2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等腰三角形的判定与性质

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等腰三角形的判定与性质，共23页。

A．5B．6C．7D．8
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝4，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．13
4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③AD+CF＝BD；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①③D．①④
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 ．
7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝2，AE＝3，则AC＝ ．
9．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 ．
10．如图，在△ABC中，已知∠B＝∠C＝50°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
13．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．
15．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等腰三角形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB＝DO，OE＝EC．然后即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，
∴DB＝DO，OE＝EC，
∵DE＝DO+OE，
∴DE＝BD+CE＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证DB＝DO，OE＝EC，难度不大，是一道基础题．
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝4，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，平行线的性质得到∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，等量代换得到∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD＝FD，CE＝FE，即可得到结论．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∵AB＝4，AC＝5，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝4+5＝9．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NOC是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，然后根据等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC＝14，即可解答．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，
∴MB＝MO，NO＝NC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+MO+ON+AN
＝AM+MB+NC+AN
＝AB+AC
＝8+6
＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③AD+CF＝BD；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①③D．①④
【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由DH⊥BC，∠ABC＝45°可得出△BDH为等腰直角三角形，根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AEAC，又因为BF＝AC，所以CEACBF．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝45°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．
故①正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC，
∴BG＝CG，
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG，
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC（ASA）．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故③正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AEAC．
又由（1）可知：BF＝AC，
∴CEACBF；故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 15cm ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】15cm．
【分析】根据平行线的性质可证明△DPB和△EPC为等腰等角线，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
【解答】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠APB＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝15cm．
故答案为：15cm．
【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据图形熟练运用平行线的性质进行角的转化．
7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 10 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．
【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO+NO＝MB+NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，
故答案为：10
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
8．如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝2，AE＝3，则AC＝ 5 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BCD＝∠DCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD＝∠CDE，然后求出∠DCE＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝DE，然后根据AC＝AE+CE代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∵DE＝2，AE＝3，，
∴AC＝AE+CE＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出CE＝DE是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 6 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案．
【解答】解：∵BG平分∠EBC，
∴∠EBG＝∠GBC，
∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG，
同理可得DF＝DC，
∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，已知∠B＝∠C＝50°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是 40° ．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】40°．
【分析】根据∠B＝∠C，得出△ABC是等腰三角形，又由AD是△ABC的中线，三线合一，AD是∠BAC的角平分线，所以，即可求解．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，AB＝AC，
又∵AD是△ABC的中线，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用三线合一证明出AD是∠BAC的角平分线．
三．解答题（共5小题）
11．已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）14cm．
【分析】（1）首先根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，据此即可证得；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
13．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）说明过程见解答；
（2）①说明过程见解答；
②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴ACAB．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
15．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解答；
（2）DE＝BD﹣CE，理由见解答．
【分析】（1）先由角平分线定义得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再由平行线的性质得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，则∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论；
（2）同（1）证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
∴DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴DO+OE＝BD+CE，
即DE＝BD+CE；
（2）DE＝BD﹣CE，理由如下：
∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO，
∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
∴DO∥BF，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∵DE＝DO﹣OE，
∴DE＝BD﹣CE．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的性质等知识是解题的关键．
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:46:34；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序