2024届安徽省池州市普通高中高三下学期二模考试 数学试题

这是一份2024届安徽省池州市普通高中高三下学期二模考试 数学试题，共14页。试卷主要包含了已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

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数学
满分：150分考试时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则的实部为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A.7 B.-7 C. D.
4.对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.甲乙两人分别从五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（ ）
A.30种 B.60种 C.45种 D.90种
7.已知实数满足，若的最大值为4，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A.若圆与圆内切，则圆与圆内切
B.若圆与圆外切，则圆与圆外切
C.若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D.若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲乙两班每场比赛平均进球数､失球数及所有场次比赛进球个数､失球个数的标准差如下表：
下列说法正确的是（ ）
A.甲班在防守中比乙班稳定
B.乙班总体实力优于甲班
C.乙班很少不失球
D.乙班在进攻中有时表现很好有时表现较差
10.已知函数，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.在区间内有2个极大值点
C.
D.将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称
11.已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（ ）
A.图象关于点对称
B.图象关于点对称
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，则__________.
13.造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为__________.
14.如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则__________，该正三棱柱的体积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：
（1）求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望；
（2）规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数.
16.（15分）
记为数列的前项的和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）令，求.
17.（15分）
如图，在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，，点分别在棱上，，且三棱锥的体积为.
（1）求的值；
（2）若点满足，求直线与平面所成角的余弦值.
18.（17分）
已知双曲线的右焦点，离心率为，过的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.
（1）当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；
（2）直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.
19.（17分）
已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对任意的，有.
（1）试问函数是否属于集合？并说明理由；
（2）若函数，求正数的取值集合；
（3）若函数，证明：.
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数学评分参考
一､填空题
二､多选题
11.【解析】由是奇函数得，所以函数关于点对称，选项A正确；由函数关于点对称得，所以，解得.
由得点在函数图象上，又点在函数图象上，所以函数图象关于直线对称.
由关于点对称，关于直线对称得关于对称【理由如下：在图象上取点，则点在函数图象上，由关于对称，得点和都在图象上】，选项B正确.
由函数关于点对称得，由函数关于点对称得，又由得.当时，所以，解得【理由略】；当时，由函数关于直线对称可知函数在内单减，所以，又，所以，这与题设矛盾，舍去.所以，又，即，选项C正确.
综上，当时，，显然，由函数关于对称，可知，由关于点对称得.选项错误.
综上所述，选项正确.
三､填空题
12.. 13.. 14.1；.【对一个得3分，对两个得5分】
14.【解析】由题意可知：过点作平面必与棱相交，且交点分别记为，如图1所示，接下来，过点分别作平行于平面的平面，为使得每相邻两个平面间的距离都相等，则点为棱的三等分点（靠近点），点为棱的中点，如图2所示.再过点作平行于平面的平面，即可满足题设要求.
由上述分析可知平面，过点作的垂线，垂足为，则，则即为与间的距离，所以.设该正三棱柱的底面边长为，则，
，所以，所以，所以，所以体积为.
四､填空题
15.解：（1）由题意知，所有可能取的值为
的分布列如下：
（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率
方法一：
所有可能取的值为，且
所以使得取得最大值时，整数的值为3
方法二：
由得
所以
所以
所以使得取得最大值时，整数的值为3
16.解：（1）①
当时②
①-②得：
化简得
又是以2为首项，1为公差的等差数列
的通项公式为
（2）由（1）知：
当时，
又是以为首项，为公比的等比数列
注：其它解法参照以上评分细则.
17.解：（1）如图所示，取中点，连接
是边长为6的正三角形，为中点
，且
又
同理可知
又平面
又平面
过点作，点为垂足
又
平面为三棱锥的高
在中，
又
①
又在中，
由余弦定理得②
由①②得
（2）如图，过作，以为坐标原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，则
且，取的方向向量.
由（1）知
又面面面
又，同理可证面
又平面平面
所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，且记为
设平面的法向量，则取
所以直线与平面所成角的余弦值
注：其它解法参照以上评分细则.
18.解：（1）由题意知，所以的方程为
直线的倾斜角为，过点直线的方程为
设，联立，得
与互相垂直的倾斜角为由对称性可知
（2）方法一：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得①
联立得②
联立，得
是的中点③
由②③得，即④
同理联立得⑤
由①④⑤得⑥
联立，得
取中点，所以⑦
由⑥⑦得与重合，即是中点.
方法二：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为
由互相垂直可得
设的坐标分别为
联立，得，又
是的中点
理可得的中点
又直线恒过定点，
，同理
三点共线
所以的中点在上，又上的点在上
所以与重合，即是中点
方法三：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为
由互相垂直可得①
联立得，所以②
设的坐标分别为，代入得
两式相减得，变形为，即③
由②③得，即④
同理联立得，所以⑤
由①④⑤得，所以⑥
取中点，同理可证⑦
由⑥⑦得.
结合均在直线上，所以与重合，即是中点.
注：其它解法参照以上评分细则.
19.（1）函数不属于集合.
理由如下：
由题意得，
由得，结合的任意性，得，显然无解所以不存在实数，对任意的，有.
即函数不属于集合.
（2）若函数，求正数的取值集合；
由题意得：
又
由得
结合的任意性，得
所以，所以，又，即
所以正数的取值集合为.
（3）函数得，即，
由题意可得：存在非零常数，使得
即方程有解
令，即函数有零点
对函数求导得
（i）当时，在单调增，又，当时，
【右侧找点如下：取，则】所以有根记为，且①
所以在上单调减，上单调增
考虑到当时，，当时，
【找点如下：任意给定正实数
左侧找点如下：当时，；
右侧找点如下：当时，
（这里用到了）】
所以时，即可保证函数有零点，即②
由①平方-②平方得，由得③
将③代入①有，化简得
由得④
（ii）当时，则，用替换（i）中的，得
即⑤
由④⑤得，即
（iii）当时，，取，则
综上，进球个数平均数
失球个数平均数
进球个数标准差
失球个数标准差
甲班
2.3
1.5
0.5
1.1
乙班
1.4
2.1
1.2
0.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
B
B
D
C
题号
9
10
11
答案
CD
BCD
ABC
1
2
3
0.5
0.3
0.2