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第05讲 一次方程（组）及其应用（课件）-2024年中考数学一轮复习课件（全国通用）
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这是一份第05讲 一次方程（组）及其应用（课件）-2024年中考数学一轮复习课件（全国通用），共60页。PPT课件主要包含了考情分析，知识建构，考点精讲等内容，欢迎下载使用。
1、学会运用函数与方程思想。从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型。2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第05讲 一次方程（组）及其应用
2024年中考数学一轮复习课件
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
题型01 利用等式的性质判断变形正误
利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2.
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
题型02 利用等式的性质求解
一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）
解一元一次方程的基本步骤：
1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．
题型01 判断一元一次方程
题型02 解一元一次方程
解：4 x﹣1＝2x+5，移项得：4 x﹣2x＝5+1合并同类项得：2 x=6，∴系数化1得：x =3．
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1 巧化分母为1
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧2 巧化同分母
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧3 巧约分去分母
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1 巧用拆分法
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧2 巧用对消法
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧3 巧通分
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧1 利用倒数关系去括号
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧2 整体合并去括号
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧3 整体合并去分母
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧4 由外向内去括号
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧5 由内向外去括号
题型04 错看或错解一元一次方程问题
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
题型01 二元一次方程（组）的概念
【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组 【对点训练1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：
题型02 解二元一次方程组
解二元一次方程组的方法选择：1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
题型03 二元一次方程组特殊解法类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.
题型03 二元一次方程组特殊解法类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
题型03 二元一次方程组特殊解法类型四 换元法
题型03 二元一次方程组特殊解法类型五 同解交换法解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b 的二元一次方程组,进而确定a、b的值.
题型03 二元一次方程组特殊解法类型六 主元法解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
解“看错系数”问题的方法看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.
题型05 构造二元一次方程组求解
题型06 解三元一次方程组
用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型一 配套问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型二 工程问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型三 增长率问题
【例4】（2023宁波市一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）A．120元B．100元C．80元D．60元【对点训练1】（2023巴东县模拟）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型四 销售利润问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型五 比赛积分问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型六 方案选择问题
【例7】（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（ ）A．1B．2C．3D．0【对点训练1】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是x，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是（）A．2x+3=12 B．10x+2+3=12C．(10xx)-10(x+1)-(x+2)=12 D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型七 数字问题
【例8】（2023增城区一模）在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )A．4B．33C．51D．27【对点训练1】将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这五个数的和可能等于（ ）A．123B．115C．240D．400
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型八 日历问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型九 几何问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型十 和差倍分问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型十一 行程问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型一 配套问题
【例13】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）A．5B．6C．7D．8【对点训练1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）A．2种B．3种C．4种D．5种
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型二 方案选择问题
【例14】（2021淮滨县一模）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁【对点训练1】（2021·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型三 年龄问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型四 几何问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型五 行程问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型六 古代问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型七 图表问题
【例18】（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型八 工程问题
【例19】（2022定安县一模）为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各清理了几天？
1、学会运用函数与方程思想。从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型。2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第05讲 一次方程（组）及其应用
2024年中考数学一轮复习课件
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
题型01 利用等式的性质判断变形正误
利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2.
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
题型02 利用等式的性质求解
一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）
解一元一次方程的基本步骤：
1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用．4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数．
题型01 判断一元一次方程
题型02 解一元一次方程
解：4 x﹣1＝2x+5，移项得：4 x﹣2x＝5+1合并同类项得：2 x=6，∴系数化1得：x =3．
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1 巧化分母为1
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧2 巧化同分母
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧3 巧约分去分母
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1 巧用拆分法
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧2 巧用对消法
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧3 巧通分
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧1 利用倒数关系去括号
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧2 整体合并去括号
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧3 整体合并去分母
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧4 由外向内去括号
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型三】含括号的一元一次方程技巧5 由内向外去括号
题型04 错看或错解一元一次方程问题
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
题型01 二元一次方程（组）的概念
【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组 【对点训练1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：
题型02 解二元一次方程组
解二元一次方程组的方法选择：1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
题型03 二元一次方程组特殊解法类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.
题型03 二元一次方程组特殊解法类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
题型03 二元一次方程组特殊解法类型四 换元法
题型03 二元一次方程组特殊解法类型五 同解交换法解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b 的二元一次方程组,进而确定a、b的值.
题型03 二元一次方程组特殊解法类型六 主元法解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数.
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
解“看错系数”问题的方法看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.
题型05 构造二元一次方程组求解
题型06 解三元一次方程组
用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型一 配套问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型二 工程问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型三 增长率问题
【例4】（2023宁波市一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）A．120元B．100元C．80元D．60元【对点训练1】（2023巴东县模拟）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型四 销售利润问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型五 比赛积分问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型六 方案选择问题
【例7】（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（ ）A．1B．2C．3D．0【对点训练1】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是x，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是（）A．2x+3=12 B．10x+2+3=12C．(10xx)-10(x+1)-(x+2)=12 D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型七 数字问题
【例8】（2023增城区一模）在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )A．4B．33C．51D．27【对点训练1】将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这五个数的和可能等于（ ）A．123B．115C．240D．400
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型八 日历问题
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题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型十 和差倍分问题
题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型十一 行程问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型一 配套问题
【例13】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）A．5B．6C．7D．8【对点训练1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）A．2种B．3种C．4种D．5种
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型二 方案选择问题
【例14】（2021淮滨县一模）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁【对点训练1】（2021·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型三 年龄问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型四 几何问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型五 行程问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型六 古代问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型七 图表问题
【例18】（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型八 工程问题
【例19】（2022定安县一模）为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各清理了几天？
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