2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模数学（文）试题

这是一份2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模数学（文）试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知函数的值域为等内容，欢迎下载使用。

2024年普通高等学校招生全国统一考试
（第二次模拟考试）
文科数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C.-1 D.
3.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.从分别写有的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.-36或36 B.-36 C.36 D.18
8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的一个周期为
B.的最大值为
C.的图象关于点对称
D.在区间上有2个零点
9.在平面直角坐标系中，设，动点满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A.0 B. C. D.
11.设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线的离心率为，在第一象限存在点，满足，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的准线方程为，则实数的值为__________.
14.在中，的对边分别为，已知，则边__________.
15.若实数满足约束条件，则的最小值为__________.
16.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：
模型①：模型②：.
（1）根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
（2）根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）
18.（12分）
如图，在多面体中，是等边三角形，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
19.（12分）
已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）求函数的单调区间.
20.（12分）
己知椭圆过点，且焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.
21.（12分）
已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
（1）写出所有4的1增数列；
（2）当时，若存在的6增数列，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），
以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于两点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知.
（1）求不等式的解集：
（2）若的最小值为，正实数满足，求证.
2024年普通高等学校招生全国统一考试
（第二次模拟考试）
文科数学参考答案
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 14. 15. 16.
三､解答题：共70分.
17.（12分）
解：
（1）由表格中的数据，，
所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，
即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.
（2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为：
（万元）
18.（12分）
解：（1）证明：取中点，连接.
是等边三角形，为中点，
，
又，
平面，
又平面，
.
（2）连接，则，
由得，
又，
，
又平面
所以
19.（12分）
解：（1）函数定义域为，
因为是函数的极值点，
所以，解得或，
因为，所以.
此时，
令得，令得，
在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.
所以.
（2）
因为，所以，
令得；令得；
函数的单调减区间为，单调增区间为.
20.（12分）
解：（1）依题意有，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
联立，故
，
故，
由代替，得，
当，即时，，过点.
当，即时，
，
令，
直线恒过点.
当，经验证直线过点.
综上，直线恒过点.
21.（12分）
解：（1）由题意得，则或，
故所有4的1增数列有数列和数列1，3.
（2）当时，因为存在的6增数列，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.
所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为7
22.（10分）
解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数，），
所以，所以，.
即曲线的普通方程为
直线的极坐标方程为，则，
转换为直角坐标方程为
（2）直线过点，直线的参数方程为（为参数），
令点对应的参数分别为，
将代入，得，
则，故
23.（10分）
解：（1）①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，无解；
综上，不等式的解集为
（2）因为，
当且仅当时等号成立.所以，即.
.
当且仅当，即，时等号成立
序号
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
C
D
A
C
D
C
D
A
A