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    江西省宜春市第九中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

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    这是一份江西省宜春市第九中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷,共10页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(每小题5分 共40分)
    1.已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点,始边在轴的非负半轴上,终边与单位圆相交于点,则( )
    A.B.C.D.
    2.若是第四象限角,则点在( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    3.已知,则( )
    A.B.C.D.
    4.若函数的最小正周期为,则的图象的一条对称轴方程为( )
    A.B.C.D.
    5.在直角坐标系中,角与角均以原点为顶点,以x轴的非负半轴为始边,则“与的终边相同”是“”的( )
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    6.设函数,将函数的图象先向右平移个单位长度,再横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得的图象与图象重合,则( )
    A., B., C., D.,
    7.下列直线中,与函数的图象不相交的是( )
    A. B. C. D.
    8.数学中处处存在着美,机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形.若线段AB长为2,则莱洛三角形的面积是( )
    A. B. C. D.
    二、多选题(每小题5分 共20分)
    9.下列说法正确的是( ) A.化成弧度是B.化成角度是
    C.化成弧度是D.与的终边相同
    10.若角是的三个内角,则下列结论中一定成立的是( )
    A. B. C. D.
    11.为了得到函数的图象,只需把正弦曲线上所有的点( )
    A.先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原米的,纵坐标不变
    B.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
    C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
    D.先将横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
    12.已知函数,则( ) A.函数为偶函数
    B.曲线的对称轴方程为,
    C.在区间上单调递 D.的最小值为
    三、填空题(每小题5分 共20分)
    13.已知弧长为的弧所对的圆心角为,则这条弧所在圆的半径为 .
    14.把函数图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象;再将图象上所有点向右平移个单位,得到函数的图象,则 .
    15.在平面直角坐标系中,动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动,点转一周的时间为12秒,若点的初始位置为,则经过秒钟,动点所处的位置的坐标为 .
    16.如图,已知长为,宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第四次时被小木块挡住,此时长方体木块底面与桌面所成的角为,求点走过的路程为 .

    四、解答题(17题10其余各题均为12分)
    17.已知角的终边在直线上,求的值.
    18.已知函数.
    (1)求函数的定义域;
    (2)求的值.
    19.在直角坐标系中,角的顶点与坐标原点重合,始边落在轴的正半轴上,终边与单位圆的交点为.
    (1)求的值;
    (2)求的值.
    20.已知函数.
    (1)求的单调递增区间;
    (2)求的最大值和取得最大值时相应的值.
    21.已知点是函数图象上的任意两点,,且当时,的最小值为.
    (1)求的解析式;
    (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再向左平移个单位得到的图象,若在区间上有最大值没有最小值,求实数的取值范围.
    22.函数的部分图象如图所示,该图象与轴交于点,与轴交于点为最高点,的面积为.
    (1)求函数的解析式;
    (2)若对任意的,都有,求实数的取值范围.
    参考答案:
    1.A
    【分析】根据终边所在的象限,可以分别求出正弦函数和余弦函数的值,代入即可.
    【详解】因为终边与单位圆交于点,则终边落在第二象限,
    所以,,.
    故选:A
    2.B
    【分析】根据的符号确定正确答案.
    【详解】由于是第四象限角,所以,
    所以在第二象限.
    故选:B
    3.D
    【分析】利用诱导公式化简可得所求代数的值.
    【详解】由诱导公式可得,
    故.
    故选:D.
    4.D
    【分析】根据三角函数的周期性求得,进而求得的对称轴.
    【详解】依题意,由,
    得,所以的图象的一条对称轴为,
    D选项正确,ABC选项错误.
    故选:D
    5.A
    【分析】根据充分与必要条件的定义,结合正弦值的定义判断即可.
    【详解】因为与的终边相同则,但当时与的终边可能相同或者关于轴对称,故“与的终边相同”是“”的充分而不必要条件.
    故选:A
    6.A
    【分析】利用逆向变换,将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,得到,即可求解.
    【详解】可以先将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,函数解析式变为,
    再向左平移个单位长度,得到的图象,
    又,所以,,
    故选:.
    7.C
    【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域,再逐项判断得解.
    【详解】函数中,,解得,
    函数的定义域为,
    显然,因此直线与函数的图象相交,
    直线与函数的图象不相交,A不是,C是;
    函数的值域为,因此直线,与函数的图象都相交,BD不是.
    故选:C
    8.C
    【分析】由题意,可先求解出正三角形扇形面积,再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.
    【详解】由已知得,
    则,故扇形的面积为,
    由已知可得,莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍,
    ∴所求面积为.
    故选:C.
    9.ABD
    【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC,根据终边相同的角的概念即可判断D.
    【详解】A:对应的弧度为,所以对应的弧度为,故A正确;
    B:1对应的角度为,所以对应的角度为,故B正确;
    C:对应的弧度为,故C错误;
    D:,,所以这两个角的终边相同,故D正确.
    故选:ABD
    10.AD
    【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
    【详解】对于A:,故A正确;
    对于B:,故B错误;
    对于C:,故C错误;
    对于D:,故D正确.
    故选:AD.
    11.AC
    【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.
    【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度,
    得到函数的图象,
    再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
    得到函数的图象,故A正确,B错误;
    先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
    得到函数的图象,再向右平移个单位长度,
    得到函数的图象,故C正确,D错误.
    故选:AC
    12.AC
    【分析】根据给定条件,利用余弦函数的图象性质,逐项判断得解.
    【详解】函数,则是偶函数,A正确;
    由,得,即曲线的对称轴方程为,B错误;
    当时,,而余弦函数在上递增,则在上单调递增,C正确;
    函数的最小值为,D错误.
    故选:AC
    13.
    【分析】根据弧长公式,把相应的值代入即可求出结果.
    【详解】由于,这条弧所在圆的半径为.
    故答案为:
    14.
    【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案.
    【详解】纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍变为,
    将图象上所有点向右平移个单位,
    可得.
    故答案为:
    15.
    【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角,再利用诱导公式即可得解.
    【详解】点转一周的时间为秒,则经过秒钟,转了,
    设点的初始位置坐标为,则,
    则经过秒钟,动点所处的位置的坐标为,
    即,
    所以经过秒钟,动点所处的位置的坐标为.
    故答案为:
    16.
    【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心,以为半径旋转,第二次是以为旋转中心,以为半径旋转,第三次是以为旋转中心,以为半径旋转,根据弧长公式计算后相加即可.
    【详解】
    第一次是以为旋转中心,以为半径旋转,
    此次点走过的路径是,
    第二次是以为旋转中心,以为半径旋转,
    此次点走过的路径是,
    第三次是以为旋转中心,以为半径旋转,
    此次点走过的路径是,
    点三次共走过的路径是,
    故答案为:.
    17.或.
    【分析】根据三角函数的定义计算即可.
    【详解】由题意可设角的终边上任意一点,
    则由三角函数的定义有,
    当时,,
    当时,.
    故或.
    18.(1)
    (2)1
    【分析】(1)令,求出定义域;
    (2)代入,结合诱导公式求值即可.
    【详解】(1)令 ,
    解得:,
    所以函数的定义域是;
    (2)由题知,
    所以.
    19.(1),
    (2)
    【分析】(1)直接由三角函数的定义求解即可;
    (2)直接通过诱导公式化简求值即可.
    【详解】(1)由题意,,
    由三角函数的定义得,,

    (2)由(1)知,
    .
    20.(1)
    (2)当时,函数取得最大值2
    【分析】(1)根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求解;
    (2)根据正弦函数的最值,利用整体代换法求解;
    【详解】(1)由,
    得.
    的单调递增区间是.
    (2),
    当,
    即时,函数取得最大值2.
    21.(1)
    (2)
    【分析】(1)根据可求得,根据当时,的最小值为,可得,即可求得;
    (2)根据三角函数的变换规则得到解析式,再由的取值范围,求出的范围,最后结合正弦函数的性质计算可得.
    【详解】(1)因为,所以、,
    依题意可得得,
    又∵当时,的最小值为,
    ∴,又,即,
    ∴.
    (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变得到,
    再向左平移个单位得到,
    当,所以,
    因为在区间上有最大值没有最小值,所以,
    解得,
    即实数的取值范围为.
    22.(1)
    (2)
    【分析】(1)根据三角形的面积求得,进而求得,利用点求得,从而求得的解析式.
    (2)先求得在区间的取值范围,根据绝对值不等式的解法化简不等式,根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
    【详解】(1)由题意可知:的面积,可得,
    所以周期,则,
    由,得,又,于是,
    所以;
    (2)由,则,得,
    即.由,得,
    即在上恒成立,
    亦即,
    因为,
    所以,解得,
    即实数的取值范围是.
    【点睛】方法点睛:利用函数图象与性质求得三角函数的解析式,其中往往是通过周期,用来进行求解,往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.
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