湖北省部分学校2024届高三上学期8月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分学校2024届高三上学期8月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,向量c满足,则( )
A.B.C.D.
4．下列函数,,,中, 函数值域与函数的值域完全相同的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5．等差数列中,是数列的前n项和,e是自然对数的底数,若,则( )
A.B.C.D.
6．已知,若,则( )
A.B.C.D.
7．如图, 已知圆柱底面半径为2,高为3, 是轴截面,E, F分别是母线,上的动点 (含端点), 过与轴截面垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆,当此交线是椭圆时,其离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,则,,的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．有3 台车床加工同一型号的零件, 第 1 台加工的次品率为 , 第2台加工的次品率为,第3台加工的次品率为,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的,,从混放的零件中任取一个零件, 则下列结论正确的是( )
A.该零件是第 1 台车床加工出来的次品的概率为0.06
B.该零件是次品的概率为0.036
C.如果该笭件是第3台车床加工出来的, 那么它不是次品的概率为0.98
D.如果该零件是次品,那么它不是第 1 台车床加工出来的概率为
10．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于直线对称
C.若函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称, 则可以为
D.函数为偶函数
11．下列说法正确的是( )
A.已知命题,则,
B.“函数是偶函数”的必要条件是 “函数满足 ”
C.已知随机变量服从正态分布,若,则
D.若,则三次函数有且仅有一个零点
12．端午节是中华民族的传统节日之一, 而粽子是端午节不可缺少的传统美食. 棕子是中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一, 其主要材料是糯米、馅料,一般用箬叶包裹而成,形状多样, 主要有角粽、塔宗、长综、三角粽、四角粽、枕头粽等, 其中塔粽的形状可以近似看成一个四棱锥. 现有一个塔棕,下列说法错误的是( )
A.在塔棕中,若,且,E,F分别为,的中点, 则
B.若塔棕是所有棱长均为的正棱锥, 现需要在这个塔粽内部放入一个牛肉丸子(牛肉丸子的形状近似地看成球),则这个牛肉丸子的最大体积为
C.若塔粽是底面边长为3的菱形,且,E为的中点,,若锐二面角的大小为,则直线与平面所成角的大小为
D.若塔粽的底面是平行四边形, 点S是侧棱上异于端点的一动点,则在侧棱上存在点F,使平面
三、填空题
13．若的二项展开式的各项的系数和为64 ,则其展开式的常数项为____________.
14．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一, 也称陀罗, 图 1 是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体, 其直观图如图 2 所示, 其中A是圆锥的顶点,B,C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心,且,, 底面圆的半径为1 ,则该陀螺的表面积______________.
15．已知圆,直线, 当圆C被直线l截得的弦长最短时, 直线l的方程为______________.
16．以下数表构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的 “杨辉三角形”.
该表由若干行数字组成, 从第二行起,每一行中的数字均等于其 “肩上” 两数之和, 表中最后行仅有一个数, 则这个数为__________.
四、解答题
17．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a, b, c,且满足.
(1)求角B;
(2)若,求周长的取值范围.
18．推进垃圾分类处理, 是落实绿色发展理念的必然选择, 也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解某居民小区对垃圾分类的了解程度, 随机抽取100名小区居民参与问卷测试,并将问卷测试的得分绘制成下面的频率分布表:
(1)将小区居民对垃圾分类的了解程度分为“不太了解 (得分低于60分)”和 “比较了解 （得分不低于60分)” 两类, 请先完成列联表,然后依据小概率值的独立性检验,分析小区居民对垃圾分类的了解是否与性别有关;
(2)从参与问卷测试且得分不低于80分的小区居民中, 按照性别进行分层抽样, 共抽取5人, 现从这5人中随机抽取3人作为环保宣传队长, 设3人中男性队长的人数为,求的分布列和期望.
时:.
19．如图,在四棱锥 中,四边形为菱形,,平面,且,点E是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上(不含端点) 是否存在一点M, 使得二面角的余弦值为?若存在, 确定点M的位置, 若不存在, 请说明理由.
20．已知正项数列满足;且对任意的正整数n都有成立,其中是数列的前n项和,t为常数.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,证明:数列的前n项和.
21．已知函数,.
(1)设函数,且对,成立,求m的最小值;
(2)若函数的图象上存在一点P与函数的图象上一点Q关于x轴对称,求的长.
22．直角坐标系中, 已知动点P到定点的距离比动点P到定直线的距离小1,记动点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)点S,T是曲线C上位于直线的上方的点, 过点S,T作曲线C的切线交于点Q, 若,证明:为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,,,.
2．答案：C
解析：依题意,,.
3．答案：D
解析：设.依题意可得
解得,,.
4．答案：B
解析：函数,的值域与函数 的值域完全相同.
5．答案：A
解析：
.
6．答案：B
解析：,,
,,
,
.
7．答案：A
解析：分析可知,与接近平行时, 交线接近是一个圆,离心率接近0；时,交线是一个长轴最大的椭圆,此时长轴,离心率,故离心率的取值范围是 .
8．答案：D
解析：,
为偶函数,在上单调递增,,
易知,对于与,同时取对数可得3.与,构造函数 ,则,令可得 ,
令可得,故在 上单调递增,在上单调递减,
即,化简得 ,又在上单调递增,
故,即得,
,即
9．答案：BC
解析：记来件A:零件为次品, 记本件:第i台车床加工的零件,
则,,
,
,
对于A,任取一个零件是第 1 台生产出来的次品概率为 , 故A错误;
对于B, 任取一个零件是次品的概率为,故B正确;
对于C, 如果该零件是第 3 台年床加工出来的,那么它不是次品的概率为, 故C正确;
对于D, 如果该零件是次品,那么它不是第1台车床加工出来的概率为,故D错误.
10．答案：AC
解析：
11．答案：ACD
解析：由命题的否定定义可知A正确;
由可得,即可得是偶函数,
又由是偶函数, 可得,当时,无法推出,
故“函数是偶函数”的充分条件是 “函数满足 ”,故B错误；
由正态分布的性质可知,对称轴为 ,由可得,故C正确;
,,
或恒成立,即在R上单调,
故三次函数有且仅有一个零点,故D正确.
12．答案：ABD
解析：
13．答案：20
解析：依题意, , 解得 ,
故展开式的通项公式为,
令,解得,故展开式的常数项为.
14．答案：
解析：已知底面圆的半径, 由,
,则,故该陀螺的表面积.
15．答案：
解析：由题意, 直线l的方程化为,
由 得
直线l过定点,要使直线l被圆C截得弦长最短,
只需与圆心的连线垂直于直线l,
,解得,
代入到直线l的方程并化简得.
16．答案：
解析：由题意得: 数表的每一行都是等差数列, 且第一行公差为 1 ,
第二行公差为 2 ,
第三行的公差为4,, 第n行的公差为,
即第2023行公差为,
故第一行的第一个数为:,
第二行的第一个数为:,
第三行的第一个数为:,
第四行的第一个数为:,
...
第n行的第一个数为: ,
由题意得数表中共有 2023 行,
第2023行只有一个数, 且这个数为:.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得,
即,
得 ,,.
(2)在 中,,,
,
,,
的周长
,
为锐角三角形,
,,
,
周长的取值范围为.
18．答案：(1)小区居民对垃圾分类的了解与性别无关
(2)
解析：(1)根据频率分布表得到列联表:
零假设为:小区居民对培圾分类的了解程度与性别无关,
根据列联表中的数据,经计算得到,
依据小概率值的独立性检验, 没有充分的证据推断不成立,
因此可以认为成立,即小区居民对垃圾分类的了解与性别无关.
(2)不低于80分的居民的样本中, 男性有9人,女性有6人,故抽取男性人,
抽取女性人,
的可能取值为1,2,3,
则,
,
,
分布列为:
的数学期望为:.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)平面,则,
连接,,则,则平面,
又平面,则平面平面.
(2)取的中点H,连接, 则,
依题意易知,,三条线两两互相垂直,以A为原点建立空间坐标系如图,
则,,,,,
设点,则,, ,其中,
点M在线段上,
(其中),
,
,
,
设为平面的法向量,
则$即
令,则 .
设为平面的法向量,
则即
令,则,
,,
即,
即, 即或(舍),
故存在点使得二而角的余弦值为.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,
,
,
,
,
,,即,
,
(2),
,
,,.
21．答案：(1)
(2)2
解析：(1),
则,
由得函数在上单调递增, 同理得函数在上单调递减,
,
由题意, 则,则m的最小值为.
(2)由题意的图象与函数的图像有交点P,
化为 有解,
设,则;
则由得 ,
得 ,
消去, 得 ,
显然;
当时, 方程无解;
当时, 方程无解;
故此方程的解为,即,
,则.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1) 由题意,动点P到定点 的距离与动点P到定直线的距离相等,
满足抛物线定义,则,得,
则C的方程为 ;
(2)设,
则,
,
则,
即,
过点 的切线的斜率为,
则切线的方程为 ,
同理切线的方程为.
联立方程组解得,
则,
,
则
代入,
得（定值）
得分
男性人数
6
10
19
6
5
6
3
女性人数
2
5
8
13
11
4
2
不太了解
比较了解
合计
男性
女性
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
合计
男性
35
20
55
女性
15
30
45
合计
50
50
100
1
2
3
p