】CD．小球在空中运动过程中，受水平向左的恒定的风力和竖直向下的重力作用，小球所受的合力是恒力，由牛顿第二定律，可知加速度恒定，加速度方向向左下方，速度与合力不共线，所以小球在空中的运动性质是匀加速曲线运动，小球在空中的运动轨迹是一条抛物线，故C正确，不符合题意，D错误，符合题意；
AB．小球在空中运动过程中，单位时间内的速度变化量
由于加速度恒定，单位时间内的速度变化量大小不变、方向不变，故AB正确，不符合题意。
故选D。
【模型演练5】．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O点正上方A、B两点向右水平抛出，B是AO连线上靠近O的三等分点，最后两球都垂直落在斜面上，A、B两球击中斜面位置到O点的距离之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设任一小球的初速度为v0，抛出点离O点的高度为h，平抛运动的时间为t，斜面的倾角为θ。据题小球垂直击中斜面，速度与斜面垂直，由速度分解可知
又
可得
根据几何关系得
据题有
OA=3OB
则得
击中斜面位置到O点的距离为
故得A、B两球击中斜面位置到O点的距离之比为3：1
故选B。
【模型演练6】（2023·陕西安康·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．小球在点的速度为
B．小球从点到点的运动时间为
C．小球在点的速度大小为
D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2
【答案】A
【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示
由几何关系可得
由平抛运动的规律可得
，
解得
、、
A正确、B错误；
CD．小球在点沿竖直方向的分速度为
小球在点的速度大小为
与水平方向夹角的正切值为
解得
，
CD错误。
故选A。
【模型演练7】．（2023·广东·高三统考阶段练习）如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有
可得
故选C。
【模型演练8】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为
【答案】AB
【详解】A. 小球的位移与斜面垂直时，小球以最小位移到达斜面，分解小球的位移可得
解得
A正确；
B．小球的速度与斜面垂直时，小球垂直击中斜面，分解小球速度可得
解得
B正确；
C．若小球能击中斜面中点，分解位移，由几何关系可得
解得
C错误；
D．小球到达斜面的位置不一样，在空中运动的时间也不一样，选项D错误；
故选AB。
【半圆模型的平抛运动】
在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝eq \f(1,2)gt2，R±eq \r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+csθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。

【模型演练1】（2023·云南·校联考一模）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．落在球面上的最小速度为
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
【答案】BD
【详解】AB．小球做平抛运动
且
而落点的速度
整理得
显然当
时速度取得最小值，代入可得最小值为
B正确，A错误；
C．越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误；
D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。
故选BD。
【模型演练2】（2023·安徽六安·高三六安一中阶段练习）如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（ ）
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为
【答案】BD
【详解】A．根据
可知，向左平抛的另一个小球竖直下降的高度小一些，其先落到D点，A错误；
B．对A点抛出的小球有
，
对C点抛出的小球有
，
解得
B正确；
C．A点抛出的小球落到D点时
C点抛出的小球落到D点时
可知，两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角不相等，C错误；
D．A点抛出的小球落到D点时
C点抛出的小球落到D点时
结合上述，解得
D正确。
故选BD。
【模型演练3】（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）如图所示，是半圆弧的一条水平直径，是圆弧的圆心，是圆弧上一点，，在、两点分别以一定的初速度、水平抛出两个小球，结果都落在 C点，则两个球抛出的初速度、的大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】两球下落的高度相同，根据；知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R，根据几何关系可得
则A点抛出的球平抛运动的水平位移
从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为
根据知
故选B。
【模型演练4】（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为球心．小球从AO连线上的C点沿CO方向以水平速度抛出，经时间小球与碗内壁垂直碰撞，重力加速度为g，则C、O两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设小球落点在D点，如图所示
根据题意，OD为半径，则根据平抛运动位移与水平方向夹角与速度与水平方向夹角关系有
有
CE=2OE
根据直角三角形，有
又因
联立解得
OC=OE=
故选A。
【平抛与圆相切模型】

【模型演练1】（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考开学考试）如图所示为某节目中一个环节的示意图。选手会遇到一个人造山谷，是竖直峭壁，是以点为圆心的弧形坡，点右侧是一段水平跑道。选手助跑后从点水平向右跳出，跃上点右侧的跑道上。选手可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．初速度越大，选手从跳出至落在右侧跑道上的时间越长
B．初速度越大，选手从跳出至落在右侧跑道上的时间越短
C．只要选手落在平台上，下落时间为一定值与速度无关
D．若落在圆弧上，初速度越大，选手在空中运动时间越长
【答案】C
【详解】ABC．只要选手落在平台上，其下落高度为一定值，所以下落时间也为一定值，与速度无关，故AB错误，C正确；
D．若落在圆弧上，初速度越大，选手落在OQ上的位置越靠右，下落的高度越小，在空中运动时间越短，故D错误。
故选C。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【详解】AB．根据几何关系可知：水平速度与末速度的夹角为θ，则有
解得
根据
解得
AB错误；
CD．在水平方向
解得
D错误，C正确。
故选C。
【模型演练3】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，一个半径的半圆柱体放下水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），恰好从C点切线方向进入，已知O为半圆柱体圆心，与水平方向夹角为53°，重力加速度为，则（ ）
A．小球从B点运动到C点所用时间为B．小球从B点运动到C点所用时间为
C．小球做平抛运动的初速度为D．小球做平抛运动的初速度为
【答案】AC
【详解】小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于点，由几何关系知速度与水平方向的夹角为，设位移与水平方向的夹角为，则有
因为
又
解得
根据
解得
水平位移
解得
故AC正确，BD错误。
故选AC。
【模型演练4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为，则C点到B点的距离为（ ）
A．B．C．D．R
【答案】A
【详解】由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
小球从C到D，水平方向有
竖直方向上有
解得
故C点到B点的距离为
故选A。
【台阶平抛运动模型】
【模型演练1】（2023·全国·高三学业考试）甲、乙两个小孩坐在一平台上玩抛皮球的游戏，分别向下面台阶抛球，如图所示。每级台阶的高度和宽度都相同均为L，抛球点在平台边缘上方L处，两人分别沿水平方向抛出皮球，甲小孩的皮球恰好落在第1级台阶的边缘，乙小孩的皮球恰好落在第7级台阶的边缘，不计空气阻力，皮球可看成质点，重力加速度g = 10m/s2，则（ ）
A．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为1：2
B．甲、乙两个小孩抛出的皮球从开始到落到台阶上用的时间之比为
C．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为
D．甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度之比为2：7
【答案】AD
【详解】AB．根据平抛运动规律，竖直方向上有
运动时间为
甲小孩抛球的竖直位移为h1= 2L，乙小孩抛球的竖直位移为h2= 8L，代入得甲、乙两个小孩抛出的皮球落到台阶上之前在空中运动的时间分别为
解得
A正确，B错误；
CD．根据平抛运动规律，水平方向上有
x = v0t
竖直方向上有
解得初速度为
甲小孩抛球的水平位移为x1= L，乙小孩抛球的水平位移为x2= 7L，代入得甲、乙两个小孩抛出皮球的初速度分别为
解得初速度之比为
C错误，D正确。
故选AD。
【模型演练2】（2023·湖南·模拟预测）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为的山坡上玩抛石块。如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上点朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直打在山坡中点；小亮在山坡顶端的点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在点。已知山坡长度，重力加速度为，，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）

A．石块甲的抛出点Q一定比A点高B．石块甲的初速度大小为
C．石块甲、乙的运动时间之比为D．若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点
【答案】BC
【详解】AB．设小球甲抛出的初速度为，Q点相对于P点的竖直高度为H，则
小球甲落在P点时速度的竖直分量
小球甲的水平位移
，，
联立各式可得
，
又A点高度为
则Q点的高度为
则A点比Q点高，故A错误，B正确；
C．对于小球乙，有
结合前面式子可得
故C正确；
D．因为两小球抛出时的高度不同，故不可能相遇，故D错误。
故选BC。
【模型演练3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）如图所示，有足够多级台阶构成的阶梯，每级台阶高度为h=16cm，长度L=40cm。将小球（可视为质点）从平台上以v0=9m/s的速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2，小球抛出后首先落到的台阶是（ ）
A．第15级台阶B．第16级台阶
C．第17级台阶D．第18级台阶
【答案】C
【详解】将台阶的顶点连接起来，构建成斜面，如图所示
令小球落在虚线上的落点与抛出点距离为x，斜面倾角为θ，则有
，，
解得
由于
表明小球落在第17级台阶上。
故选C。
【模型演练4】（2023·广东·模拟预测）某同学想研究篮球弹跳的规律，假设有两个连续台阶高度同为h，该同学从第一个台阶的顶部边缘以某一速度将质量为m的篮球水平向右抛出，篮球恰好落在第一个台阶边缘的A点处弹起后刚好落在第二个台阶的边沿B处，假设小球与台阶发生的是弹性碰撞（碰撞前后速度的水平分量方向不变，竖直分量反向），不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）

A．篮球在A点处发生碰撞时合力对它的冲量大小为
B．在A点处台阶弹力对篮球所做的功为0
C．两台阶的宽度之比是
D．如果直接将篮球水平抛出至B点，则抛出的初速度应该为
【答案】ABC
【详解】A．若小球在A处发生弹性碰撞，则其水平分速度不变，竖直分速度反向，设竖直向下为正方向，故由动量定理可得
A正确；
B．A点处碰撞瞬间，由于台阶施加的弹力没有产生位移，故台阶弹力做功为0，B正确；
C．由平抛运动规律可知，下落至A台阶处的时间为
在A处反弹后，做斜抛运动，上升的最大高度与抛出的初始位置等高，上升过程时间
下降过程时间
台阶宽度为两个过程的水平位移，由于水平速度不变，则两台阶的宽度之比为
C正确；
D．若直接抛出到B点，由平抛运动规律可知时间为原来的倍，水平位移为原来的倍，故平抛初速度应为原来的，即，D错误。
故选ABC。
【体育生活中平抛运动的临界模型】
1． 平抛运动中的临界速度问题
h1
v2
s2
h2
s1
v1
从网上擦过的临界速度
h1
s2
h2
s1
出界的临界速度
2． 既擦网又压线的双临界问题
根据，可得比值：
【模型演练1】（2023·河北·校联考三模）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O点水平击出，第一只球落在本方场地A处弹起来刚好擦网而过，落在对方场地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空气阻力不计。若O点离地面的高度为h，则网的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，设网的高度为，到网的距离为，点与点间的水平距离为，由于球与地面的碰撞是弹性碰撞，则由对称性可知
由平抛运动规律有
解得
设第一次的初速度为，小球从有
从点弹起后，由网顶到最高点可得
设第二次的初速度为，从可得
从点到网顶有
联立解得
，
故选B。
【模型演练2】（2023·海南·统考模拟预测）如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道上的不同位置由静止自由滑下，从c处水平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水面的高度为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力加速度为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据
运动时间
当落到浮板左端时，速度
当落到浮板右端时，速度
所以小红离开c时速度v的范围为
故选B。
【模型演练3】（2023·山东·高三专题练习）从高处的点A先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A．设1、2球的初速度分别为、，从抛出到落到D点运动的时间分别为、则对两球在水平方向有
依题意
所以
又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为
故它们飞过挡板前的运动时间满足
设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为t，则上述关系可写为
球1第一次落地时速度的竖直分量为
到达挡板顶端时速度的竖直分量为
两者满足
联立方程并代入数据可得
故选B。
【模型演练4】（2023·广东惠州·统考一模）“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈（可视为质点）从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量不相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若小面圈刚被抛出时初速度为，则
【答案】AD
【详解】A．所有的小面圈在空中均做平抛运动，竖直方向均为自由落体运动，根据
可知所有的小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；
B．所有面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g，根据
可知所有面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误；
CD．若小面圈刚被抛出时初速度为，根据水平方向为匀速直线运动，落在锅里的水平距离最小值为L，最大值为3L，有
则
面圈落入锅中时水平速度最大值为最小值的3倍，但是竖直速度相等，根据速度的合成
可知落入锅中时，最大速度小于最小速度的3倍，C错误，D正确。
故选AD。
【模型演练5】（2023·山东·高三专题练习）如图所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．足球位移的大小为
B．足球位移的大小为
C．足球刚落到P点的速度大小为
D．足球刚落到P点的速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．足球在水平方向的位移为
足球位移的大小为
A错误，B正确；
CD．足球运动的时间为
则足球的水平速度为
竖直方向速度为
可得足球刚落到P点的速度大小为
C正确，D错误。
故选BC。
【对着竖直墙壁的平抛模型】
1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0).
2.撞墙平抛运动的时间的计算
v0
x
若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2.
3.撞墙平抛运动的推论
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
v0
x
x/2

【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为D．P点随圆盘转动的线速度可能为
【答案】D
【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则有飞镖击中P点所需的时间为
A错误；
B．飞镖击中P点时，P点恰好在最下方，设圆盘半径为r，则有
解得
B错误；
C．飞镖击中P点，则转过的角度应满足
（k＝0，1，2⋯）
解得
（k＝0，1，2⋯）
则有圆盘转动的角速度的最小值为
C错误；
D． P点随圆盘转动的线速度为
（k＝0，1，2⋯）
当k=1时，则有
D正确。
故选D。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（ ）
A．2∶1B．C．D．
【答案】B
【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律
，
联立得
所以
又因为
所以
故选B。
【模型演练3】（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，竖直墙MN、PQ间距为，竖直线OA到两边墙面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为，C点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是（ ）

A．下落和所用时间
B．
C．仅将间距加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点
D．仅将初速度增为（为正整数），小球一定落在A点
【答案】BD
【详解】A．小球与墙发生弹性碰撞，水平方向的速度大小不变，下落和过程中的水平方向的路程之和之比为
故下落和所用时间
A错误；
B．设小球从开始运动到与墙上B点相撞所用时间为，由题意可知
，
故
B正确；
C．整个运动过程中小球水平方向运动的路程为，若仅将间距加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球将与墙壁碰撞一次后仍落在中点A点，C错误；
D．仅将初速度增为（为正整数），高度不变则下落的时间不变，则小球水平方向的路程为
小球从中点O抛出，则小球一定落在A点，D正确。
故选BD。
【模型演练4】(2023·福建福州月考)某人在O点将质量为m的飞镖以不同大小的初速度沿OA方向水平投出，A为靶心且与O在同一高度，如图所示，飞镖水平初速度分别是v1、v2时打在靶上的位置分别是B、C，且AB∶BC＝1∶3。忽略空气阻力，则( )
A．两次飞镖飞行时间之比t1∶t2＝1∶3
B．两次飞镖投出的初速度大小之比v1∶v2＝2∶1
C．两次飞镖的速度变化量大小之比Δv1∶Δv2＝3∶1
D．适当减小质量可使飞镖投中靶心
【答案】B
【解析】：飞镖被投出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以两次飞镖运动时间之比t1∶t2＝eq \r(AB)∶eq \r(AC)＝1∶2，A错误；水平位移x相等，根据v＝eq \f(x,t)得v1∶v2＝t2∶t1＝2∶1，B正确；速度变化量Δv＝gt，所以两次飞镖的速度变化量大小之比Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝1∶2，C错误；质量对平抛运动的过程没有影响，所以减小质量不能使飞镖投中靶心，D错误。
【平抛的相遇模型】
【模型演练1】（2023春·湖北·高三统考开学考试）如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h，现将A向右水平抛出的同时，B自由下落，重力加速度为g。不计空气阻力，在与地面发生第一次碰撞前要想A、B能够相碰，A水平抛出的速度v应该满足的条件是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在与地面发生第一次碰撞前要想A、B能够相碰，需满足
联立，解得
故选B。
【模型演练2】（2023·高三课时练习）在同一水平直线上的两位置分别沿相同方向水平抛出两小球A和B其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，则下列说法中正确的是（ ）
A．相遇时B球竖直分速度较大
B．相遇时A球速度与水平方向夹角较大
C．应该同时抛出两小球
D．A球的初动能一定大于B球的初动能
【答案】C
【详解】AC．由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移h相同，由
可以判断两球下落的时间相同，即应同时抛出；根据
可知，相遇时A、B两球竖直分速度相等，A错误，C正确；
B．两球在水平方向上做匀速直线运动，根据
可得
因为A球的水平位移大，下落时间相等，所以A球的初速度大，设相遇时速度与水平方向的夹角为，则有
A球速度与水平方向的夹角较小，B错误；
D．根据动能公式
因为两球质量未知，所以无法比较A、B两球的初动能，D错误。
故选C。
【模型演练3】．（2023·河南洛阳·高三统考阶段练习）甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P、Q点为甲、丙水平距离的三等分点，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速度向右做平抛运动，乙以水平速度沿光滑水平面向右做匀速直线运动，丙以水平速度向左做平抛运动，则（ ）
A．无论速度大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在Р点相遇
B．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P、Q中间
C．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在Р点左侧
D．若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在Р点
【答案】D
【详解】AB．甲球和丙球做平抛运动，乙球做匀速直线运动，甲球在水平方向上以的速度做匀速直线运动，所以在未落地前，甲、乙两球都在同一竖直线上，最后在地面上相遇，即甲、乙两球的相遇可以在P点，也可以在P点左面或者右面，对于平抛运动，竖直方向有
水平方向有
又因为甲、丙两球在同一水平线上即两球高度相同，由上述两个式子分析可知，甲、丙两球的运动时间相同，两球的水平位移关系有
甲、丙两球同时相遇一定有
整理有
即甲、丙两球相遇一定在P点或者P点上空，综合上述分析可知，当速度适当时，三球可以在P点同时相遇，故AB错误；
C．甲、乙两球在水平面相遇，只能说明此时甲球落地，根据之前的分析可知，此时丙球也一定落地，且一定有，但因为初速度以及甲、丙两球初始高度不知，所以无法确定、以及的关系，因此，丙球可能在P点，可能在P点左侧，也可能在P点右侧，故C项错误；
D．根据之前的分析可知，甲、丙两球相遇，一定有
即甲球的水平位移为三分之一甲、丙两球的水平距离，因为，甲、乙两球始终在同一竖直线上，此时乙球的位移等于甲球的水平位移，即乙球一定在P点，故D项正确。
故选D。
【模型演练4】．（2023·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考阶段练习）如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．相遇时间变为B．相遇时间变为
C．相遇点的高度下降了D．相遇点的位置在原来的左下方
【答案】C
【详解】AB．设第一次抛出时A球的速度为，B球的速度为，则A、B间的水平距离
第二次两球的速度为第一次的，但两球间的水平距离不变，则
联立得
故AB错误；
CD．两次相遇位置的高度差
两次相遇A球水平位移
相遇位置在原来的正下方，故C正确，D错误。
故选C。
【模型演练5】（2023·安徽·模拟预测）如图，可视为质点的两个小球从同一高度向右水平同时拋出，两球下落高度时发生相碰。已知球抛出的初速度大小为球抛出的初速度大小为，重力加速度为，两球距地面足够高，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）

A．两球初始时之间的距离为
B．从抛出到两球相碰，两球的位移大小之差为
C．若将两球抛出的初速度均加倍，从抛出到相碰的时间为
D．若将两球抛出的初速度均减小一半，两球可能不会发生相碰
【答案】C
【详解】AB．两球初始时之间的距离为
两球的位移大小之差小于两球初始时之间的距离，故AB错误；
C．将两球抛出的初速度均加倍，从抛出到相碰的时间为
故C正确；
D．两球距地面足够高，将两球抛出的初速度均减小一半，两球一定会发生相碰，故D错误。
故选C。
【模型演练6】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机在M点的正上方离地高H处以水平速度v1=0.9km/s发射炮弹1，经20s击中地面目标P，若地面拦截系统在战斗机发射炮弹1的同时在M点右方水平距离s=1500m的地面上的N点以竖直向上的速度v2发射拦截炮弹2，若不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）

A．战斗机在M点的正上方离地2000m处
B．M点到P点的距离大于18000m
C．若拦截成功，则两炮弹从发射到相遇所需的时间为
D．若拦截成功，则发射拦截炮弹2的速度大小为1.2km/s
【答案】ACD
【详解】AB．炮弹1做平抛运动，竖直方向有
水平方向有
解得点与点的水平距离为
故A正确，B错误；
C．炮弹1做平抛运动，炮弹2做竖直上抛运动，若要拦截成功，则两炮弹必定在空中相遇，以竖直方向做自由落体运动的物体为参考系，炮弹2匀速上升，相遇时间
水平方向上，炮弹1做匀速直线运动，与炮弹2相遇的时间
故C正确；
D．拦截成功时，则
解得
故D正确。
故选ACD。
【斜抛运动模型】
1、运动规律
水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动
水平位移；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动
任意时刻的速度和位移分别是
2、轨迹方程
，是一条抛物线如图所示：
Y
V0y V0

V0x X

3、对斜抛运动的研究
（1）斜抛物体的飞行时间：
当物体落地时，由 知，飞行时间
（2）斜抛物体的射程：
由轨迹方程
令y=0得落回抛出高度时的水平射程是
两条结论：
①当抛射角时射程最远，
②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。
（3）斜上抛运动的射高：
斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时
代入即得到抛体所能达到的最大高度
可以看出，当时，射高最大
【模型演练1】（2023·甘肃·统考三模）在某次运动会上篮球项目比赛中某运动员大秀三分球，使运动场上的观众激情高涨。设篮球以与水平面成夹角斜向上抛出，篮球落入篮筐时速度方向与水平方向夹角为，且与互余（已知，）。若抛出时篮球离篮筐中心的水平距离为，不计空气阻力，篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮筐中心的高度差h为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设初始速度为，落入篮筐时速度为，篮球做斜抛运动，水平方向速度不变，有
解得

篮球运动总时间为t，在竖直方向设竖直向上为正方向，篮球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，有

解得

故选C。
【模型演练2】．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）如图所示，小球以的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）（取，，）

A．小球到达最高点时的瞬时速度为零B．小球在空中的运动时间是0.8s
C．小球离地面的最大高度是6.4mD．小球落地时水平位移大小为9.6m
【答案】D
【详解】A．小球做斜抛运动，到达最高点时竖直方向速度为零，水平方向速度不为零，则瞬时速度不为零，故A错误；
B．小球在空中的运动时间为
故B错误；
C．小球离地面的最大高度为
故C错误；
D．小球的水平分位移大小为
故D正确。
故选D。
【模型演练3】．（2023·北京·高三专题练习）如图所示，把质量为m的石块从距地面高h处以初速度斜向上抛出，与水平方向夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。若只改变抛射角，下列物理量一定不变的是（ ）
A．石块在空中的飞行时间B．石块落地的水平距离
C．石块落地时的动能D．石块落地时的动量
【答案】C
【详解】A．石块方向分速度
竖直方向根据
可知在空中的飞行时间因的不同而不同，A错误；
B．水平方向
结合A选项分析可知石块落地的水平距离可能因的不同而不同，B错误；
C．根据动能定理可得石块落地时的动能
可知石块落地时的动能一定相同，C正确；
D．根据C选项分析可知，落地时速度的大小相同，但是方向不相同，所以石块落地时的动量不同，D错误。
故选C。
【模型演练4】（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h=1.8m。篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v=10m/s，要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g=10 m/s2。篮筐离地面的高度为（ ）
A．2.85mB．3.05mC．3.25mD．3.5m
【答案】B
【详解】篮球离开手到篮筐的时间为
要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度刚好为零，则有
，
联立解得
故选B。
【模型演练5】．（2023·辽宁沈阳·统考三模）某篮球运动员正在进行投篮训练，若将篮球视为质点，忽略空气阻力，篮球的运动轨迹可简化如图，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为45°，在C点的速度大小为v0且与水平方向夹角为30°，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．篮球在B点的速度为零
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．A、B两点的高度差为
D．A、C两点的水平距离为
【答案】C
【详解】A．篮球在B点的速度为
故A错误；
B．从B点到C点，篮球的运动时间为
故B错误；
C．A、B两点的高度差为
故C正确；
D．A、C两点的水平距离为
故D错误。
故选C。
【模型演练6】（2023·湖南·统考高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）

A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B．谷粒2在最高点的速度小于
C．两谷粒从到的运动时间相等D．两谷粒从到的平均速度相等
【答案】B
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；
C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误；
B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于，B正确；
D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
故选B。
【模型演练7】（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）春秋末年，齐国著作《考工记：轮人》篇中记载：“轮人为盖”，“上欲尊而宇欲卑，上尊而宇卑，则吐水，疾而霤远。”意思是车盖中央高而四周低，形成一个斜面，泄水很快，而且水流的更远。如图甲所示是古代马车示意图，车盖呈伞状，支撑轴竖直向上，伞底圆面水平。过支撑轴的截面图简化为如图乙所示的等腰三角形，底面半径恒定为r，底角为。取不同的值时，自车盖顶端A由静止下滑的水滴（可视为质点）沿斜面运动的时间不同。已知重力加速度为g，不计水滴与伞面间的摩擦力和空气阻力。
（1）倾角为多大时，水滴下滑时间最短，并求出最短时间；
（2）满足（1）问条件，在车盖底面下方的水平面内有一长为L＝r的水平横梁（可看成细杆），横梁位于支撑轴正前方，其俯视图如图丙所示，横梁的垂直平分线过支撑轴。现保持车辆静止，大量水滴沿车盖顶端由静止向各方向滑下，整个横梁恰好“被保护”不被淋湿。求水平面内横梁中点到支撑轴的距离d。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）水滴沿伞面下滑过程中有
①
②
由①②得
又，则当时水滴滑落伞面时间最短，解得
（2）水滴沿伞面下落过程有
③
水滴离开伞后做斜下抛运动，且有：水平和竖直两个分速度
④
竖直方向
⑤
水平方向
⑥
由题意几何关系可知
⑦
由③~⑦式得
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
v2
v1
v3
v4
x:l=vt;
y:空中相遇t<
联立得
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1比球2先抛
t1>t2、v1球3、4同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=