河南省信阳市罗山县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳市罗山县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列计算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．估计的值应在（ ）
A．到之间B．到之间C．到之间D．到之间
3．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）

A．3B．4C．6D．12
4．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平行四边形中，于点E，于点F，，，平行四边形的周长为，则平行四边形的面积是（ ）

A．B．C．D．
7．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在平行四边形中，，于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为（ ）
A．B．C．或D．15
10．如图，，是上异于、的一点，则的值是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知，则的值为 ．
12．如图，数轴上点A表示的实数为 ．

13．计算： ．
14．如图，在，，分别以三边为直径向上作三个半圆．若，，则阴影部分图形的面积为 ．
15．在的网格中，有、、三个格点，当是直角三角形时，则点的坐标可以是 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
18．2022年第3号台风“退芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断．
19．如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线的三等分点，连接，证明：．
20．若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
21．如图，已知等腰中，，，是边上一点，且，．
（1）求的长；
（2）求中边上的高．
22．如图，数轴上与、对应的点分别是A、B，且点B关于点A的对称点为C．设点C表示的数为x，求：
(1)x的值；
(2)的值．
23．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据二次根式的加减，二次根式的乘除运算，逐项判断即可求解，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【解答】解：A、，故A正确，不符合题意；
B、，故B正确，不符合题意；
C、，故C正确，不符合题意；
D、，故D不正确，符合题意，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先利用二次根式的运算法则将原式化简，再利用夹逼法对无理数进行估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
首先根据折叠的性质得到，设，则，然后在中利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的面积为．
故选：C．
4．D
【分析】
本题考查了二次根式的性质、化简绝对值、数轴，正确掌握相关的性质内容是解题的关键．
根据数轴判断a、b、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】由数轴知，，且
，，
，
，
，
．
故选：D
5．D
【分析】
本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．
【解答】解：由题可得：
，
，
，
解得：，
故选：D．
6．D
【分析】
已知平行四边形的高、，设，则，根据“等面积法”列方程，求，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：∵平行四边形的周长为，
则设，则，
∵于点E，于点F，
根据“等面积法”得，
即，解得，
∴平行四边形的面积，
故选：D．
【点拨】此题考查平行四边形的性质，本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积底高，可用两种方法表示．
7．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据有一个内角是直角的三角形是直角三角形、勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键．根据三角形内角和等于度求出三角形内角的度数，即可判定A、C；根据勾股定理的逆定理判定B、D，即可得出答案．
【解答】解：A、，则，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，可得，则是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，则，，
∴，
∴，
∴则不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，设，则，，则，即，
根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．证明，，由，可得，结合，可得．
【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A
9．B
【分析】
本题主要考查了等腰三角形，勾股定理．根据等腰三角形的定义分两种情况，结合勾股定理，即可求解．
【解答】
解：当时，
过A作，交于点E，
∵，
∴，
由勾股定理， ，
∴，
当时，
∵不满足小于，
∴此种情况不存在，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查勾股定理的运用，等腰三角形的三线合一，平方差公式，运用了恒等变换的思想．过点作于，在与中，运用勾股定理可表示出，，根据，，运用三线合一以及线段之间的转化可得．解题的关键是通过作辅助线并利用等腰三角形的三线合一解决问题．
【解答】解：过点作于，
∴与都为直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴的值是．
故选：A．

11．
【分析】
由已知条件先求解，，结合，再代入求值即可．
【解答】解：∵，，
∴，，
∴


；
故答案为：．
【点拨】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
12．
【分析】先根据勾股定理求出圆弧半径，再用减去半径即可得到答案．
【解答】
解：由勾股定理得，
圆弧半径为，
则点A表示的实数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．
13．
【分析】
本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：．
14．
【分析】
本题考查求不规则图形面积，涉及圆的面积、勾股定理等知识，根据题中图形，间接表示出不规则图形面积没利用三角形面积公式及圆的面积公式代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【解答】解：在，，，，
，
，
故答案为：．
15．或或
【分析】
本题考查了坐标与图形性质，也考查了三角形直角三角形的性质，利用三角形直角三角形的性质确定点C的位置即可．
【解答】解：由题意得：当是直角三角形时，则点的坐标可以是或或，
故答案为：或或
16．(1)
(2)
【分析】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键．
（1）先把二次根式化为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可．
【解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)A、C两点之间的距离为15cm；
(2)114（cm2）
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】（1）解：连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
=AB•BCAC•CD
=9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
18．这棵树在离地面米处被折断
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有；利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意得：，，则，
在中，
，
，
，
答：这棵树在离地面米处被折断．
19．证明见解析
【分析】
只需要利用证明即可证明.
【解答】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E，F是对角线的三等分点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键.
20．(1)a=，b=2，c=3；
(2)等腰三角形的周长为2+2或+4．
【分析】（1）首先由得出c=0，再进一步得出a、b的数值即可；
（2）分a是腰长与b是底边和b是腰长与a是底边两种情况讨论求解．
【解答】（1）解：由题意得c-3≥0，3-c≥0，
则c=3，|a-|+=0，
则a-=0，b-2=0，
所以a=，b=2；
（2）解：当a是腰长与b是底边，
∵+>2，
∴等腰三角形的周长为++2=2+2；
当b是腰长与a是底边，
∵+2>2，
∴等腰三角形的周长为+2+2=+4．
综上，等腰三角形的周长为2+2或+4．
【点拨】此题考查二次根式的意义与加减运算，以及等腰三角形的性质．利用二次根式有意义的条件得出c的值是解题关键．
21．（1）AD=cm；（2）cm
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出∠ADC=90°，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出BE=CE=10cm，根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：（1）∵BC=20cm，且CD=16cm，BD=12cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
设AD=x cm，则AC=AB=(x+12)cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即x2+162=(x+12)2，
解得：x=，
即AD=cm；
（2）AB=AC=+12=（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB=AC，BC=20cm，
∴BE=CE=10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出∠BDC=90°是解此题的关键．
22．(1)
(2)40
【分析】
本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，利用中点的性质得出关于x的方程是解题关键．
（1）先结合数轴利用已知条件求出线段的长度，然后根据B，C两点关于A点对称即可解决问题；
（2）将（1）中所求的x的值代入，然后根据二次根式混合运算的顺序计算即可．
【解答】（1）∵数轴上与、对应的点分别是A、B，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）
，
，
．
23．(1)（49﹣1），（49＋1）
(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，证明过程详见解析
(3)m，
【分析】（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；
（3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1．
【解答】（1）解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：（49﹣1），（49＋1）；
（2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，，
它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）．
如证明（ⅰ）：弦﹣股＝；
如证明（ⅱ）：；
（3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，．
【点拨】本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般．