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2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练39坐标法直线的倾斜角与斜率
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这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练39坐标法直线的倾斜角与斜率，共5页。
1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1B.k3C.k3D.k12.若经过P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率为1,则m等于( )
A.1B.4C.1或3D.1或4
3.若过两点M(3,y),N(0,)的直线的倾斜角为150°,则y的值为( )
A.B.0
C.-D.3
4.已知直线l的倾斜角为α,且0°≤α<135°,则直线l的斜率的取值范围是 .
5.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈∪,π,则k的取值范围是 .
6.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a,b的值.
7.已知矩形ABCD的两个顶点的坐标是A(-1,3),B(-2,4),若它的对角线的交点在x轴上,求另外两顶点C,D的坐标.
综合提升组
8.已知曲线y=x3-x2上一个动点P,作曲线在点P处的切线,则切线倾斜角的取值范围为( )
A.0,B.0,∪,π
C.,πD.
9.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.,2B.-∞,∪(2,+∞)
C.,+∞D.(-∞,2)
10.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .
11.已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
12.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围.
创新应用组
13.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,,则点P的横坐标的取值范围为( )
A.-1,-B.[-1,0]
C.[0,1]D.,1
14.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
15.求函数y=的最小值.
参考答案
课时规范练39 坐标法、直线
的倾斜角与斜率
1.D 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以02.A 由题意知kPQ==1,解得m=1.
3.B 由斜率公式知=tan150°,=-,∴y=0.
4.(-∞,-1)∪[0,+∞) 设直线的倾斜角为α,斜率为k.当0°≤α<90°时,k=tanα≥0;当α=90°时,无斜率;当90°<α<135°时,k=tanα<-1.故直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪[0,+∞).
5.[-,0) 当<时,tanα<1,故k<1.当<π时,-tanα<0,故-k<0.
综上可知,k∈[-,0)
6.解 由题意可知kAB==2,kAC=,kAD=,
所以k=2=,解得a=4,b=-3,
所以直线的斜率k=2,a=4,b=-3.
7.解 设对角线交点为P(x,0),则|PA|=|PB|,
即(x+1)2+(0-3)2=(x+2)2+(0-4)2,解得x=-5,
所以对角线交点为P(-5,0).
所以xC=2×(-5)-(-1)=-9,
yC=2×0-3=-3,即C(-9,-3);
xD=2×(-5)-(-2)=-8,
yD=2×0-4=-4,所以D(-8,-4).
所以另外两顶点的坐标为C(-9,-3),D(-8,-4).
8.B ∵y'=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴切线的斜率k≥-1,∴切线的倾斜角α∈0,∪,π.故选B.
9.A 由已知得kAP==2,kBP=如图,因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是故选A.
10.(-∞,-]∪[1,+∞)
(方法1)设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,则直线PA的斜率是kAP=1,
直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,-].
故斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
(方法2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
因为A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,所以(2k-1-k)(--k)≤0,
即(k-1)(k+)≥0,解得k≥1或k≤-
即直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
11.解 设点C的坐标为(x,y),AC的中点为D,BC的中点为E,则DE=AB.
因为AB与坐标轴不平行,所以D,E两点不可能都在x轴或y轴上.
线段AC的中点D的坐标为,线段BC的中点E的坐标为.
若点D在y轴上,则=0,即x=-3,此时点E的横坐标不为零,点E只能在x轴上,所以=0,即y=-5,此时C(-3,-5).
若点D在x轴上,则=0,即y=-7,此时点E的纵坐标不为零,点E只能在y轴上,所以=0,即x=2,此时C(2,-7).
综上可知,符合题意的点C的坐标为(-3,-5)或(2,-7).
12.解 (1)由斜率公式得kAB==0,kBC=
kAC=
倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
tan0°=0,∴AB的倾斜角为0°.
tan60°=,∴BC的倾斜角为60°.
tan30°=,∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为.
13.A 由题意知y'=2x+2.
设P(x0,y0),则在点P处的切线斜率k=2x0+2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-
14.16 依题意,设过点A,B的直线的方程为=1,又点C(-2,-2)在该直线上,所以=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,所以a<0,b<0.
所以ab=-2(a+b)≥4,从而0(舍去)或4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时,等号成立.故ab的最小值为16.
15.解 因为y=,
令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.
这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题.
借助于轴对称的知识,如图所示,作出A关于x轴的对称点A'(0,-1),连接BA'交x轴于点P,可知|BA'|即为|PA|+|PB|的最小值.
所以|BA'|=所以函数的最小值ymin=
1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1
A.1B.4C.1或3D.1或4
3.若过两点M(3,y),N(0,)的直线的倾斜角为150°,则y的值为( )
A.B.0
C.-D.3
4.已知直线l的倾斜角为α,且0°≤α<135°,则直线l的斜率的取值范围是 .
5.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈∪,π,则k的取值范围是 .
6.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a,b的值.
7.已知矩形ABCD的两个顶点的坐标是A(-1,3),B(-2,4),若它的对角线的交点在x轴上,求另外两顶点C,D的坐标.
综合提升组
8.已知曲线y=x3-x2上一个动点P,作曲线在点P处的切线,则切线倾斜角的取值范围为( )
A.0,B.0,∪,π
C.,πD.
9.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.,2B.-∞,∪(2,+∞)
C.,+∞D.(-∞,2)
10.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .
11.已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
12.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围.
创新应用组
13.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,,则点P的横坐标的取值范围为( )
A.-1,-B.[-1,0]
C.[0,1]D.,1
14.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
15.求函数y=的最小值.
参考答案
课时规范练39 坐标法、直线
的倾斜角与斜率
1.D 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0
3.B 由斜率公式知=tan150°,=-,∴y=0.
4.(-∞,-1)∪[0,+∞) 设直线的倾斜角为α,斜率为k.当0°≤α<90°时,k=tanα≥0;当α=90°时,无斜率;当90°<α<135°时,k=tanα<-1.故直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪[0,+∞).
5.[-,0) 当<时,tanα<1,故k<1.当<π时,-tanα<0,故-k<0.
综上可知,k∈[-,0)
6.解 由题意可知kAB==2,kAC=,kAD=,
所以k=2=,解得a=4,b=-3,
所以直线的斜率k=2,a=4,b=-3.
7.解 设对角线交点为P(x,0),则|PA|=|PB|,
即(x+1)2+(0-3)2=(x+2)2+(0-4)2,解得x=-5,
所以对角线交点为P(-5,0).
所以xC=2×(-5)-(-1)=-9,
yC=2×0-3=-3,即C(-9,-3);
xD=2×(-5)-(-2)=-8,
yD=2×0-4=-4,所以D(-8,-4).
所以另外两顶点的坐标为C(-9,-3),D(-8,-4).
8.B ∵y'=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴切线的斜率k≥-1,∴切线的倾斜角α∈0,∪,π.故选B.
9.A 由已知得kAP==2,kBP=如图,因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是故选A.
10.(-∞,-]∪[1,+∞)
(方法1)设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,则直线PA的斜率是kAP=1,
直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,-].
故斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
(方法2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
因为A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,所以(2k-1-k)(--k)≤0,
即(k-1)(k+)≥0,解得k≥1或k≤-
即直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
11.解 设点C的坐标为(x,y),AC的中点为D,BC的中点为E,则DE=AB.
因为AB与坐标轴不平行,所以D,E两点不可能都在x轴或y轴上.
线段AC的中点D的坐标为,线段BC的中点E的坐标为.
若点D在y轴上,则=0,即x=-3,此时点E的横坐标不为零,点E只能在x轴上,所以=0,即y=-5,此时C(-3,-5).
若点D在x轴上,则=0,即y=-7,此时点E的纵坐标不为零,点E只能在y轴上,所以=0,即x=2,此时C(2,-7).
综上可知,符合题意的点C的坐标为(-3,-5)或(2,-7).
12.解 (1)由斜率公式得kAB==0,kBC=
kAC=
倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
tan0°=0,∴AB的倾斜角为0°.
tan60°=,∴BC的倾斜角为60°.
tan30°=,∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为.
13.A 由题意知y'=2x+2.
设P(x0,y0),则在点P处的切线斜率k=2x0+2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-
14.16 依题意,设过点A,B的直线的方程为=1,又点C(-2,-2)在该直线上,所以=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,所以a<0,b<0.
所以ab=-2(a+b)≥4,从而0(舍去)或4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时,等号成立.故ab的最小值为16.
15.解 因为y=,
令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.
这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题.
借助于轴对称的知识,如图所示,作出A关于x轴的对称点A'(0,-1),连接BA'交x轴于点P,可知|BA'|即为|PA|+|PB|的最小值.
所以|BA'|=所以函数的最小值ymin=
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