山东省德州市宁津县大曹镇大赵中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份山东省德州市宁津县大曹镇大赵中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列是勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．C．7，24，25D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝±4B．﹣＝﹣8C．＝2D．﹣
4．满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A．B．
C．D．
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6B．8C．10D．12
8．如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A．mB．mC．mD． m
9．如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
10．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（ ）
A．B．C．D．
11．估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
12．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．计算： ．
14．已知，则 ．
15．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为 ．
16．已知，，则的值为 ．
17．在中，，．若点 P在边AC上移动，则线段BP的最小值是 ．
18．在中，，高，则的周长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）．
19．计算：
(1)
(2)
(3)
20．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知，求这块四边形土地的面积．
21．如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长．
22．如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)这个梯子的顶端离地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
23．请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；______．
(2)求解：
24．我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
(1)化简： ， ；
(2)若，则x的取值范围为 ；
(3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
25．如图，在中，，，，点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
(1)填空：______；
(2)当为何值时，线段的长最小；
(3)当为何值时，为等腰三角形．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件得出关于的一元一次不等式，求解即可获得答案．
【解答】解：根据题意，二次根式在实数范围内有意义，
则有，
解得．
故选：D．
2．C
【分析】
本题考查了勾股数；
根据勾股定理的逆定理和勾股数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A.∵，
∴不是勾股数；
B.∵勾股数是正整数，
∴不是勾股数；
C.∵，
∴是勾股数；
D.∵勾股数是正整数，
∴不是勾股数；
故选：C．
3．B
【分析】按照平方根和立方根的定义及二次根式运算法则求解即可；
【解答】A、＝4，所以A选项不符合题意；
B、原式＝﹣8，所以B选项符合题意；
C、原式＝﹣2，所以C选项不符合题意；
D、原式＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次根式的运算，主要是平方根和立方根的运算，难度一般．
4．C
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】
本题考查了最简二次根式的定义；
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【解答】解：A.，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，不是最简二次根式；
故选：B．
6．B
【解答】解：，
A、，能合并，故本选项错误；
B、，不能合并，故本选项正确；
C、，能合并，故本选项错误；
D、-，能合并，故本选项错误．
故选B．
7．C
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，构造直角三角形ABC
∵两棵树的高度差为AC=（米），间距为AB=米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC（米）．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
8．A
【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
根据勾股定理进行计算即可得．
【解答】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故选∶A．
9．B
【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
【解答】解：由题意可得，
AB=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AC=，
∴AD=，
∴点D表示数为：-1，
故选B.
【点拨】本题考查实数与数轴和勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．B
【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可．
【解答】解：根据所给式子的规律可得：，
解得：．
故选：B．
11．C
【解答】∵，而，
∴原式运算的结果在8到9之间．
12．D
【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后即可求出风车外围的周长，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【解答】解：∵，，又∵为直角三角形，将长度为的边延长一倍长度为，
∴由勾股定理知，延伸后斜边长为，
又∵四个直角三角形全等，
∴这个风车外围周长为，
故选：．
13．
【分析】
根据二次根式的除法进行计算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解题关键．
14．
【分析】本题考查算术平方根、平方的非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出、的值，进而可得出结论．熟知非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果．
【解答】
由题意得，正方形的面积为，
则正方形的面积．
故答案为：．
16．
【分析】
根据题意，先求出和的值，然后代入计算，即可得到答案.
【解答】
解：∵，，
∴，
，
∴
，
故答案为：.
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
17．
【分析】作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴BD=CD=3，AD=，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=，可得，解得；
即线段BP的最小值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
18．或##或
【分析】
分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解．
【解答】解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在的外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
【点拨】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，二次根式的混合运算；
（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先算有理数的乘除，再算加减即可；
（3）根据二次根式的运算法则和平方差公式计算即可．
【解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
20．36平方米
【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握：勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
如图，连接，由勾股定理得，，由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且，根据，计算求解即可．
【解答】解：如图，连接，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形土地的面积为36平方米．
21．
【分析】首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可．
【解答】∵，，，
∴，
∵将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，
∴，，，
∴，
∴设，则，
∴在，，即，
∴解得：，
∴．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
22．(1)这个梯子的顶端离地面有24米
(2)梯子底端在水平方向滑动8米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；
【解答】（1）解：在中，，
则
即
答：这个梯子的顶端离地面有24米．
（2）∵则
在中，
，
∴，
则
答：梯子底端在水平方向滑动8米．
23．(1)，
(2)
【分析】
本题主要考查了分母有理化；
（1）根据分母有理化计算即可；
（2）利用分母有理化对原式进行变形，相消后再利用平方差公式计算即可．
【解答】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）原式
．
24．(1)2，
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了二次根式的性质；
（1）根据化简即可；
（2）根据可知，解不等式即可；
（3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简．
【解答】（1）解：，，
故答案为：2，；
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）由数轴得：，
∴，，
∴．
25．(1)10
(2)
(3)或
【分析】
（1）勾股定理即可得解；
（2）根据垂线段最短，得到当时，线段的长最小，利用等积法求出的长，进而求出的长，即可得解；
（3）分，三种情况，讨论求解即可．
【解答】（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：根据点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，线段的长最小，如图，
∵，
∴，即：，
∴，
在中，，
∴；
∴当时，线段的长最小；
（3）解：①当时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
③当时，此种情况不存在；
综上：当或时，为等腰三角形．
【点拨】本题考查勾股定理，垂线段最短以及等腰三角形的判断和性质．熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．