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2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练4二次函数与一元二次方程不等式
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这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练4二次函数与一元二次方程不等式，共5页。
1.已知集合M={x|-4A.{x|-4C.{x|-22.二次函数f(x)的图象如图所示,则f(x-1)>0的解集为( )
A.(-2,1)
B.(0,3)
C.(-1,2]
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
3.关于x的方程ax2+(1-a)x-1=0,下列结论正确的是( )
A.当a=0时,方程无实数根
B.当a=-1时,方程只有一个实数根
C.当a=1时,方程有两个不相等的实数根
D.当a≠0时,方程有两个相等的实数根
4.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点中至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( )
A.[0,1]B.(0,1)
C.(-∞,1)D.(-∞,1]
5.(多选)若x2-x-2<0是-2A.1B.2C.3D.4
6.(多选)关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有( )
A.存在实数k,使得方程无实数根
B.存在实数k,使得方程恰有2个不同的实数根
C.存在实数k,使得方程恰有3个不同的实数根
D.存在实数k,使得方程恰有4个不同的实数根
7.(多选)已知函数f(x)=x2-2x-3,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的最小值为-4
B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.函数f(|x|)为偶函数
D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
8.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为-,49,且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是 .
9.若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是 .
综合提升组
10.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.-,-3B.[-6,-4]
C.[-3,-2]D.[-4,-3]
11.已知在(-∞,1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是 .
12.设函数f(x)=x2-ax+b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|20的解集;
(2)当b=3-a时,对任意的x∈(-1,0]都有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.
创新应用组
13.阅读下列材料,
求函数y=的最大值.
解 将原函数转化成关于x的方程,得(y-3)x2+(y-2)x+y=0,当y=3时,方程化为x+=0,解得x=-;当y≠3时,方程为一元二次方程,因为x为实数,所以Δ=(y-2)2-4(y-3)×y=-y+4≥0,所以y≤4,且y≠3.综上可得,y的取值范围是(-∞,4],所以y的最大值为4.
根据材料给你的启示,求函数y=的最小值.
14.已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围.
参考答案
课时规范练4 二次函数与
一元二次方程、不等式
1.C 由题意M={x|-42.B 根据f(x)的图像可得f(x)>0的解集为{x|-10的解集为(0,3).故选B.
3.C 当a=0时,方程为x-1=0,即x=1,故选项A错误;当a=-1时,方程变为-x2+2x-1=0,因为Δ=4-4=0,所以方程有两个相等的实数根,故选项B错误;当a=1时,方程变为x2-1=0,得x=±1,故选项C正确;当a≠0时,Δ=(1-a)2+4a=(1+a)2≥0,所以方程有两个实数根,故选项D错误,所以选C.
4.D 当m=0,令f(x)=0得,-3x+1=0,得x=,符合题意;当m>0时,由f(0)=1可知,若满足题意,则需得05.BCD 由x2-x-2<0得-16.AB 设t=x2-2x,方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0(*).当k>1时,方程(*)无实数根,故原方程无实数根.当k=1时,可得t=-1,则x2-2x=-1,原方程有两个相等的实数根x=1.当k<1时,方程(*)有两个实数根t1,t2(t1-1.因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x2-2x=t1无实数根,x2-2x=t2有两个不相等的实数根.综上可知A,B选项正确,C,D选项错误.故选AB.
7.ACD f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,最小值为-4,所以选项A正确;f(x)的对称轴为x=1,单调递增区间为(1,+∞),所以选项B不正确;令g(x)=f(|x|)=x2-2|x|-3,g(-x)=x2-2|x|-3=g(x),所以g(x)为偶函数,所以选项C正确;令h(x)=f(|x-1|)=(x-1)2-2|x-1|-3,f(|x-1|)=a零点转化为y=h(x)与y=a的交点,做出h(x)图像如下图所示:
图像关于x=1对称,当y=h(x)与y=a有四个交点时,两两分别关于x=1对称,所以x1+x2+x3+x4=4,所以选项D正确.故选ACD.
8.f(x)=-4x2-12x+40 设f(x)=ax+2+49(a≠0),方程ax+2+49=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-3,x1x2=,则|x1-x2|==2=7,得a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.
9.[2,+∞) 由函数f(x)的最小值为0,得a>0,且Δ=1-4ab=0,即4ab=1,且b>0.故a+4b≥2=2,当且仅当a=1,b=时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).
10.B 由于函数y=f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数y=f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由于函数y=f(x)在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均单调递增,所以函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增,所以2≤-3,解得-6≤a≤-4,因此,实数a的取值范围是[-6,-4],故选B.
11.[1,] 由于f(x)=x2-2tx+1的图像的对称轴为x=t,又y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,所以t≥1.
则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,
要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-t
又t≥1,故t的取值范围为[1,].
12.解 (1)因为不等式x2-ax+b<0的解集是{x|2所以
故不等式bx2-ax+1>0为6x2-5x+1>0.
解不等式6x2-5x+1>0,得其解集为x.
(2)当b=3-a时,f(x)≥0在区间(-1,0]上恒成立转化为x2-ax+3-a≥0在区间(-1,0]上恒成立,即a(x+1)≤x2+3在区间(-1,0]上恒成立,等价于a,则a≤min.
设t=x+1,t∈(0,1],设u=,则u==t+-2,
由对勾函数的单调性知当t∈(0,1]时,u关于t单调递减,
所以t+-2min=1+4-2=3,即实数a的取值范围为(-∞,3].
13.解 函数y=,
将原函数转化成关于x的方程,得(y-3)x2+(2y-1)x+y-2=0.
当y=3时,方程化为5x+1=0,
得x=-;
当y≠3时,方程为一元二次方程,
因为x为实数,
所以Δ=(2y-1)2-4(y-3)(y-2)=16y-23≥0,
所以y,且y≠3.
综上所述,y的取值范围是,+∞,即y的最小值为
14.解 (1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,有86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围是[86,+∞).
(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]时有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围是[-10,+∞).
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围是[118,+∞).
1.已知集合M={x|-4
A.(-2,1)
B.(0,3)
C.(-1,2]
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
3.关于x的方程ax2+(1-a)x-1=0,下列结论正确的是( )
A.当a=0时,方程无实数根
B.当a=-1时,方程只有一个实数根
C.当a=1时,方程有两个不相等的实数根
D.当a≠0时,方程有两个相等的实数根
4.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点中至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( )
A.[0,1]B.(0,1)
C.(-∞,1)D.(-∞,1]
5.(多选)若x2-x-2<0是-2
6.(多选)关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有( )
A.存在实数k,使得方程无实数根
B.存在实数k,使得方程恰有2个不同的实数根
C.存在实数k,使得方程恰有3个不同的实数根
D.存在实数k,使得方程恰有4个不同的实数根
7.(多选)已知函数f(x)=x2-2x-3,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的最小值为-4
B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.函数f(|x|)为偶函数
D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
8.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为-,49,且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是 .
9.若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是 .
综合提升组
10.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.-,-3B.[-6,-4]
C.[-3,-2]D.[-4,-3]
11.已知在(-∞,1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是 .
12.设函数f(x)=x2-ax+b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|2
(2)当b=3-a时,对任意的x∈(-1,0]都有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围.
创新应用组
13.阅读下列材料,
求函数y=的最大值.
解 将原函数转化成关于x的方程,得(y-3)x2+(y-2)x+y=0,当y=3时,方程化为x+=0,解得x=-;当y≠3时,方程为一元二次方程,因为x为实数,所以Δ=(y-2)2-4(y-3)×y=-y+4≥0,所以y≤4,且y≠3.综上可得,y的取值范围是(-∞,4],所以y的最大值为4.
根据材料给你的启示,求函数y=的最小值.
14.已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范围.
参考答案
课时规范练4 二次函数与
一元二次方程、不等式
1.C 由题意M={x|-4
3.C 当a=0时,方程为x-1=0,即x=1,故选项A错误;当a=-1时,方程变为-x2+2x-1=0,因为Δ=4-4=0,所以方程有两个相等的实数根,故选项B错误;当a=1时,方程变为x2-1=0,得x=±1,故选项C正确;当a≠0时,Δ=(1-a)2+4a=(1+a)2≥0,所以方程有两个实数根,故选项D错误,所以选C.
4.D 当m=0,令f(x)=0得,-3x+1=0,得x=,符合题意;当m>0时,由f(0)=1可知,若满足题意,则需得0
7.ACD f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,最小值为-4,所以选项A正确;f(x)的对称轴为x=1,单调递增区间为(1,+∞),所以选项B不正确;令g(x)=f(|x|)=x2-2|x|-3,g(-x)=x2-2|x|-3=g(x),所以g(x)为偶函数,所以选项C正确;令h(x)=f(|x-1|)=(x-1)2-2|x-1|-3,f(|x-1|)=a零点转化为y=h(x)与y=a的交点,做出h(x)图像如下图所示:
图像关于x=1对称,当y=h(x)与y=a有四个交点时,两两分别关于x=1对称,所以x1+x2+x3+x4=4,所以选项D正确.故选ACD.
8.f(x)=-4x2-12x+40 设f(x)=ax+2+49(a≠0),方程ax+2+49=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-3,x1x2=,则|x1-x2|==2=7,得a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.
9.[2,+∞) 由函数f(x)的最小值为0,得a>0,且Δ=1-4ab=0,即4ab=1,且b>0.故a+4b≥2=2,当且仅当a=1,b=时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).
10.B 由于函数y=f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数y=f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由于函数y=f(x)在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均单调递增,所以函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增,所以2≤-3,解得-6≤a≤-4,因此,实数a的取值范围是[-6,-4],故选B.
11.[1,] 由于f(x)=x2-2tx+1的图像的对称轴为x=t,又y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,所以t≥1.
则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,
要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-t
又t≥1,故t的取值范围为[1,].
12.解 (1)因为不等式x2-ax+b<0的解集是{x|2
故不等式bx2-ax+1>0为6x2-5x+1>0.
解不等式6x2-5x+1>0,得其解集为x.
(2)当b=3-a时,f(x)≥0在区间(-1,0]上恒成立转化为x2-ax+3-a≥0在区间(-1,0]上恒成立,即a(x+1)≤x2+3在区间(-1,0]上恒成立,等价于a,则a≤min.
设t=x+1,t∈(0,1],设u=,则u==t+-2,
由对勾函数的单调性知当t∈(0,1]时,u关于t单调递减,
所以t+-2min=1+4-2=3,即实数a的取值范围为(-∞,3].
13.解 函数y=,
将原函数转化成关于x的方程,得(y-3)x2+(2y-1)x+y-2=0.
当y=3时,方程化为5x+1=0,
得x=-;
当y≠3时,方程为一元二次方程,
因为x为实数,
所以Δ=(2y-1)2-4(y-3)(y-2)=16y-23≥0,
所以y,且y≠3.
综上所述,y的取值范围是,+∞,即y的最小值为
14.解 (1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,有86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围是[86,+∞).
(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]时有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围是[-10,+∞).
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围是[118,+∞).
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