2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之平方差公式

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之平方差公式，共15页。试卷主要包含了下列各式中能用平方差公式是，计算等内容，欢迎下载使用。

1．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（ ）
A．3B．6C．±3D．±6
3．计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．下列各式中能用平方差公式是（ ）
A．（x+y）（y+x）B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x）D．（﹣x+y）（y﹣x）
5．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a+b）＝a2+ab
二．填空题（共5小题）
6．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是 ．
7．计算：（3a+2b）（3a﹣2b）＝ ．
8．计算：（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）＝ ．
9．计算：（x+y）（﹣x+y）﹣x（y﹣x）＝ ．
10．一个正方形，如果先把一组对边加长4cm，再把另一组对边减少4cm，这时得到的矩形面积与原正方形的边长减少2cm后的正方形面积相等，则原正方形的面积是 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知x与y是互为相反数，且（x+2）2﹣（y+1）2＝4，求x、y的值．
12．计算：（a+1）（a﹣1）﹣2（a+2）．
13．计算．
（1）；
（2）2022×2024﹣20232
14．按要求解答：
①化简（3a+1）（3a﹣1）﹣（1﹣a）（3a+2）；
②计算：．
15．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图（1）中阴影部分的面积为S1，图（2）中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ ；S2＝ ；写出上述过程所揭示的等式： （用a，b表示）
（2）直接应用：利用这个等式计算：
①102×98；
②（x﹣10）（x+10）；
（3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版七年级期中必刷常考题之平方差公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：D．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
2．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（ ）
A．3B．6C．±3D．±6
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平方差公式即可求解．
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想．
3．计算20232﹣2024×2022的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】把原式化为20232﹣（2023+1）（2023﹣1）再计算即可．
【解答】解：20232﹣2024×2022
＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣20232+1
＝1；
故选：A．
【点评】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是关键．
4．下列各式中能用平方差公式是（ ）
A．（x+y）（y+x）B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x）D．（﹣x+y）（y﹣x）
【考点】平方差公式．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a+b）＝a2+ab
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】由面积的和差关系可求解即可．
【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【分析】用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【解答】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
7．计算：（3a+2b）（3a﹣2b）＝ 9a2﹣4b2 ．
【考点】平方差公式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用平方差公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝（3a）2﹣（2b）2＝9a2﹣4b2．
故答案为：9a2﹣4b2
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．计算：（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）＝ ．
【考点】平方差公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，把1看成是（3﹣1），即可解答本题．
【解答】解：原式[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）+1]
[（32﹣1）（32+1）（34+1）…（364+1）+1]
[（34﹣1）（34+1）…（364+1）+1]
（3128﹣1+1）
3128
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平方差公式，难度不大，关键是把1看成是（3﹣1），运用平方差公式解题．
9．计算：（x+y）（﹣x+y）﹣x（y﹣x）＝ y2﹣xy ．
【考点】平方差公式；单项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】y2﹣xy．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝y2﹣x2﹣xy+x2
＝y2﹣xy．
故答案为：y2﹣xy．
【点评】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征以及单项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．
10．一个正方形，如果先把一组对边加长4cm，再把另一组对边减少4cm，这时得到的矩形面积与原正方形的边长减少2cm后的正方形面积相等，则原正方形的面积是 25cm2 ．
【考点】平方差公式的几何背景；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】25cm2．
【分析】设原正方形的边长为x cm，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设原正方形的边长为x cm，则长方形的长为（x+4）cm，宽为（x﹣4）cm，由题意得，
（x+4）（x﹣4）＝（x﹣2）2，
解得x＝5，
即原正方形的边长为5cm，
因此面积为25cm2．
故答案为：25cm2．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法以及平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
三．解答题（共5小题）
11．已知x与y是互为相反数，且（x+2）2﹣（y+1）2＝4，求x、y的值．
【考点】平方差公式；相反数．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方差公式得到[（x+2）+（y+1][（x+2）﹣（y+1]＝4，整理得到（x+y+3）（x﹣y+1）＝4，由x与y是互为相反数可得3（2x+1）＝4，解此方程即可．
【解答】解：∵（x+2）2﹣（y+1）2＝4，
∴[（x+2）+（y+1][（x+2）﹣（y+1]＝4，
又∵x与y是互为相反数，
∴3（2x+1）＝4，
解得，
∴．
【点评】本题考查了平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．也考查了相反数．
12．计算：（a+1）（a﹣1）﹣2（a+2）．
【考点】平方差公式；去括号与添括号．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a2﹣2a﹣5．
【分析】先平方差，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（a+1）（a﹣1）﹣2（a+2）
＝a2﹣1﹣2a﹣4
＝a2﹣2a﹣5．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
13．计算．
（1）；
（2）2022×2024﹣20232
【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）﹣1．
【分析】（1）由幂的乘方及积的乘方法则可得出答案；
（2）由平方差公式可得出答案．
【解答】解：（1）原式；
（2）2022×2024﹣20232
＝（2023﹣1）×（2023+1）﹣20232
＝20232﹣12﹣20232
＝﹣1．
【点评】本题考查了幂的乘方及积的乘方法则，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．按要求解答：
①化简（3a+1）（3a﹣1）﹣（1﹣a）（3a+2）；
②计算：．
【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】①12a2﹣a﹣3；
②﹣1.25．
【分析】①利用平方差公式和多项式乘多项式的法则化简后合并同类项即可；
②由幂的乘方及积的乘方法则可得出答案．
【解答】解：①原式＝（9a2﹣1）﹣（3a+2﹣3a2﹣2a）
＝9a2﹣1﹣3a﹣2+3a2+2a
＝12a2﹣a﹣3．
②原式

＝﹣1.25．
【点评】本题主要考查了幂的乘方及积的乘方，平多项式乘多项式，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
15．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图（1）中阴影部分的面积为S1，图（2）中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ a2﹣b2 ；S2＝ （a+b）（a﹣b） ；写出上述过程所揭示的等式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用a，b表示）
（2）直接应用：利用这个等式计算：
①102×98；
②（x﹣10）（x+10）；
（3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①9996；②x2﹣100；
（3）232﹣1．
【分析】（1）根据面积的计算方法，用含有a、b的代数式表示S1、S2即可；由图①和图②阴影部分的面积相等得出关于a，b的等式；
（2）根据（1）中结论计算即可；
（3）乘以（2﹣1）之后，连续利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图（1）的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即，
图（2）是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为：S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①102×98
＝（100+2）（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996；
②（x﹣10）（x+10）
＝x2﹣102
＝x2﹣100；
（3）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）
＝（2﹣1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）
＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）
＝（24﹣1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）
＝（28﹣1）×（28+1）×（216+1）
＝（216﹣1）×（216+1）
＝232﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:17:37；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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