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江西省宜春市第九中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
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这是一份江西省宜春市第九中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分 共40分）
1．已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．若是第四象限角，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
5．在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．下列直线中，与函数的图象不相交的是（ ）
A． B． C． D．
8．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分 共20分）
9．下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．与的终边相同
10．若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
12．已知函数，则（ ） A．函数为偶函数
B．曲线的对称轴方程为，
C．在区间上单调递 D．的最小值为
三、填空题（每小题5分 共20分）
13．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 .
14．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则 .
15．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点转一周的时间为12秒，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为 ．
16．如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ．
四、解答题（17题10其余各题均为12分）
17．已知角的终边在直线上，求的值．
18．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值.
19．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最大值和取得最大值时相应的值．
21．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围.
22．函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.
【详解】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限，
所以，，.
故选：A
2．B
【分析】根据的符号确定正确答案.
【详解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故选：B
3．D
【分析】利用诱导公式化简可得所求代数的值.
【详解】由诱导公式可得，
故.
故选：D.
4．D
【分析】根据三角函数的周期性求得，进而求得的对称轴.
【详解】依题意，由，
得，所以的图象的一条对称轴为，
D选项正确，ABC选项错误.
故选：D
5．A
【分析】根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可.
【详解】因为与的终边相同则，但当时与的终边可能相同或者关于轴对称，故“与的终边相同”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
6．A
【分析】利用逆向变换，将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到，即可求解.
【详解】可以先将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，函数解析式变为，
再向左平移个单位长度，得到的图象，
又，所以，，
故选：．
7．C
【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域，再逐项判断得解.
【详解】函数中，，解得，
函数的定义域为，
显然，因此直线与函数的图象相交，
直线与函数的图象不相交，A不是，C是；
函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.
故选：C
8．C
【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.
【详解】由已知得，
则，故扇形的面积为，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为．
故选：C.
9．ABD
【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D.
【详解】A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确；
B：1对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；
C：对应的弧度为，故C错误；
D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.
【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数的图象，故C正确，D错误.
故选：AC
12．AC
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质，逐项判断得解.
【详解】函数，则是偶函数，A正确；
由，得，即曲线的对称轴方程为，B错误；
当时，，而余弦函数在上递增，则在上单调递增，C正确；
函数的最小值为，D错误.
故选：AC
13．
【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．
【详解】由于，这条弧所在圆的半径为.
故答案为：
14．
【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案.
【详解】纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍变为，
将图象上所有点向右平移个单位，
可得.
故答案为：
15．
【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角，再利用诱导公式即可得解.
【详解】点转一周的时间为秒，则经过秒钟，转了，
设点的初始位置坐标为，则，
则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，
即，
所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.
故答案为：
16．
【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可．
【详解】
第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
点三次共走过的路径是，
故答案为：．
17．或.
【分析】根据三角函数的定义计算即可.
【详解】由题意可设角的终边上任意一点，
则由三角函数的定义有，
当时，，
当时，.
故或.
18．(1)
(2)1
【分析】（1）令，求出定义域；
（2）代入，结合诱导公式求值即可.
【详解】（1）令 ，
解得：，
所以函数的定义域是；
（2）由题知，
所以.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）直接由三角函数的定义求解即可；
（2）直接通过诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）由题意，，
由三角函数的定义得，，
；
（2）由（1）知，
.
20．(1)
(2)当时，函数取得最大值2
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求解；
（2）根据正弦函数的最值，利用整体代换法求解；
【详解】（1）由，
得．
的单调递增区间是．
（2），
当，
即时，函数取得最大值2．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得；
（2）根据三角函数的变换规则得到解析式，再由的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，所以、，
依题意可得得，
又∵当时，的最小值为，
∴，又，即，
∴.
（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，
再向左平移个单位得到，
当，所以，
因为在区间上有最大值没有最小值，所以，
解得，
即实数的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.
（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
【详解】（1）由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
（2）由，则，得，
即．由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.
一、单选题（每小题5分 共40分）
1．已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．若是第四象限角，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
5．在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．下列直线中，与函数的图象不相交的是（ ）
A． B． C． D．
8．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分 共20分）
9．下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．与的终边相同
10．若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
12．已知函数，则（ ） A．函数为偶函数
B．曲线的对称轴方程为，
C．在区间上单调递 D．的最小值为
三、填空题（每小题5分 共20分）
13．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 .
14．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则 .
15．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点转一周的时间为12秒，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为 ．
16．如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ．
四、解答题（17题10其余各题均为12分）
17．已知角的终边在直线上，求的值．
18．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值.
19．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最大值和取得最大值时相应的值．
21．已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围.
22．函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.
【详解】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限，
所以，，.
故选：A
2．B
【分析】根据的符号确定正确答案.
【详解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故选：B
3．D
【分析】利用诱导公式化简可得所求代数的值.
【详解】由诱导公式可得，
故.
故选：D.
4．D
【分析】根据三角函数的周期性求得，进而求得的对称轴.
【详解】依题意，由，
得，所以的图象的一条对称轴为，
D选项正确，ABC选项错误.
故选：D
5．A
【分析】根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可.
【详解】因为与的终边相同则，但当时与的终边可能相同或者关于轴对称，故“与的终边相同”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
6．A
【分析】利用逆向变换，将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到，即可求解.
【详解】可以先将函数的图象先横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，函数解析式变为，
再向左平移个单位长度，得到的图象，
又，所以，，
故选：．
7．C
【分析】借助正切函数求出函数的定义域及值域，再逐项判断得解.
【详解】函数中，，解得，
函数的定义域为，
显然，因此直线与函数的图象相交，
直线与函数的图象不相交，A不是，C是；
函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.
故选：C
8．C
【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.
【详解】由已知得，
则，故扇形的面积为，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为．
故选：C.
9．ABD
【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D.
【详解】A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确；
B：1对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；
C：对应的弧度为，故C错误；
D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】结合三角形的内角与利用诱导公式逐项判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.
【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数的图象，故C正确，D错误.
故选：AC
12．AC
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质，逐项判断得解.
【详解】函数，则是偶函数，A正确；
由，得，即曲线的对称轴方程为，B错误；
当时，，而余弦函数在上递增，则在上单调递增，C正确；
函数的最小值为，D错误.
故选：AC
13．
【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．
【详解】由于，这条弧所在圆的半径为.
故答案为：
14．
【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案.
【详解】纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍变为，
将图象上所有点向右平移个单位，
可得.
故答案为：
15．
【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角，再利用诱导公式即可得解.
【详解】点转一周的时间为秒，则经过秒钟，转了，
设点的初始位置坐标为，则，
则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，
即，
所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.
故答案为：
16．
【分析】根据旋转的定义得到第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，根据弧长公式计算后相加即可．
【详解】
第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，
此次点走过的路径是，
点三次共走过的路径是，
故答案为：．
17．或.
【分析】根据三角函数的定义计算即可.
【详解】由题意可设角的终边上任意一点，
则由三角函数的定义有，
当时，，
当时，.
故或.
18．(1)
(2)1
【分析】（1）令，求出定义域；
（2）代入，结合诱导公式求值即可.
【详解】（1）令 ，
解得：，
所以函数的定义域是；
（2）由题知，
所以.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）直接由三角函数的定义求解即可；
（2）直接通过诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）由题意，，
由三角函数的定义得，，
；
（2）由（1）知，
.
20．(1)
(2)当时，函数取得最大值2
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求解；
（2）根据正弦函数的最值，利用整体代换法求解；
【详解】（1）由，
得．
的单调递增区间是．
（2），
当，
即时，函数取得最大值2．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得；
（2）根据三角函数的变换规则得到解析式，再由的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，所以、，
依题意可得得，
又∵当时，的最小值为，
∴，又，即，
∴.
（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，
再向左平移个单位得到，
当，所以，
因为在区间上有最大值没有最小值，所以，
解得，
即实数的取值范围为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.
（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
【详解】（1）由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
（2）由，则，得，
即．由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.
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