内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学（文）试题（原卷版+解析版）

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文科数学
注意事项：
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号梌黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，再求.
【详解】集合，，则，
所以.
故选：A.
2. 设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设复数，根据已知条件求出可得答案.
【详解】设复数，因为，
所以，又，解得，
因为复数所对应的点位于第四象限，所以，
所以.
故选：B.
3. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. 4B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三视图画出几何体的直观图，再利用三棱锥的体积公式求解.
【详解】由三视图画出几何体的直观图，如图所示：

由于，，两两垂直，且，则平面，所以该几何体的体积为.
故选：D
4. 已知是奇函数，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解.
【详解】由函数奇函数，可得，
解得，即函数，
又由函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，所以符合题意.
故选：D.
5. 某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列出所有可能，再找出符合要求的情况即可得.
【详解】设这几个球中，红球分别为、、，白球分别为、，
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、共二十种，
其中取到不同颜色球的情况有：
、、、、、、、、、、、共十二种，
故其概率为.
故选：C.
6. 正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助平面向量的线性运算与平面向量的数量积公式计算即可得.
【详解】
.
故选：D.
7. 设O是坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为P，则直线的倾斜角的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何概型的方法求解即可.
【详解】由题意，区域所表示的区域为边长为2的正方形.
设，，，，
则满足直线的倾斜角的的点在与内部与边上.
故概率为.

故选：B
8. 已知函数的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则在区间上的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用题目条件求出的解析式，然后讨论在上的单调性即可.
【详解】由条件知，，，
从而，，
所以，即，
又因为，故.
这说明，该函数在上递增，在上递减.
又，所以在区间上的最小值为.
故选：B.
9. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，易得点位于圆弧的中点时，最大，证明面，则即为与半圆面所成角的平面角，再解即可.
【详解】过点作于点，
因为面底面，面底面，面，
所以平面，
则，
当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点，
因为面底面，面底面面，
所以面，
所以即为与半圆面所成角的平面角，
在中，，
所以，
即与半圆面所成角的余弦值为.
故选：D.
10. 设，是正数，曲线关于直线对称，若取得最小值，则该直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得直线经过的圆心，即可得，结合基本不等式计算最值时的取等条件即可得.
【详解】由曲线关于直线对称，
故直线经过圆心，
可化为，
即该圆圆心为，即有，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故该直线的方程为，即.
故选：A
11. 已知等差数列中，，，设，则（ ）
A. 245B. 263C. 281D. 290
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出
【详解】等差数列中，由，，得公差，
则，显然当时，，当时，，
所以
.
故选：C
12. 已知双曲线的右焦点为，若关于渐近线的对称点恰好落在渐近线上，则的面积为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由点与点关于直线对称可得，，再由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】
设与渐近线的交点为，
由题意可知，，，
所以，
则.
故选：A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出直线l的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，
过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，
联立得：，则，
所以.
故答案为：.
14. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由程序框图代入计算，即可得到结果.
【详解】由程序框图可知，当时，，则，
当时，，
当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，则，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
15. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为40，且，则______.
【答案】9
【解析】
【分析】设出首项和公比，结合等比数列的性质，求解基本量即可.
【详解】设等比数列的公比为，等比数列的前4项和为40，
且，则，解得，故.
故答案为：9．
16. 已知函数，若存在唯一的零点，则k的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数确定函数单调性，分类讨论求解参数范围即可.
【详解】因为所以，
令，解得
所以当时，当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
又，，
当函数在上没有零点时，要使存在唯一的零点，
则必有，解得，此时，
易知函数有2个零点，分别为和，不满足题意；
所以函数在必有一个零点，要使存在唯一的零点，
则必有，解得.
综上k的取值范围为.
故答案为： .
【点睛】方法点睛:利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；
（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值中位数，并将日平均降低血压数值超过和不超过的患者数填入下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为这两种药物的疗效有差异？
附：，
【答案】（1）乙药的疗效更好，理由见解析
（2），列联表见解析
（3）没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异
【解析】
【分析】（1）根据茎叶图数据分析即可；
（2）根据茎叶图数据分析出中位数，即可得到列联表；
（3）计算出卡方，即可判断.
【小问1详解】
乙药的疗效更好．参考理由如下：
（ⅰ）用各自的平均数说明．
设甲药观测数据的平均数为，乙药观测数据的平均数为，
由茎叶图可知，，
，
因为，所以乙药的疗效更好．
（ⅱ）用茎2和茎3上分布的数据说明．
由茎叶图可知，用甲药有的患者日平均降低血压数值在20及以上，
用乙药有的患者日平均降低血压数值在20及以上，所以乙药的疗效更好．
（ⅲ）用各自的中位数说明．
由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值的中位数为，
用乙药的患者日平均降低血压数值的中位数为，所以乙药的疗效更好．
（ⅳ）用各自的叶在茎上的整体分布说明．
由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎1上，且关于茎1大致呈对称分布；
用乙药患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎2上，且关于茎2大致呈对称分布，
又用两种降压药患者日平均降低血压数值都分布的区间内，所以乙药的疗效更好．
【小问2详解】
由茎叶图可知内有个数据，内有个数据，内有个数据，，则中位数位于之间，
且内的数据从小到大排列为，，，，，，，，，，，，，，，
所以中位数．
列联表如下：
【小问3详解】
由于，
所以没有的把握认为这两种药物的疗效有差异．
18. 如图，在中，，D是斜边上的一点，，.
（1）若，求和；
（2）若，证明：.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出，进而得出是等边三角形及边长，进而可求解.
（2）在与中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.
【小问1详解】
由，，可得.
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
则或60°，又因为，故.
因此，又因为，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以.
【小问2详解】
证明：令，，，.
因为，则.
在与中，由余弦定理可得
消去，得，整理得，
所以，即.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.
（1）证明：平面，且；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，借助线面平行的判定定理可得线面平行，借助平行四边形的性质可得线线平行；
（2）由题意可得为的顶点D到边的高，为三棱锥的高，结合体积公式计算即可得.
【小问1详解】
因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，在中，，
所以，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以，
【小问2详解】
由题意可知，，，，
所以，故，
又，所以，所以为的顶点D到边的高，
因为平面，所以为三棱锥的高，
故.
20 设函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）证明：①当时，；
②当时，，当时，；
③当时，函数在单调递增.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增.
（2）①证明见解析；②证明见解析；③证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数判断函数单调性即可.
（2）构造函数法证明①，②，最后求当时，利用放缩法得到导函数的正负，得到原函数单调性，求解③即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
设，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
所以当时，；当时，，
因此，当时，在单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
①设，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即时，.
②设，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即；
当时，，即.
③当时，，
，设，则，
当时，
由①、②，得，
所以在单调递增；
所以，故在单调递增.
21. 已知椭圆：，是的一个焦点，是上一点，为的左顶点，直线与交于不同的两点，．
（1）求的方程；
（2）直线，分别交轴于，两点，为坐标原点；在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，H的坐标为和．
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，再结合椭圆的几何性质，解方程组即可求解；
（2）设点，表示出直线的方程，从而得到点的坐标，同理得到点的坐标，再由得到，坐标代入后结合题中条件进一步计算求出点的坐标即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，椭圆C的半焦距，
由得，
把D的坐标代入C的方程得，
由解得
所以C的方程为．
【小问2详解】
假设在轴上存在点H，使得．
设，由，可知，
所以，即，所以．
因为直线交椭圆C于P，Q两点，则P，Q两点关于y轴对称．
设，，（，且），
由题意得，则直线RP的方程为，令，得，
直线RQ的方程为，令，得，
因为，所以，
又因为在C上，所以，即，
所以，得．
当时，由，得，
，，
所以，，
所以，又，为锐角，所以，
所以，满足题意，同理当时，也满足题意．
所以，在轴上存在点H，使得，且H的坐标为和．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的普通方程为，曲线的普通方程为．
（1）写出的一个参数方程；
（2）若直线的极坐标方程为，且该直线与或有公共点，求的取值范围．
【答案】22. （为参数，）
23.
【解析】
【分析】（1）由题意直接三角换元结合的范围即可得的范围，由此即可得解；
（2）将直线的极坐标方程转换为普通方程，通过数形结合的方法分类讨论即可求解的范围.
【小问1详解】
：，设，，又，，
所以的参数方程为（为参数，）．
【小问2详解】
把，代入中，
得，即，
数形结合可知，若直线与有公共点，
则，

若直线与有公共点，当直线与相切时，有，结合图像可知得，
所以当时，直线与有公共点，

综上，当时，直线与或有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知．
（1）求不等式的解集；
（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将写成分段函数的形式，再分类讨论求解不等式即可；
（2）画出不等式组表示的平面区域面积，结合点到直线的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.
【小问1详解】
因为，
故当时，，得，
当时，，无解，
当时，，得；
综上，不等式的解集为或.
【小问2详解】
如图所示，做出不等式组
即所确定的平面区域（图中阴影部分），为四边形，
其中，，，，
设直线与y轴的交点为，则，
所以，
其中，．
求时，以线段BC为底，点A到BC的距离为高，
又，；
则可求得，所以．
超过
不超过
服用甲药
服用乙药
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
超过
不超过
服用甲药
7
13
服用乙药
13
7