2021-2022学年山东省东营市广饶县八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年山东省东营市广饶县八年级上学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积，甲同学写出了一个等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），乙同学也写出了一个等式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则（ ）
A．甲乙都正确B．甲乙都不正确
C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
4．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
5．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
6．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，1）B．（4，﹣2）C．（4，1）D．（2，1）
7．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12且k≠﹣3B．k＞﹣12
C．k＜﹣12且k≠﹣3D．k＜﹣12
8．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为（ ）
A．（，﹣1）B．（﹣1，）C．（﹣，1）D．（1，﹣）
9．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）
A．B．C．1D．
10．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个．
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果，）
11．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是 ．
13．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为 米．
14．已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝ ．
15．如图，△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到AB'C'，且C在边BC上，则∠B'C'B的度数为 ．
16．一艘轮船顺水航行60km所用的时间与逆水航行40km所用时间相同，若水流速度为3km/h，则轮船在静水中的速度为 km/h．
17．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°并将两直角边延长，得到等腰Rt△A1OB1，且使A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕点O顺时针旋转90°，并将两直角边延长，得到等腰Rt△A2OB2，且使A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等Rt△A2022OB2022，则点A2022的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共72分.解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（1）分解因式：9（m+n）2﹣（m﹣n）2；
（2）解方程．
20．化简再求值
已知，其中x是不等式组的整数解．
21．2021年广饶县中学生篮球联赛于12月16日﹣18日举行，学校在全校选拔篮球队员组建篮球队，教练员为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加校篮球队，对他们进行了8次定点投篮测试，每次投10个球，测试成绩（单位：个）如表：
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 个，乙的平均成绩是 个；
（2）分别计算甲、乙两名同学8次测试成绩的方差；
（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为选谁参加校篮球队更合适，并说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．
23．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
24．2021年是中国共产党建党100周年，为深入了解党的光荣历史，东营市某中学团委组织全校共青团员到广饶刘集红色旅游区开展红色研学之旅，旅游区距学校120km部分学生乘慢车先行，出发20min后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达旅游区．已知快车的平均速度是慢车平均速度的1.2倍，求慢车的平均速度．
25．【教材呈现】如图是鲁教版八年级上册教材第142页的第1题，请完成这道题的证明．
（1）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
求证：∠PMN＝∠PNM．
【教材延伸】
（2）如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，求证：∠AEN＝∠F．
【应用探究】
（3）如图③，在△ABC中，AC＜AB，D点在AC上，AD＝BC，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM并延长，与BC的延长线交于点G，若∠AMN＝60°，连接GD，则△CGD形状是 ．
附加题(本题满分10分)
26．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分
1．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案．
解：A、，故A错误；
B、C分式中没有公因式，不能约分，故B、C错误；
D、＝，故D正确．
故选：D．
3．如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积，甲同学写出了一个等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），乙同学也写出了一个等式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则（ ）
A．甲乙都正确B．甲乙都不正确
C．甲正确，乙不正确D．甲不正确，乙正确
【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．
解：图①面积为：a2﹣b2，
图②的面积为：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴甲同学写得正确，
故选：C．
4．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：C．
5．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝2+AB+BC+2+AC即可得出答案．
解：根据题意，将周长为16cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，
∴AD＝CF＝2cm，BF＝BC+CF＝BC+2cm，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝16cm，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝2+AB+BC+2+AC＝20cm．
故选：C．
6．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，1）B．（4，﹣2）C．（4，1）D．（2，1）
【分析】首先根据B、C两点的坐标确定线段BC的长，然后根据A点向右平移线段BC的长度得到D点，即可由A点坐标求得点D的坐标．
解：∵B，C的坐标分别是（﹣2，﹣2），（2，﹣2），
∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵点A的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
故选：C．
7．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12且k≠﹣3B．k＞﹣12
C．k＜﹣12且k≠﹣3D．k＜﹣12
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解的定义得到x＝＜0且≠3，最后解一元一次不等式，进而解决此题．
解：，
去分母，得x﹣4（x﹣3）＝﹣k．
去括号，得x﹣4x+12＝﹣k．
移项，得﹣3x＝﹣k﹣12．
x的系数化为1，x＝．
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴x＝＜0且≠3．
∴k＜﹣12且k≠﹣3．
∴k＜﹣12．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为（ ）
A．（，﹣1）B．（﹣1，）C．（﹣，1）D．（1，﹣）
【分析】过点A′作A′B⊥x轴于点B，根据旋转的性质可得OA′＝OA＝2，∠AOA′＝105°，利用平角的定义得出∠A′OB＝30°，解直角△A′OB，求出A′B，OB，进而得到点A′的坐标．
解：如图，过点A′作A′B⊥x轴于点B，
∵将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝105°，
∴∠A′OB＝180°﹣45°﹣105°＝30°．
在直角△A′OB中，∵∠OBA′＝90°，∠A′OB＝30°，
∴A′B＝OA′＝1，OB＝A′B＝，
∴点A′的坐标为（﹣，1）．
故选：C．
9．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）
A．B．C．1D．
【分析】取EF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH＝FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．
解：取EF的中点H，连接DH，
∵BD＝DC，BH＝HF，
∴DH＝FC，DH∥AC，
∴∠HDE＝∠FAE，
在△AEF和△DEH中，
，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴AF＝DH，
∴AF＝FC，
∵AC＝4，
∴AF＝，
故选：B．
10．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，
∴FD＝AD，BE＝AB，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴FD＝BC，BE＝DC，
∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，
∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，
∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，
∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，
∴△EAF≌△EBC（SAS），
∴∠AEF＝∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF＝CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
故选：B．
二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果，）
11．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
12．已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】先根据算术平均数的定义求出x，再利用中位数的概念求解即可．
解：根据题意，得：＝5，
解得x＝4，
所以这组数据为3、4、4、5、9，
则这组数据的中位数为4，
故答案为：4．
13．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为 80 米．
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷45°＝8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．
故答案为：80．
14．已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝ 36 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可．
解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）
＝2xy（x﹣3y）2，
∵xy＝2，x﹣3y＝3，
∴原式＝2×2×32
＝4×9
＝36，
故答案为：36．
15．如图，△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到AB'C'，且C在边BC上，则∠B'C'B的度数为 46° ．
【分析】由旋转的性质可得AC＝AC'，∠C＝∠AC'B'＝67°，由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠C＝67°，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转，
∴AC＝AC'，∠C＝∠AC'B'＝67°，
∴∠AC'C＝∠C＝67°，
∴∠BC'B'＝180°﹣∠AC'C﹣∠B'C'B＝46°，
故答案为：46°．
16．一艘轮船顺水航行60km所用的时间与逆水航行40km所用时间相同，若水流速度为3km/h，则轮船在静水中的速度为 15 km/h．
【分析】顺水速度＝水流速度+静水速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度．根据“轮船顺水航行60千米所需要的时间和逆水航行40千米所用的时间相同”可列出方程．
解：设船在静水中的速度是x千米/时．
由题意得：＝．
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
即船在静水中的速度是15千米/时．
故答案为：15．
17．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 50 ．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝10，
∴EF＝BE＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，
故答案为：50．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°并将两直角边延长，得到等腰Rt△A1OB1，且使A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕点O顺时针旋转90°，并将两直角边延长，得到等腰Rt△A2OB2，且使A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等Rt△A2022OB2022，则点A2022的坐标为 （﹣22022，0） ．
【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点A2022的坐标位置，进而得出答案．
解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝2，
∴AB＝OA＝1，
∴A（1，0），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，A1（0，﹣2），A2（﹣4，0），A3（0，8），A4（16，0），
∵2022÷4＝505•••2，
∴点A2022与A2在x轴的负半轴上，
∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，
∴点A2022（﹣22022，0）．
故答案为（﹣22022，0）．
三、解答题：本大题共7小题，共72分.解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（1）分解因式：9（m+n）2﹣（m﹣n）2；
（2）解方程．
【分析】（1）用平方差公式分解因式，把3（m+n）、（m﹣n）看作一个整体；
（2）首先把原方程可化为：＝﹣2，再根据解分式方程的步骤求出x，最后一定要检验．
解：（1）9（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝[3（m+n）]2﹣（m﹣n）2
＝[3（m+n）+（m﹣n）][3（m+n）﹣（m﹣n）]
＝（4m+2n）（2m+4n）
＝4（2m+n）（m+2n）；
（2）原方程可化为：＝﹣2，
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，原分式方程分母等于0，应舍去，
因此，原分式方程无解．
20．化简再求值
已知，其中x是不等式组的整数解．
【分析】先利用分式的运算法则对分式化简运算，再解不等式组确定x的值，最后代入求值．
解：
＝×
＝×
＝×
＝．
解不等式组，
得﹣2≤x＜1.5．
又∵x取整数解，
∴x＝﹣2，﹣1，0或1．
∵当x＝﹣2，﹣1，1时，原分式无意义，
∴x＝0．
当x＝0时，原式＝＝﹣1．
21．2021年广饶县中学生篮球联赛于12月16日﹣18日举行，学校在全校选拔篮球队员组建篮球队，教练员为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加校篮球队，对他们进行了8次定点投篮测试，每次投10个球，测试成绩（单位：个）如表：
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 9 个，乙的平均成绩是 9 个；
（2）分别计算甲、乙两名同学8次测试成绩的方差；
（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为选谁参加校篮球队更合适，并说明理由．
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解即可；
（2）根据方差的定义列式计算即可；
（3）根据方差的意义求解即可．
解：（1）甲的平均成绩为：×（10+8+9+8+10+9+10+8）＝9（环），
乙的平均成绩为：×（10+7+10+10+9+8+8+10）＝9（环），
故答案为：9，9；
（2）甲的方差为：×[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]＝0.75，
乙的方差为：×[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]＝1.25，
（3）∵9＝9，0.75＜1.25，
∴甲乙平均值相等，且甲的方差小，
∴甲比较稳定，故选甲参加校篮球队更合适．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形，判断△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们相交一点，则两个三角形关于这个点中心对称．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．
23．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．
（2）先证明△DEM≌△BFN得BN＝DM，再在Rt△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF（AAS），
∴ME＝NF＝3，
在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴BN＝DM＝5．
24．2021年是中国共产党建党100周年，为深入了解党的光荣历史，东营市某中学团委组织全校共青团员到广饶刘集红色旅游区开展红色研学之旅，旅游区距学校120km部分学生乘慢车先行，出发20min后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达旅游区．已知快车的平均速度是慢车平均速度的1.2倍，求慢车的平均速度．
【分析】设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2x km/h，根据时间差为20min列出方程．
解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2x km/h，
根据题意得．
故列方程为：﹣＝．
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根．
答：慢车的平均速度是60km/h．
25．【教材呈现】如图是鲁教版八年级上册教材第142页的第1题，请完成这道题的证明．
（1）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
求证：∠PMN＝∠PNM．
【教材延伸】
（2）如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，求证：∠AEN＝∠F．
【应用探究】
（3）如图③，在△ABC中，AC＜AB，D点在AC上，AD＝BC，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM并延长，与BC的延长线交于点G，若∠AMN＝60°，连接GD，则△CGD形状是 直角三角形 ．
【分析】（1）证PM是△BCD的中位线，PN是△ABD的中位线，则PM＝BC，PN＝AD，再证PM＝PN，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PM∥BC，PN∥AD，再由平行线的性质得PMN＝∠F，∠PNM＝∠AEN，然后由（1）可知∠PMN＝∠PNM，即可得出结论；
（3）连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由三角形中位线定理得PM∥BC，PM＝BC，PN∥AD，PN＝AD，再证△CGM是等边三角形．得CM＝GM，则DM＝GM，然后由等腰三角形的性质得∠MDG＝∠MGD＝30°，则∠CGD＝∠CGM+∠MGD＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM是△BCD的中位线，PN是△ABD的中位线，
∴PM＝BC，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PM是△BDC的中位线，PN是△ABD的中位线，
∴PM∥BC，PN∥AD，
∴∠PMN＝∠F，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵M是CD的中点，N是AB的中点，
∴PM是△BCD的中位线，PN是△ABD的中位线，
∴PM∥BC，PM＝BC，PN∥AD，PN＝AD，
∵AD＝BC
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PN∥AD，
∴∠PNM＝∠AMN＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PM∥BC，
∴∠CGM＝∠PMN＝60°，
又∵∠CMG＝∠AMN＝60°，
∴△CGM是等边三角形．
∴CM＝GM，
又∵CM＝DM，
∴DM＝GM，
∴∠MDG＝∠MGD＝∠CMG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGM+∠MGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
附加题(本题满分10分)
26．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）②连接AM，证明AM＝BN，∠MAN＝90°，利用勾股定理解决问题即可．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∵AO＝BO，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）①证明：如图2中，连接AM．
同法可证△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，
∵∠OAB＝∠B＝45°，
∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，
∴MN2＝AN2+AM2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴NB2+AN2＝2ON2．
②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．
∵△AOM≌△BON，
∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝3，MH＝HN＝OH＝，
∴AH＝＝＝，
∴BN＝AM＝MH+AH＝．
如图3﹣2中，同法可证AM＝BN＝．
鞋的尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量双
1
2
5
11
7
3
1
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
甲
10
8
9
8
10
9
10
8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10
鞋的尺码/cm
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销售量双
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第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
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甲
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10
9
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8
乙
10
7
10
10
9
8
8
10