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第22讲 多边形与平行四边形（28题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第22讲 多边形与平行四边形（28题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第22讲多边形与平行四边形练习原卷版docx、第22讲多边形与平行四边形练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共172页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第22讲 多边形与平行四边形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156829769" 题型01 多边形的概念及分类
\l "_Tc156829770" 题型02 计算网格中不规则多边形面积
\l "_Tc156829771" 题型03 计算多边形对角线条数
\l "_Tc156829772" 题型04 多边形内角和问题
\l "_Tc156829773" 题型05 已知多边形内角和求边数
\l "_Tc156829774" 题型06 多边形的割角问题
\l "_Tc156829775" 题型07 多边形的外角问题
\l "_Tc156829776" 题型08 多边形外角和的实际应用
\l "_Tc156829777" 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
\l "_Tc156829778" 题型10 多边形内角和与外角和的综合应用
\l "_Tc156829779" 题型11 平面镶嵌
\l "_Tc156829780" 题型12 利用平行四边形的性质求解
\l "_Tc156829781" 题型13 利用平行四边形的性质证明
\l "_Tc156829782" 题型14 判断已知条件能否构成平行四边形
\l "_Tc156829783" 题型15 数平行四边形个数
\l "_Tc156829784" 题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
\l "_Tc156829785" 题型17 证明四边形是平行四边形
\l "_Tc156829786" 题型18 与平行四边形有关的新定义问题
\l "_Tc156829787" 题型19 利用平行四边形的性质与判定求解
\l "_Tc156829788" 题型20 利用平行四边形的性质与判定证明
\l "_Tc156829789" 题型21 平行四边形性质与判定的应用
\l "_Tc156829790" 题型22 三角形中位线有关的计算
\l "_Tc156829791" 题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题
\l "_Tc156829792" 题型24 与三角形中位线有关的规律探究
\l "_Tc156829793" 题型25 与三角形中位线有关的格点作图
\l "_Tc156829794" 题型26 连接两点构造三角形中位线
\l "_Tc156829795" 题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
\l "_Tc156829796" 题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
题型01 多边形的概念及分类
1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
2．（2020·全国·模拟预测）下列图形中，正多边形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 计算网格中不规则多边形面积
3．（2021·北京平谷·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则ΔABO的面积与ΔCDO的面积的大小关系为：S△ABO S△CDO(填“>”，“=”或“<”) .
4．（2021·湖北武汉·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N=14，L=7，则S=（ ）
A．16.5B．17C．17.5D．18
5．（2021·北京顺义·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为 ．
6．（2020·山西运城·统考模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）如图2，是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是 ；
（2）已知：一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a+b＝ ；
（3）请你在图3中设计一个格点多边形（要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形但不是中心对称图形）
题型03 计算多边形对角线条数
7．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A．nn−2=20B．nn−2=40C．nn−3=20D．nn−3=40
8．（2022·陕西·校联考模拟预测）若一个多边形从一个顶点出发可以引7条对角线，则这个多边形共有 条对角线．
9．（2021·山东青岛·统考二模）【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n−2个三角形，共有多少种不同的分割方案n≥4？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有fn种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，f4=2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f4种不同的分割方案，所以，此类共有f4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为12f4种分割方案．
第3类：如图⑤，用点A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，f5=f4+12f4+f4=52×f4=104×f4=5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有f5种不同的分割方案，所以，此类共有f5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f4种不同的分割方案．所以，此类共有f4种分割方案．
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f4种不同的分割方案．所以，此类共有f4种分割方案．
第4类：如图，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有f5种不同的分割方案．所以，此类共有f5种分割方案．
所以，f6=f5+f4+f4+f5
=f5+25f5+25f5+f5=145×f5=14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则f7与f6的关系为f7= 6×f6，共有______种不同的分割方案．
……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成n−2个三角形，共有多少种不同的分割方案n≥4？（直接写出fn与fn−1之间的关系式，不写解答过程）
【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
题型04 多边形内角和问题
10．（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为2×180°=360°，五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为3×180°=540°（如图），依此类推，则八边形的内角和为（ ）
A．900°B．1080°C．1260°D．1440°
11．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ）
A．65°B．45°C．30°D．20°
12．（2023·河北沧州·统考模拟预测）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为 度．
13．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．
(1)求∠A+∠C的度数．
(2)判断四边形ABCD是否是“勾股四边形”，并说明理由．
题型05 已知多边形内角和求边数
14．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）一个多边形的内角和等于1260°，则它是（ ）
A．五边形B．七边形C．九边形D．十边形
15．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．
题型06 多边形的割角问题
16．（2022·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．12B．10C．11D．10或11
17．（2021·上海徐汇·统考二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
18．（2019·山东德州·统考一模）如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（ ）
A．比原多边形少180°B．与原多边形一样
C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°
题型07 多边形的外角问题
19．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ）
A．900°B．700°C．360°D．180°
20．（2022·云南昆明·统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，如图所示，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此走法，当她第一次走到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（ ）
A．30°B．32°C．35°D．36°
21．（2021·广东深圳·校联考模拟预测）已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 边形．
题型08 多边形外角和的实际应用
22．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
23．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
24．（2022·河北保定·统考二模）一机器人以3m/s的速度在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 m，共需时间 s．
题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
25．（2020·河北·校联考二模）如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG=50°，则∠FAE的度数是（ ）
A．22°B．32°C．50°D．130°
26．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2−∠1的值为（ ）
A．60°B．80°C．108°D．120°
27．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
题型10 多边形内角和与外角和的综合应用
28．（2021·河北邢台·校考二模）如图，正五边形ABCD，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则∠BDG=（ ）
A．144°B．120°C．114°D．108°
29．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，六边形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠DEF和∠EFA的平分线交于点P，则∠P的度数是（ ）
A．55°B．56°C．57°D．60°
30．（2021·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，五边形ABCDE中，∠B=80°，∠C=110°，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．190°C．210°D．180°
31．（2022·福建·模拟预测）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
32．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；
A．只有①对B．①和③对C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
33．（2023·湖北孝感·统考一模）如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO= 度．
题型11 平面镶嵌
34．（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则1x+1y+1z的值为 ．
35．（2023·河北沧州·统考二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；
（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ．
36．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A，B两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为 °．
37．（2022·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ．
题型12 利用平行四边形的性质求解
38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在▱ABCD中，一定正确的是（ ）
A．AD=CDB．AC=BDC．AB=CDD．CD=BC
39．（2022·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3,AD=4，则EF的长是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
40．（2020·河北·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BDD．ΔABO的面积是ΔEFO的面积的2倍
41．（2021·四川乐山·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则BEEG的值为（ ）
A．35B．25C．23D．13
42．（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
题型13 利用平行四边形的性质证明
43．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD=DF，连接DE．
(1)求证：AE平分∠BAD；
(2)若点E为BC中点，∠B=60°，AD=4，求▱ABCD的面积．
44．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5．求CF的长．
45．（2021·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
46．（2022·重庆·重庆实验外国语学校校考三模）已知四边形ABCD为平行四边形．
(1)尺规作图：作线段CD的垂直平分线，垂足为点E，交AD于点F，交BA的延长线于点G，连接CF．在线段AB上取一点H，使FH＝FC，连接HF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，若∠GFH＝∠D，求证：GF＝CE．
证明：∵EF垂直平分CD
∴∠FEC＝90°，______①
∴∠FCD＝∠D
∵∠GFH＝∠D
∴______②
∵四边形ABCD为平行四边形
∴______③
∴∠HGF＋∠FEC＝180°
∴∠HGF＝∠FEC＝90°
在△FGH和△CEF中
∠HGF=∠FEC∠GFH=∠FCD______④
∴△FGH≌△CEFAAS
∴GF=CE．
题型14 判断已知条件能否构成平行四边形
47．（2019·安徽合肥·统考一模）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DFB．AE=CFC．AF//CED．∠BAE=∠DCF
48．（2022·上海·统考模拟预测）下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直B．两条对角线相等
C．一组对边平行，另一组对边相等D．一组对边平行，另一组对角相等
题型15 数平行四边形个数
49．（2017·河南·模拟预测）数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
50．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
(1)从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 ．
(2)从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．
题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
51．（2017·河北邢台·统考一模）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，l )B．（－2，－l )C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )
52．（2022·山东泰安·统考一模）如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 ．
53．（2019·浙江嘉兴·一模）如图是6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上．请按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图中作出一个以点A，B，C，D为顶点的平行四边形．
（2）在图中作出△ABC中AB边上的中线．
题型17 证明四边形是平行四边形
54．（2023·新疆·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．
55．（2022·湖北荆门·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
56．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE=DE，FE=CE．
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
57．（2021·河北承德·统考一模）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
题型18 与平行四边形有关的新定义问题
58．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线y=x上存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A5,2，B1,4．
(1)在P1−3,3，P2−2,4，P3−1,5，P41,6中，线段AB的“关联点”是___________；
(2)若点P在第二象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP长度d的取值范围；
(3)已知正方形CDEF边长为1．以Tt,3为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上（M在N的下方）．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，直接写出t的取值范围．
题型19 利用平行四边形的性质与判定求解
59．（2023·重庆江北·校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，AB=5，EF=4，则CF的长是（ ）
A．43B．3C．2D．5
60．（2023·湖南怀化·统考三模）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD周长不变B．AD=CD
C．四边形ABCD面积不变D．AD=BC
61．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
62．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝22，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 ，点C'的坐标为 ．
题型20 利用平行四边形的性质与判定证明
63．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
64．（2023·广东茂名·校联考二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC,AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．
(2)当AD=5，tan∠EDC=52时，求FG的长．
65．（2021·山东枣庄·统考一模）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
66．（2022·山东潍坊·统考一模）如图，在直角坐标系中，B(0,4)，D(5,0)，一次函数y=411x+1211的图象过C(8,n)，与x轴交于A点．
(1)求点A和点C坐标；
(2)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，直接写出点A1的坐标；若不能，请说明理由．
67．（2022·浙江舟山·校联考三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=S△HGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
A．a+c=2bB．b2+c2=a2C．b+c=aD．a=2bc
题型21 平行四边形性质与判定的应用
68．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是 形；如果直尺的宽度是322cm，两把直尺所夹的锐角为45°，那么这个四边形的周长为 cm．
69．（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 ．
70．（2023·四川成都·统考模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片ABCD折四边形，AB=9cm，点E，G分别是AD，BC边上的中点，点F，H分别是AB，CD边上的点，且BF=DH=3cm，连接FG，GH，HE，EF，EG．将△BFG，△DEH分别沿FG，EH翻折，点B的对应点为点B'，点D的对应点为点D'，当点B'落在线段EF上时，则BC= cm；当点B'在△EFG内部时，连接B'D'，若△EB'D'为直角三角形，则四边形EB'GD'的面积为 cm2．
71．（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，∠ADB=90°,AB=10cm,AD=8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为ts0(1)当t为何值时，PQ∥AB？
(2)连接EQ，设四边形APQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式．
(3)若点F关于AB的对称点为F'，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F'三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型22 三角形中位线有关的计算
72．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED度数是（ ）
A．70°B．60°C．30°D．20°
73．（2023·云南·一模）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9B．12C．14D．16
74．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC=16，BC=12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
75．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点F，若BF=6，则BE的长是 ．
题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题
76．（2021·广东广州·统考一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12．则四边形DBCE的面积为 ．
77．（2022·湖北随州·统考二模）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
78．（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE=1，则S△ABC= ．
题型24 与三角形中位线有关的规律探究
79．（2021·云南昭通·统考一模）如图，ΔABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，照此规律作下去，则C2021等于 ．
80．（2019·辽宁·校联考一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED//AB，EF//AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1；作E1D1//FB，E1F1//EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，S2012= ．
题型25 与三角形中位线有关的格点作图
81．（2023·云南昆明·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图所示，△ABC是格点三角形，AC，BC与网格线分别交于D，E两点．若小正方形的边长为1，则DE的长为 ．
82．（2022·江西九江·统考二模）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)请在网格①中，作△ABC的中位线PQ，交AB于点P，交BC于点Q．
(2)请在网格②中，作矩形ACMN，使S矩形ACMN=S△ABC
题型26 连接两点构造三角形中位线
83．（2022·河南·校联考一模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
84．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，一次函数y=2x与反比例数y=kx(k>0)的图像交于A，B两点，点M在以C(2,0)为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为32，则k的值是 ．
85．（2022·天津和平·统考二模）如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 ．
86．（2023·广东佛山·校考一模）如图梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，并连接EF，线段EF与线段AD、BC间的数量关系（ ）
A． EF=AD+BCB． EF=12(AD+BC)
C． EF=13(AD+BC)D． EF=14(AD+BC)
87．（2020·海南·统考二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
88．（2021·河南南阳·校联考二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．3.5
89．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是
题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
90．（2023·山东泰安·校考一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB=7，DE=1，则AC的长度是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
91．（2023·湖南·模拟预测）如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
(1)求证：2DM+AB=AC；
(2)若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．
92．（2022·福建·二模）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD,AC＝7,AB＝3，则DE的值为（ ）
A．1B．32
C．2D．52
一、单选题
1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ ）．
A．44°B．34°C．24°D．14°
2．（2023·北京·统考中考真题）十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
3．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．163B．83+4C．43+8D．83+8
5．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AC,BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC,BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C=45°，则DG的长为（ ）
A．2B．3C．32D．2
7．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BCB．AB∥DCC．AB=DCD．∠A=∠C
8．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=（ ）
A．54B．52C．2D．1
9．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积ym2与点P的运动时间ts之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．12m2B．123m2C．24m2D．243m2
10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( )
A．16，6B．18，18C．16.12D．12，16
11．（2023·河北·统考中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2023·云南·统考中考真题）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
14．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．连接AB，则AB∥PQB．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQD．连接AD，则AD⊥PQ
二、填空题
15．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和等于 度．
16．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB= °．
17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：
①CF平分∠ACD； ②AF=2DF； ③四边形ABCF是菱形； ④AB2=AD⋅EF
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．
19．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD．若CD=4，DE=1，则S△DFGS△BGC= ．
20．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5，…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数y=14x（x≥0）的图象上，且B2C1=2A2C1，B3C2=2A3C2，B4C3=2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到ΔO1A2B2，ΔO2A3B3，ΔO3A4B4，…．若B12,0，B23,0，A13,1，则ΔO2023A2024B2024的面积为 ．
21．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
22．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
23．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点．若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
24．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是0，0、3，0、1，2．则顶点B的坐标是 ．
三、解答题
25．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．求证：
(1)∠1=∠2；
(2)△ABE≌△CDF．
26．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH=ME．
27．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①，求证：AE+EC=BF；
(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．
28．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S矩形ABCD=20时，则BE⋅CF=______．
（2）如图，在菱形ABCD中，csA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD=24时，求EF⋅BC的值．
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．
(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC=AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第22讲 多边形与平行四边形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156829769" 题型01 多边形的概念及分类
\l "_Tc156829770" 题型02 计算网格中不规则多边形面积
\l "_Tc156829771" 题型03 计算多边形对角线条数
\l "_Tc156829772" 题型04 多边形内角和问题
\l "_Tc156829773" 题型05 已知多边形内角和求边数
\l "_Tc156829774" 题型06 多边形的割角问题
\l "_Tc156829775" 题型07 多边形的外角问题
\l "_Tc156829776" 题型08 多边形外角和的实际应用
\l "_Tc156829777" 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
\l "_Tc156829778" 题型10 多边形内角和与外角和的综合应用
\l "_Tc156829779" 题型11 平面镶嵌
\l "_Tc156829780" 题型12 利用平行四边形的性质求解
\l "_Tc156829781" 题型13 利用平行四边形的性质证明
\l "_Tc156829782" 题型14 判断已知条件能否构成平行四边形
\l "_Tc156829783" 题型15 数平行四边形个数
\l "_Tc156829784" 题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
\l "_Tc156829785" 题型17 证明四边形是平行四边形
\l "_Tc156829786" 题型18 与平行四边形有关的新定义问题
\l "_Tc156829787" 题型19 利用平行四边形的性质与判定求解
\l "_Tc156829788" 题型20 利用平行四边形的性质与判定证明
\l "_Tc156829789" 题型21 平行四边形性质与判定的应用
\l "_Tc156829790" 题型22 三角形中位线有关的计算
\l "_Tc156829791" 题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题
\l "_Tc156829792" 题型24 与三角形中位线有关的规律探究
\l "_Tc156829793" 题型25 与三角形中位线有关的格点作图
\l "_Tc156829794" 题型26 连接两点构造三角形中位线
\l "_Tc156829795" 题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
\l "_Tc156829796" 题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
题型01 多边形的概念及分类
1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
2．（2020·全国·模拟预测）下列图形中，正多边形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 计算网格中不规则多边形面积
3．（2021·北京平谷·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则ΔABO的面积与ΔCDO的面积的大小关系为：S△ABO S△CDO(填“>”，“=”或“<”) .
4．（2021·湖北武汉·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N=14，L=7，则S=（ ）
A．16.5B．17C．17.5D．18
5．（2021·北京顺义·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为 ．
6．（2020·山西运城·统考模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）如图2，是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是 ；
（2）已知：一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a+b＝ ；
（3）请你在图3中设计一个格点多边形（要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形但不是中心对称图形）
题型03 计算多边形对角线条数
7．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A．nn−2=20B．nn−2=40C．nn−3=20D．nn−3=40
8．（2022·陕西·校联考模拟预测）若一个多边形从一个顶点出发可以引7条对角线，则这个多边形共有 条对角线．
9．（2021·山东青岛·统考二模）【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n−2个三角形，共有多少种不同的分割方案n≥4？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有fn种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，f4=2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f4种不同的分割方案，所以，此类共有f4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为12f4种分割方案．
第3类：如图⑤，用点A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，f5=f4+12f4+f4=52×f4=104×f4=5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有f5种不同的分割方案，所以，此类共有f5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f4种不同的分割方案．所以，此类共有f4种分割方案．
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f4种不同的分割方案．所以，此类共有f4种分割方案．
第4类：如图，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有f5种不同的分割方案．所以，此类共有f5种分割方案．
所以，f6=f5+f4+f4+f5
=f5+25f5+25f5+f5=145×f5=14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则f7与f6的关系为f7= 6×f6，共有______种不同的分割方案．
……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成n−2个三角形，共有多少种不同的分割方案n≥4？（直接写出fn与fn−1之间的关系式，不写解答过程）
【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
题型04 多边形内角和问题
10．（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为2×180°=360°，五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为3×180°=540°（如图），依此类推，则八边形的内角和为（ ）
A．900°B．1080°C．1260°D．1440°
11．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ）
A．65°B．45°C．30°D．20°
12．（2023·河北沧州·统考模拟预测）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为 度．
13．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．
(1)求∠A+∠C的度数．
(2)判断四边形ABCD是否是“勾股四边形”，并说明理由．
题型05 已知多边形内角和求边数
14．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）一个多边形的内角和等于1260°，则它是（ ）
A．五边形B．七边形C．九边形D．十边形
15．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．
题型06 多边形的割角问题
16．（2022·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．12B．10C．11D．10或11
17．（2021·上海徐汇·统考二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
18．（2019·山东德州·统考一模）如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（ ）
A．比原多边形少180°B．与原多边形一样
C．比原多边形多360°D．比原多边形多180°
题型07 多边形的外角问题
19．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ）
A．900°B．700°C．360°D．180°
20．（2022·云南昆明·统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，如图所示，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此走法，当她第一次走到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（ ）
A．30°B．32°C．35°D．36°
21．（2021·广东深圳·校联考模拟预测）已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 边形．
题型08 多边形外角和的实际应用
22．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
23．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
24．（2022·河北保定·统考二模）一机器人以3m/s的速度在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为 m，共需时间 s．
题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
25．（2020·河北·校联考二模）如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG=50°，则∠FAE的度数是（ ）
A．22°B．32°C．50°D．130°
26．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2−∠1的值为（ ）
A．60°B．80°C．108°D．120°
27．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
题型10 多边形内角和与外角和的综合应用
28．（2021·河北邢台·校考二模）如图，正五边形ABCD，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则∠BDG=（ ）
A．144°B．120°C．114°D．108°
29．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，六边形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠DEF和∠EFA的平分线交于点P，则∠P的度数是（ ）
A．55°B．56°C．57°D．60°
30．（2021·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，五边形ABCDE中，∠B=80°，∠C=110°，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．190°C．210°D．180°
31．（2022·福建·模拟预测）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
32．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；
A．只有①对B．①和③对C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
33．（2023·湖北孝感·统考一模）如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO= 度．
题型11 平面镶嵌
34．（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则1x+1y+1z的值为 ．
35．（2023·河北沧州·统考二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；
（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ．
36．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A，B两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为 °．
37．（2022·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ．
题型12 利用平行四边形的性质求解
38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在▱ABCD中，一定正确的是（ ）
A．AD=CDB．AC=BDC．AB=CDD．CD=BC
39．（2022·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3,AD=4，则EF的长是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
40．（2020·河北·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BDD．ΔABO的面积是ΔEFO的面积的2倍
41．（2021·四川乐山·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则BEEG的值为（ ）
A．35B．25C．23D．13
42．（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
题型13 利用平行四边形的性质证明
43．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD=DF，连接DE．
(1)求证：AE平分∠BAD；
(2)若点E为BC中点，∠B=60°，AD=4，求▱ABCD的面积．
44．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5．求CF的长．
45．（2021·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
46．（2022·重庆·重庆实验外国语学校校考三模）已知四边形ABCD为平行四边形．
(1)尺规作图：作线段CD的垂直平分线，垂足为点E，交AD于点F，交BA的延长线于点G，连接CF．在线段AB上取一点H，使FH＝FC，连接HF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，若∠GFH＝∠D，求证：GF＝CE．
证明：∵EF垂直平分CD
∴∠FEC＝90°，______①
∴∠FCD＝∠D
∵∠GFH＝∠D
∴______②
∵四边形ABCD为平行四边形
∴______③
∴∠HGF＋∠FEC＝180°
∴∠HGF＝∠FEC＝90°
在△FGH和△CEF中
∠HGF=∠FEC∠GFH=∠FCD______④
∴△FGH≌△CEFAAS
∴GF=CE．
题型14 判断已知条件能否构成平行四边形
47．（2019·安徽合肥·统考一模）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DFB．AE=CFC．AF//CED．∠BAE=∠DCF
48．（2022·上海·统考模拟预测）下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直B．两条对角线相等
C．一组对边平行，另一组对边相等D．一组对边平行，另一组对角相等
题型15 数平行四边形个数
49．（2017·河南·模拟预测）数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
50．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
(1)从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 ．
(2)从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．
题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
51．（2017·河北邢台·统考一模）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，l )B．（－2，－l )C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )
52．（2022·山东泰安·统考一模）如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 ．
53．（2019·浙江嘉兴·一模）如图是6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上．请按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图中作出一个以点A，B，C，D为顶点的平行四边形．
（2）在图中作出△ABC中AB边上的中线．
题型17 证明四边形是平行四边形
54．（2023·新疆·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．
55．（2022·湖北荆门·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
56．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE=DE，FE=CE．
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
57．（2021·河北承德·统考一模）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
题型18 与平行四边形有关的新定义问题
58．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线y=x上存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A5,2，B1,4．
(1)在P1−3,3，P2−2,4，P3−1,5，P41,6中，线段AB的“关联点”是___________；
(2)若点P在第二象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP长度d的取值范围；
(3)已知正方形CDEF边长为1．以Tt,3为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上（M在N的下方）．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，直接写出t的取值范围．
题型19 利用平行四边形的性质与判定求解
59．（2023·重庆江北·校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，AB=5，EF=4，则CF的长是（ ）
A．43B．3C．2D．5
60．（2023·湖南怀化·统考三模）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD周长不变B．AD=CD
C．四边形ABCD面积不变D．AD=BC
61．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
62．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝22，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 ，点C'的坐标为 ．
题型20 利用平行四边形的性质与判定证明
63．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
64．（2023·广东茂名·校联考二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC,AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．
(2)当AD=5，tan∠EDC=52时，求FG的长．
65．（2021·山东枣庄·统考一模）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
66．（2022·山东潍坊·统考一模）如图，在直角坐标系中，B(0,4)，D(5,0)，一次函数y=411x+1211的图象过C(8,n)，与x轴交于A点．
(1)求点A和点C坐标；
(2)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，直接写出点A1的坐标；若不能，请说明理由．
67．（2022·浙江舟山·校联考三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S四边形ADHF=S△HGE，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
A．a+c=2bB．b2+c2=a2C．b+c=aD．a=2bc
题型21 平行四边形性质与判定的应用
68．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是 形；如果直尺的宽度是322cm，两把直尺所夹的锐角为45°，那么这个四边形的周长为 cm．
69．（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为 ．
70．（2023·四川成都·统考模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片ABCD折四边形，AB=9cm，点E，G分别是AD，BC边上的中点，点F，H分别是AB，CD边上的点，且BF=DH=3cm，连接FG，GH，HE，EF，EG．将△BFG，△DEH分别沿FG，EH翻折，点B的对应点为点B'，点D的对应点为点D'，当点B'落在线段EF上时，则BC= cm；当点B'在△EFG内部时，连接B'D'，若△EB'D'为直角三角形，则四边形EB'GD'的面积为 cm2．
71．（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，∠ADB=90°,AB=10cm,AD=8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为ts0
(2)连接EQ，设四边形APQE的面积为y(cm2)，求y与t的函数关系式．
(3)若点F关于AB的对称点为F'，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F'三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
题型22 三角形中位线有关的计算
72．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则∠CED度数是（ ）
A．70°B．60°C．30°D．20°
73．（2023·云南·一模）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9B．12C．14D．16
74．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC=16，BC=12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
75．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点F，若BF=6，则BE的长是 ．
题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题
76．（2021·广东广州·统考一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12．则四边形DBCE的面积为 ．
77．（2022·湖北随州·统考二模）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
78．（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE=1，则S△ABC= ．
题型24 与三角形中位线有关的规律探究
79．（2021·云南昭通·统考一模）如图，ΔABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，照此规律作下去，则C2021等于 ．
80．（2019·辽宁·校联考一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED//AB，EF//AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1；作E1D1//FB，E1F1//EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，S2012= ．
题型25 与三角形中位线有关的格点作图
81．（2023·云南昆明·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图所示，△ABC是格点三角形，AC，BC与网格线分别交于D，E两点．若小正方形的边长为1，则DE的长为 ．
82．（2022·江西九江·统考二模）如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)请在网格①中，作△ABC的中位线PQ，交AB于点P，交BC于点Q．
(2)请在网格②中，作矩形ACMN，使S矩形ACMN=S△ABC
题型26 连接两点构造三角形中位线
83．（2022·河南·校联考一模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
84．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，一次函数y=2x与反比例数y=kx(k>0)的图像交于A，B两点，点M在以C(2,0)为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为32，则k的值是 ．
85．（2022·天津和平·统考二模）如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 ．
86．（2023·广东佛山·校考一模）如图梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，并连接EF，线段EF与线段AD、BC间的数量关系（ ）
A． EF=AD+BCB． EF=12(AD+BC)
C． EF=13(AD+BC)D． EF=14(AD+BC)
87．（2020·海南·统考二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
88．（2021·河南南阳·校联考二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．3.5
89．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是
题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
90．（2023·山东泰安·校考一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB=7，DE=1，则AC的长度是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
91．（2023·湖南·模拟预测）如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
(1)求证：2DM+AB=AC；
(2)若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．
92．（2022·福建·二模）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD,AC＝7,AB＝3，则DE的值为（ ）
A．1B．32
C．2D．52
一、单选题
1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ ）．
A．44°B．34°C．24°D．14°
2．（2023·北京·统考中考真题）十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
3．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．163B．83+4C．43+8D．83+8
5．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AC,BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC,BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C=45°，则DG的长为（ ）
A．2B．3C．32D．2
7．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BCB．AB∥DCC．AB=DCD．∠A=∠C
8．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=（ ）
A．54B．52C．2D．1
9．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积ym2与点P的运动时间ts之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．12m2B．123m2C．24m2D．243m2
10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( )
A．16，6B．18，18C．16.12D．12，16
11．（2023·河北·统考中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2023·云南·统考中考真题）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
14．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．连接AB，则AB∥PQB．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQD．连接AD，则AD⊥PQ
二、填空题
15．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和等于 度．
16．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB= °．
17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：
①CF平分∠ACD； ②AF=2DF； ③四边形ABCF是菱形； ④AB2=AD⋅EF
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．
19．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD．若CD=4，DE=1，则S△DFGS△BGC= ．
20．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5，…都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…都在正比例函数y=14x（x≥0）的图象上，且B2C1=2A2C1，B3C2=2A3C2，B4C3=2A4C3，…，连接A1B2，A2B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到ΔO1A2B2，ΔO2A3B3，ΔO3A4B4，…．若B12,0，B23,0，A13,1，则ΔO2023A2024B2024的面积为 ．
21．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
22．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
23．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点．若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
24．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是0，0、3，0、1，2．则顶点B的坐标是 ．
三、解答题
25．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．求证：
(1)∠1=∠2；
(2)△ABE≌△CDF．
26．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH=ME．
27．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①，求证：AE+EC=BF；
(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．
28．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S矩形ABCD=20时，则BE⋅CF=______．
（2）如图，在菱形ABCD中，csA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD=24时，求EF⋅BC的值．
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．
(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC=AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
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