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贵州省贵阳市南明区2022—2023学年下学期九年级期中数学试卷（含答案）
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这是一份贵州省贵阳市南明区2022—2023学年下学期九年级期中数学试卷（含答案），共21页。
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）如图所示的圆柱，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝35°，则∠2的大小为（ ）
A．35°B．125°C．145°D．155°
4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
6．（3分）已知点A（2，m），B（5，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定
7．（3分）2023年3月30日上午，第十届中国网络视听大会在成都开幕．大会以“新征程，再出发”为主题，会上正式发布《2023中国网络视听发展研究报告》．根据《报告》，截止2022年12月，我国网络视听用户规模达10.4亿，超过即时通讯（10.38亿），成为第一大互联网应用．其中“10.4亿”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.04×108B．0.104×109
C．1.04×109D．0.104×1010
8．（3分）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理
D．直角三角形的两锐角互余
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝60°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是（ ）
A．4B．2C．2D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是 ．
14．（3分）如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝ ．
15．（3分）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝ 度；的值等于 ．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；
（2）．
17．（9分）如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，求证：BF平分∠GBE．为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：四边形ABCD是矩形，∴ ，∴∠ABF＝∠BFC．
∵AB＝AF，∴ ，∴∠BFG＝∠BFC．
∵ ，∴∠BGF＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴ ．
又∵ ，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴ ，∴BF平分∠GBE．
18．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？
19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
20．（10分）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．
21．（12分）如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若，
①若CD＝2，，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
22．（14分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．
（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；
（2）若OA＝3BC，求k的值．
2022-2023学年贵州省贵阳市南明区九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
2．（3分）如图所示的圆柱，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：竖直放置的圆柱体，从上面看圆，俯视图是圆．
故选：A．
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝35°，则∠2的大小为（ ）
A．35°B．125°C．145°D．155°
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠1＝35°，
∴∠3＝∠1＝35°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣35°＝145°．
故选：C．
4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：
12+b+2＝0，
解得：a＝﹣3，
故选：D．
6．（3分）已知点A（2，m），B（5，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵2＜5，
∴m＜n，故C正确．
故选：C．
7．（3分）2023年3月30日上午，第十届中国网络视听大会在成都开幕．大会以“新征程，再出发”为主题，会上正式发布《2023中国网络视听发展研究报告》．根据《报告》，截止2022年12月，我国网络视听用户规模达10.4亿，超过即时通讯（10.38亿），成为第一大互联网应用．其中“10.4亿”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.04×108B．0.104×109
C．1.04×109D．0.104×1010
【解答】解：10.4亿＝1040000000＝1.04×109，
故选：C．
8．（3分）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理
D．直角三角形的两锐角互余
【解答】解：若AB2+BC2＝AC2，
则△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故选：C．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据函数图可知，
直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
把x＝1代入y＝﹣x+3，可得y＝2，
故关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝60°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是（ ）
A．4B．2C．2D．
【解答】解：由题意可知，OM＝2，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，
把x＝2代入y＝﹣x得，y＝﹣，
∴点N的坐标为（2，﹣），
∴ON＝
＝．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，
∴∠OAC＝∠B0ABn，
又∵AB0＝AO•tan60°，ABn＝AN•tan60°，
∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan60°，
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan60°，
∴B0Bn＝ON•tan60°＝×＝3．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO•tan60°，ABi＝AP•tan60°，
∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，
∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为3．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝ ﹣ ．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
13．（3分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是 ．
【解答】解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝ 25﹣10 ．
【解答】解：过点D作DH⊥EF于点H，
∵∠CAB＝30°，AD＝2，
∴DH＝AD＝1，AH＝，
在Rt△DEH中，ED2＝EH2+DH2，
在Rt△DHF中，FD2＝HF2+DH2，
∴ED2+FD2＝EH2+1+HF2+1，
∵AE＝1，EF＝3，
∴EH＝﹣1，
∴HF＝EF﹣EH＝3﹣（﹣1）＝4﹣，
∴ED2+FD2＝+1
＝25﹣10．
故答案为：25﹣10．
15．（3分）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝ 72 度；的值等于 ．
【解答】解：由折叠性质知∠BCO＝∠DCO，
设∠BCO＝∠DCO＝α，则∠BCD＝∠A＝2α，
∵OB＝OC，，
∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α，
∴AD＝ED，
∴∠DEA＝∠A＝2α，
在△ADE中，α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠DAE＝2×36°＝72°；
设圆半径为r，
∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°，
∴△BCE∽△CEO，
即，
∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD，
∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB+OE＝r+OE，
∴由得：OE2+r⋅OE﹣r2＝0，
解得：OE＝r，负值舍去；
∵△DAE∽△BCE，
∴，
而，
即．
故答案为：72，．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；
（2）．
【解答】解：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2
＝x2﹣4xy﹣x2+4xy﹣4y2
＝﹣4y2；
（2）
＝÷
＝•
＝．
17．（9分）如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，求证：BF平分∠GBE．为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD ，∴∠ABF＝∠BFC．
∵AB＝AF，∴ ∠ABF＝∠AFB ，∴∠BFG＝∠BFC．
∵ BG⊥AF ，∴∠BGF＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴ ∠BGF＝∠BCF ．
又∵ BF＝BF ，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴ ∠FBG＝∠FBC ，∴BF平分∠GBE．
【解答】（1）解：作图见解析部分；
（2）证明：四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFC．
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴∠BFG＝∠BFC．
∵BG⊥AF，
∴∠BGF＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴∠BGF＝∠BCF．
又∵BF＝BF，
∴△GBF≌△CBF（AAS），
∴∠FBG＝∠FBC，
∴BF平分∠GBE．
故答案为：AB∥CD，∠ABF＝∠AFB，BG⊥AF，∠BGF＝∠BCF，BF＝BF，∠FBG＝∠FBC．
18．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？
【解答】解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
＝，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，
则x+40＝100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n＝800，
整理得：m＝8﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝5，②n＝10时，m＝2；
∴有两种方案：
①购买篮球5个，购买足球5个；
②购买篮球2个，购买足球10个．
19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE∥AC，
∴∠1＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE，
又∵OC＝OB，
∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，
∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠3＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△COF中，tan∠COF＝，
∴CF＝4．
20．（10分）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．
【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数，
∴顶点坐标为；
（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，
故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，
∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；
（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0），
∴函数图象的对称轴为直线，
当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∴，
解得，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴，
∴．
故．
21．（12分）如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若，
①若CD＝2，，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
【解答】解：（1）∵HE垂直平分FC，
∴CE＝FE
又∵正方形ABCD关于BD轴对称，
∴CE＝AE
∴EF＝AE；
（2）①∵CD＝2，，
∴BF＝，AF＝，FC＝，
如图，过点E作AB的垂线交AB于点M，
由（1）知EF＝AE，
∴EM垂直平分线段FA，
∴FM＝MA＝，BM＝ME＝，
在Rt△EFM中，FE＝，
∵点H是FC的中点，
∴FH＝EF＝，
在Rt△EFH中，HE＝；
②证明：设AB＝2a，
∵，
∴BF＝2ak，
∴FM＝MA＝a﹣ka，BM＝a+ka＝ME，
由（2）知∠FEM＝∠MEA＝∠EAD．
∵EA＝EC，AD＝CD，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠DCE＝∠DAE＝∠FEM，
∴．
22．（14分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．
（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；
（2）若OA＝3BC，求k的值．
【解答】解：（1）∵将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y＝x+4，
∵点B在直线y＝x+4上，
∴B（b，b+4），
∵点B在双曲线（k＞0，x＞0）上，
∴B（b，），
∴b+4＝，
∴k＝b2+4b；
（2）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），
∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF＝OD，
∵点B在直线y＝x+4上，
∴B（x，x+4），
∵点A、B在双曲线上，
∴3x•x＝x•（x+4），解得x＝1，
∴k＝3×1××1＝．
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）如图所示的圆柱，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝35°，则∠2的大小为（ ）
A．35°B．125°C．145°D．155°
4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
6．（3分）已知点A（2，m），B（5，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定
7．（3分）2023年3月30日上午，第十届中国网络视听大会在成都开幕．大会以“新征程，再出发”为主题，会上正式发布《2023中国网络视听发展研究报告》．根据《报告》，截止2022年12月，我国网络视听用户规模达10.4亿，超过即时通讯（10.38亿），成为第一大互联网应用．其中“10.4亿”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.04×108B．0.104×109
C．1.04×109D．0.104×1010
8．（3分）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理
D．直角三角形的两锐角互余
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝60°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是（ ）
A．4B．2C．2D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是 ．
14．（3分）如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝ ．
15．（3分）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝ 度；的值等于 ．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；
（2）．
17．（9分）如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，求证：BF平分∠GBE．为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：四边形ABCD是矩形，∴ ，∴∠ABF＝∠BFC．
∵AB＝AF，∴ ，∴∠BFG＝∠BFC．
∵ ，∴∠BGF＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴ ．
又∵ ，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴ ，∴BF平分∠GBE．
18．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？
19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
20．（10分）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．
21．（12分）如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若，
①若CD＝2，，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
22．（14分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．
（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；
（2）若OA＝3BC，求k的值．
2022-2023学年贵州省贵阳市南明区九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
2．（3分）如图所示的圆柱，它的俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：竖直放置的圆柱体，从上面看圆，俯视图是圆．
故选：A．
3．（3分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝35°，则∠2的大小为（ ）
A．35°B．125°C．145°D．155°
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠1＝35°，
∴∠3＝∠1＝35°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣35°＝145°．
故选：C．
4．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
5．（3分）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：
12+b+2＝0，
解得：a＝﹣3，
故选：D．
6．（3分）已知点A（2，m），B（5，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵2＜5，
∴m＜n，故C正确．
故选：C．
7．（3分）2023年3月30日上午，第十届中国网络视听大会在成都开幕．大会以“新征程，再出发”为主题，会上正式发布《2023中国网络视听发展研究报告》．根据《报告》，截止2022年12月，我国网络视听用户规模达10.4亿，超过即时通讯（10.38亿），成为第一大互联网应用．其中“10.4亿”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.04×108B．0.104×109
C．1.04×109D．0.104×1010
【解答】解：10.4亿＝1040000000＝1.04×109，
故选：C．
8．（3分）如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理
D．直角三角形的两锐角互余
【解答】解：若AB2+BC2＝AC2，
则△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故选：C．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据函数图可知，
直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
把x＝1代入y＝﹣x+3，可得y＝2，
故关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
10．（3分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝60°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是（ ）
A．4B．2C．2D．
【解答】解：由题意可知，OM＝2，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，
把x＝2代入y＝﹣x得，y＝﹣，
∴点N的坐标为（2，﹣），
∴ON＝
＝．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，
∴∠OAC＝∠B0ABn，
又∵AB0＝AO•tan60°，ABn＝AN•tan60°，
∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan60°，
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan60°，
∴B0Bn＝ON•tan60°＝×＝3．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，
∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO•tan60°，ABi＝AP•tan60°，
∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，
∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为3．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝ ﹣ ．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
13．（3分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是 ．
【解答】解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝ 25﹣10 ．
【解答】解：过点D作DH⊥EF于点H，
∵∠CAB＝30°，AD＝2，
∴DH＝AD＝1，AH＝，
在Rt△DEH中，ED2＝EH2+DH2，
在Rt△DHF中，FD2＝HF2+DH2，
∴ED2+FD2＝EH2+1+HF2+1，
∵AE＝1，EF＝3，
∴EH＝﹣1，
∴HF＝EF﹣EH＝3﹣（﹣1）＝4﹣，
∴ED2+FD2＝+1
＝25﹣10．
故答案为：25﹣10．
15．（3分）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠DAE＝ 72 度；的值等于 ．
【解答】解：由折叠性质知∠BCO＝∠DCO，
设∠BCO＝∠DCO＝α，则∠BCD＝∠A＝2α，
∵OB＝OC，，
∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α，
∴AD＝ED，
∴∠DEA＝∠A＝2α，
在△ADE中，α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠DAE＝2×36°＝72°；
设圆半径为r，
∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°，
∴△BCE∽△CEO，
即，
∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD，
∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB+OE＝r+OE，
∴由得：OE2+r⋅OE﹣r2＝0，
解得：OE＝r，负值舍去；
∵△DAE∽△BCE，
∴，
而，
即．
故答案为：72，．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；
（2）．
【解答】解：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2
＝x2﹣4xy﹣x2+4xy﹣4y2
＝﹣4y2；
（2）
＝÷
＝•
＝．
17．（9分）如图，已知矩形ABCD，AB＞AD，E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接BF，若AF＝AB，求证：BF平分∠GBE．为证明BF平分∠GBE，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD ，∴∠ABF＝∠BFC．
∵AB＝AF，∴ ∠ABF＝∠AFB ，∴∠BFG＝∠BFC．
∵ BG⊥AF ，∴∠BGF＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴ ∠BGF＝∠BCF ．
又∵ BF＝BF ，∴△GBF≌△CBF（AAS），∴ ∠FBG＝∠FBC ，∴BF平分∠GBE．
【解答】（1）解：作图见解析部分；
（2）证明：四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFC．
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴∠BFG＝∠BFC．
∵BG⊥AF，
∴∠BGF＝90°．
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴∠BGF＝∠BCF．
又∵BF＝BF，
∴△GBF≌△CBF（AAS），
∴∠FBG＝∠FBC，
∴BF平分∠GBE．
故答案为：AB∥CD，∠ABF＝∠AFB，BG⊥AF，∠BGF＝∠BCF，BF＝BF，∠FBG＝∠FBC．
18．（10分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用800元购买篮球和足球，恰好用完800元，问有哪几种购买方案？
【解答】解：设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
＝，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，
则x+40＝100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）设恰好用完800元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n＝800，
整理得：m＝8﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝5，②n＝10时，m＝2；
∴有两种方案：
①购买篮球5个，购买足球5个；
②购买篮球2个，购买足球10个．
19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE∥AC，
∴∠1＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE，
又∵OC＝OB，
∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，
∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠3＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△COF中，tan∠COF＝，
∴CF＝4．
20．（10分）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．
【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数，
∴顶点坐标为；
（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，
故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，
∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；
（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0），
∴函数图象的对称轴为直线，
当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∴，
解得，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴，
∴．
故．
21．（12分）如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG∥BC，交CD于G，连接FC，H是FC的中点，过H作EH⊥FC交BD于点E．
（1）连接EF，EA，求证：EF＝AE．
（2）若，
①若CD＝2，，求HE的长；
②连接CE，求tan∠DCE的值．（用含k的代数式表示）
【解答】解：（1）∵HE垂直平分FC，
∴CE＝FE
又∵正方形ABCD关于BD轴对称，
∴CE＝AE
∴EF＝AE；
（2）①∵CD＝2，，
∴BF＝，AF＝，FC＝，
如图，过点E作AB的垂线交AB于点M，
由（1）知EF＝AE，
∴EM垂直平分线段FA，
∴FM＝MA＝，BM＝ME＝，
在Rt△EFM中，FE＝，
∵点H是FC的中点，
∴FH＝EF＝，
在Rt△EFH中，HE＝；
②证明：设AB＝2a，
∵，
∴BF＝2ak，
∴FM＝MA＝a﹣ka，BM＝a+ka＝ME，
由（2）知∠FEM＝∠MEA＝∠EAD．
∵EA＝EC，AD＝CD，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠DCE＝∠DAE＝∠FEM，
∴．
22．（14分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．
（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；
（2）若OA＝3BC，求k的值．
【解答】解：（1）∵将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y＝x+4，
∵点B在直线y＝x+4上，
∴B（b，b+4），
∵点B在双曲线（k＞0，x＞0）上，
∴B（b，），
∴b+4＝，
∴k＝b2+4b；
（2）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），
∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF＝OD，
∵点B在直线y＝x+4上，
∴B（x，x+4），
∵点A、B在双曲线上，
∴3x•x＝x•（x+4），解得x＝1，
∴k＝3×1××1＝．
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