山东省德州市2024届高三下学期收心联考数学试卷(含答案)

这是一份山东省德州市2024届高三下学期收心联考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则( )
A.iB.C.D.1
3．某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动,其中物化生､政史地､物化政三种组合人数之比为,这三个组合中分别有10%,6%,2%的学生参与此次活动,现从这三个组合中任选一名学生,这名学生参与此次活动的概率为( )
4．如图所示,某圆台型木桶(厚度不计)上下底面的面积分别为和,且木桶的体积为,则该木桶的侧面积为( )
A.B.C.D.
5．在中,点D在直线AB上,且满足,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.1B.C.D.
7．若正实数m,n满足,则( )
A.B.C.D.
8．已知球O的半径为2,三棱锥的顶点为O,底面的三个顶点均在球O的球面上,则该三棱锥的体积最大值为( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9．如图,在底面为正方形的四棱锥中,平面ABCD,,直线PC与平面ABCD所成角的正切值为,则下列说法正确的是( )
A.异面直线PB与CD所成的角为
B.异面直线PB与AC所成的角为
C.直线BD与平面PAB所成的角为
D.点D到平面PAC的距离为
10．若函数的导函数是偶函数,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于中心对称
B.有3个不同的零点
C.最小值为
D.对任意,,都有
11．已知M,N是抛物线上的两点,焦点为F,抛物线上一点到焦点F的距离为2,下列说法正确的是( )
A.
B.若直线MN的方程为,则
C.若的外接圆与抛物线C的准线相切,则该圆的半径为(为坐标原点)
D.若,M在x轴上方,则直线MN的斜率为
12．在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个实数,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数,为函数的不动点.现新定义:若满足,则称为的次不动点.设函数,若在区间上存在次不动点,则a的取值可以是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．在的展开式中,项的系数是__________.
14．已知圆与圆相交于A,B两点,当为直角三角形时,m的值为__________.
15．过点与曲线相切的直线与x轴的交点坐标为__________.
16．已知双曲线的左右焦点分别为,,过原点O的直线l交双曲线于A,B两点(A在第一象限),过A作x轴的垂线,垂足为M,则的最小值为__________.;若,则的面积为__________.
四、解答题
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求A;
（2）若的平分线交BC于D,且,求的最小值.
18．已知数列前n项和为,满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前100项和.
19．如图,已知三棱锥中,,,,E为BC的中点.
（1）证明:平面平面ABC;
（2）点F满足,求平面FAC与平面DAC所成角的余弦值.
20．为了开展“成功源自习惯,习惯来自日常”主题班会活动,引导学生养成良好的行为习惯,提高学习积极性和主动性,在全校学生中随机调查了名学生的某年度综合评价学习成绩,研究学习成绩是否与行为习惯有关.已知在全部人中随机抽取一人,抽到行为习惯良好的概率为,现按“行为习惯良好”和“行为习惯不够良好”分为两组,再将两组学生的学习成绩分成五组:,,,,,绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若规定学习成绩不低于80分为“学习标兵”,请你根据已知条件填写下列列联表,并判断是否有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”;
（2）现从样本中学习成绩低于60分的学生中随机抽取2人,记抽到的学生中“行为习惯不够良好”的人数为X,求X的分布列和期望.
参考公式与数据:,其中.
21．已知椭圆的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆相切.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若不过点A的动直线l与椭圆相交于P,Q两点,若,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
22．已知函数,其中e为自然对数的底数.
（1）当时,判断函数在区间上的单调性;
（2）令,若函数在区间上存在极值,求实数a的取值范围;
（3）求证:当时,.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以.
故选:B
2．答案：D
解析：,
故,
故,故.
故选:D
3．答案：D
解析：设事件A为“这名学生参与此次活动”,
事件为“这名学生选择物化生组合”,
事件“这名学生选择政史地组合”,
事件为“这名学生选择物化政组合”,
则,,,
,,,
由全概率公式可知
.
故选:D.
4．答案：D
解析：设上下底面的的半径分别为,,高为,
所以,,故,
因为木桶的体积为,所以,
所以,解得:,
设圆台的母线长为l,如下图,
所以,
所以该木桶的侧面积为.
故选:D.
5．答案：A
解析：因为,
所以
故选:A.
6．答案：A
解析：由图可知,即,又,所以,
又关于对称,且,
因为且,所以,解得,所以,
所以,解得,所以,
所以.
故选:A
7．答案：C
解析：由题意若,则,所以,但这与矛盾,
所以不可能存在这种情况,
若,则,所以,即,但这与矛盾,
所以不可能存在这种情况,
所以只能,则则,所以,对比选项可知只有C正确.
故选:C.
8．答案：C
解析：如图,设点H为三棱锥底面外接圆的圆心,半径为r,
则棱锥的高,
设圆H内接三角形的任意一条弦AB,如图,,其中d是高,要使内接三角形面积最大,CH必垂直与AB,
即,设弦AB对应的圆心角为,则,,
因此,,
,,,
当,即时,,所以面积S单调递增,当,
即时,,所以面积S单调递减,
所以当,即时,最大,此时,
因此,半径为r的圆内接为正三角形时,面积最大,
此时,
,
当且仅当,即时等号成立.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：A选项,平面ABCD,,直线PC与平面ABCD所成角,,,,
以A为坐标原点,AB,AD,x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,设直线PB与CD所成的角大小为,则,
故,A正确;
B选项,,设直线PB与AC所成的角大小为,则,
故,B正确;
C选项,
可取为平面PAB的法向量,
设直线BD与平面PAB所成的角大小为,
则,
故直线BD与平面PAB所成的角为,C正确;
因为四边形ABCD为正方形,所以⊥,
又平面ABCD,平面ABCD,故,
因为,AC,平面PAC,
所以⊥平面PAC,故可取为平面PAC的法向量,
故点到面PAC的距离,D正确.
故选:ABD
10．答案：ABD
解析：因为,则,
又是偶函数,所以,即,
所以对任意的x恒成立,所以,解得,则,定义域为,
且,即为奇函数,
所以的图象关于中心对称,故A正确;
令,即,解得,,,
所以有3个不同的零点,故B正确;
因为,所以当或时,当时,
即的单调递增区间为,,单调递减区间为,
所以不存在最值,故C错误;
设任意,,则,,则,
又,
所以
,当且仅当时取等号,
所以对任意,,都有,故D正确;
故选:ABD
11．答案：ACD
解析：抛物线上一点到焦点F的距离为2,
所以,解得,故A正确;
则抛物线方程为,
由,解得,,则,故B错误;
因为的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点,而线段OF的中垂线方程为,又与抛物线的准线相切,则外接圆的半径为,故C正确;
如图所示:
,
设,则,,所以,
则,,故D正确;
故选:ACD
12．答案：AD
解析：根据题意,若在区间上存在次不动点,
则在区间上有解,
即,
即有解,
令,,则,
令函数,且单调递增,
当时,,所以在上单调递增,
,所以为偶函数,
所以在上单调递减.
,,
故,,
则.
故选:AD.
13．答案：189
解析：由题可得展开式的第项为.
令,则项的系数是.
故答案为:189.
14．答案：2
解析：与相减得,
,即直线AB的方程为,
圆的圆心为,半径为2,
因为为直角三角形,所以,
故M到直线AB的距离为,
所以,因为,解得.
故答案为:2
15．答案：
解析：设切点坐标为,
由,得,
则过切点的切线方程为,
把点代入切线方程得,,即,
因为,而在上单调递增,在上单调递减,
所以只有一个解,所以,
所以切线方程的斜率为,
所以切线方程为,令,解得.
故过点与曲线相切的直线与x轴的交点坐标为.
故答案:.
16．答案：8,
解析：由题及双曲线定义,可知,,,,则,
因轴,则,则当且仅当,M重合时,,即的最小值为8,
设,因,则,又A在双曲线上,则,
得,,则.
故答案为:8;.
17．答案：（1）
（2）9
解析：（1）,则,
由正弦定理可知:,
又,化简得,
即,
所以,,
即,因为,所以,从而;
（2）由题意可得:,
且,即,
化简得,即,
因为,,所以
当且仅当,即,时等号成立,
故的最小值为9.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,当时,,
所以,
当时,,
所以,
所以,,,,,
累乘得
所以,
当时也成立,所以.
（2）由（1）得,
所以
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,E为BC的中点,所以.
因为,,
所以和为全等的等边三角形.
所以.又因为E为BC的中点,所以.
又因为,平面ADE,所以平面ADE.
又因为平面ABC,所以平面平面ABC.
（2）不妨设,由（1）知,和分别为等边三角形,所以.
又因为,,E为BC的中点,所以,,.
在中,.
在中,,所以.
所以ED,EB,EA两两互相垂直.
以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.由题知,
,,,
所以,,,.
设平面ACD的一个法向量为.
则,即,令,则,,
所以,.
设平面ACF的一个法向量为.
则,即,令,则,,
所以,.
设平面FAC与平面DAC所成角为,则.
20．答案：（1）列联表见解析,有
（2）分布列见解析,
解析：（1）已知在全部100人中随机抽取一人,抽到行为习惯良好的概率为,
则100名学生中,行为习惯良好的有人,行为习惯不够良好的有人.
由频率分布直方图可知,行为习惯良好组中不低于80分的学生有人,
行为习惯不够良好组中不低于80分的学生有人
则列联表为:
,,
因为,所以有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”.
（2）行为习惯良好组中低于60分的学生有人,
行为习惯不够良好组中低于60分的学生有人,则X的可能值为0,1,2,
,,.
X的分布列为:
期望.
21．答案：（1）
（2）证明见解析,定点为
解析：（1）由题意,,则直线AF的方程为:
可知圆的标准方程为,
所以,则,从而
所以椭圆C的标准方程为.
（2）方法一:设,
若直线l的斜率不存在,设其方程为,则,所以
,所以
则直线l方程为:.
若直线l的斜率存在,设其方程为
由
,即
由韦达定理得:
,即
,整理得,
则直线l方程为:,即
综上所述,直线l过定点,该定点坐标为.
方法二:平移到原点,则椭圆方程为
设直线为,代入椭圆方程得
两边同时除以得到
得到,
所以,.
代入直线方程得.
所以直线过定点
向上平移1个单位以后,直线恒过定点.
22．答案：（1）在区间上单调递减
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）时,.
显然,在区间上单调递增.
所以,即.
所以在区间上单调递减.
（2）在上存在极值.
即在上有变号零点.
令.则
记,即与的图像在上有交点.
易知在上恒成立,所以在上为增函数
且,.
所以,从而
当时,存在唯一实数,使得成立
当时,在上单调递增;
当时,,在上单调递减.
所以为函数的极值,
综上,若函数在上存在极值,a的取值范围为.
（3）当时,要证,
即证.
令,显然.
令,
当时,;当时,.
所以在时单调递减;在时单调递增.
所以.
所以,即.
所以时,,得证.
行为习惯良好
行为习惯不够良好
总计
学习标兵
非学习标兵
总计
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
行为习惯良好
行习惯不够良好
总计
学习标兵
42
16
58
非学习标兵
18
24
42
总计
60
40
100
X
0
1
2
P