最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第38讲 概率及四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第38讲 概率及四大分布:两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
【典型例题】
例1．下列命题中，错误的命题为
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
例2．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，因而这份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这份核酸再逐份检测，此时，这份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：
A．0.7B．0.2C．0.4D．0.5
例3．已知随机变量的分布列如下表所示
则当取最大值时，的值为
A．B．C．D．
例4．已知随机变量服从正态分布，且，则
A．0.84B．0.68C．0.32D．0.16
例5．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为
A．30B．60C．70D．140
例6．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则
A．B．
C．D．
例7．幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有件．
（1）若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记，则当为何值时，取得最大值．
例8．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求，和，；
（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）．
例9．袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望．
例10．我们知道，在次独立重复试验（伯努利试验）中，每次试验事件发生的概率均为，则事件发生的次数服从二项分布．事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，，2，3，，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，3，，那么 ．
【同步练习】
一．选择题
1．设随机变量的分布列为，2，3，4，，则下列说法错误的是
A．B．
C．D．
2．设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，，若的均值，则等于
A．B．0C．D．
3．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则等于
A．B．C．D．
4．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，，2，3，，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，3，，那么
A．B．C．D．
5．设只取两个值0，1，并且，，，则的最大值为
A．B．C．D．
6．盒中装有标记号码为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片（卡片除标记号码外，大小质地都相同），现从中任取两张卡片，取后不放回，直到取出两张卡片的号码之和不超过10时停止，用表示取卡片终止时取卡片的次数，则
A．B．C．D．
7．从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：
（a）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量；
（b）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量．
则
A．，B．，
C．，D．，
8．根据国家关于加强禁毒教育要求，龙港中学举办了“禁毒知识竞赛”，采用抽题问答形式．设抽题盒中道简单题，道中等题，道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得1分，抽中中等题并回答正确得2分，抽中难题并回答正确得3分．现在从盒子中取出1道题并回答正确，记所得分为．若，，则
A．B．C．D．
9．若随机变量，，且．点在椭圆上，的左焦点为，为曲线上的动点，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
10．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则
附：随机变量服从正态分布，，．
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
11．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，，其中，是关于数学期望和的表达式，由于记忆模糊，该同学只能确定，的具体形式是下列四个选项中的某一种，请你根据自己的理解，确定该形式为
A．B．C．D．
12．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则
A．B．
C．D．
二．多选题
13．若随机变量的分布列如表，则
A．B．C．D．
14．已知，随机变量的分布列如下，当增大时，
A．减小B．增大C．减小D．增大
15．已知．若随机变量的取值为，，，，且概率都为；随机变量的取值为，，，，且概率都为；随机变量的取值为，，，，且概率都为．下列说法正确的有
A．B．C．D．
16．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
17．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则
A．B．
C．D．
18．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数，其中的各位数中，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时
A．服从两点分布B．服从二项分布
C．的均值D．的方差
19．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如其中的各位数中，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时
A．服从二项分布B．
C．的期望D．的方差
20．掷一个不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是
A．B．
C．D．，，，中最大值为
21．设随机变量的分布列如表：
则下列说法正确的是
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足，2，，时，
22．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
23．一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则
A．随机变量服从二项分布B．随机变量服从超几何分布
C．D．
24．某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第1次正面朝上的点数为，2，，若“”，则算作中奖，现甲、乙、丙三人参加抽奖活动，记中奖人数为，下列说法正确的是
A．若甲第1次投掷正面朝上的点数为4，则甲中奖的可能情况有6种
B．若甲第3次投掷正面朝上的点数为6，则甲中奖的可能情况有20种
C．甲中奖的概率为
D．
25．“中小学生平安保险”是属于人身意外伤害保险的一种，是针对中小学生特点的一种保险．假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，则下列说法正确的有
A．发生意外伤害事故的人数服从二项分布
B．发生意外伤害事故的人数服从超几何分布
C．1000名学生一年内发生意外伤害事故的人数的期望为1
D．甲、乙两名学生一年内都发生意外伤害事故的概率为0.4995
26．下列随机事件中的随机变量不服从超几何分布的是
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数
27．甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出，2，个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
28．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行．私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度出发，下列说法中合理的有
参考数据：若，则，
，
A．若出门，则开私家车不会迟到
B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大
D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
29．已知随机变量服从正态分布，，若，则
A．B．
C．在上是增函数D．
30．设随机变量，，其中，则下列等式成立的有
A．
B．
C．在上是单调增函数
D．
31．袋中有4个大小和质地都相同的球，其中2个黄球，2个红球，现从袋中随机取球，每次取出1个，不放回，直到取到红球为止．设此过程中，取到黄球的个数记为，则
A．B．C．D．
32．将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用表示空盒子的个数，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
33．一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是
A．的所有可能取值是3，4，5B．最有可能的取值是5
C．等于3的概率为D．的数学期望是
34．设随机变量的分布列如表：
则下列正确的是
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可以为
C．当数列满足时，
D．当数列满足，2，时，
35．已知随机变量的分布列如表：
其中，则下列选项正确的是
A．B．C．D．
三．填空题
36．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望 ．
37．在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，设3位医生中相邻人数为（若互不相邻，则；有且仅有2人相邻，则；3人连在一起，则，2位护士中相邻人数为，记，则 ．
38．某同学从两个笔筒中抽取使用的笔，蓝色笔筒里有6支蓝笔，4支黑笔，黑色笔筒里有6支黑笔，4支蓝笔．第一次从黑笔筒中取出一支笔并放回，随后从与上次取出的笔颜色相同的笔筒中再取出一支笔，依此类推．记第次取出黑笔的概率为，则 ．
39．在2022年北京冬奥会志愿者选拔期间，来自北京某大学的4名男生和2名女生通过了志愿者的选拔．从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作，恰有两名男生的概率为 ．
四．解答题
40．2020年4月8日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有份核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份检测，则需要检测次；（2）混合检测，将其中，且份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这份核酸样本全为阴性，因而这份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就要对这份样本再逐份检测，此时这份核酸样本的检测次数总共为次，假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．
（1）假设有5份核酸样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检测方式，求恰好经过4次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率．
（2）现取其中份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为．
试运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
若，采用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总次数期望值更少，求的最大值．
参考数据：，，，，．
41．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的得分，求的所有可能取值，并求的概率；
（2）若小明先回答类问题，记为小明的得分，求的所有可能取值，并求每一个得分所对应的概率．
42．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利元，求的分布列，并求出均值．
43．由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中（A），这样的试验称为次独立重复试验，也称贝努利试验．
设随机变量为次独立重复试验中，事件发生的次数，则服从参数为，的二项分布，即，也即随机变量的分布列为，其中，，，1，2，，．
（1）在特殊情况时，证明：；
（2）在一般情况下，证明随机变量的数学期望为．
44．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布及数学期望．
45．袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，每次从袋中摸出一个球，若累计三次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束．
（1）若袋中共8个球，其中红球3个，白球5个，采用不放回摸球方式，记摸球结束后摸到红球的次数为，求随机变量的分布列．
（2）若袋中共有10个小球，且红球个数与白球个数之比为，采取有放回的摸球方式，若第四次摸球后停止摸球的概率大于第三次摸球后停止摸球的概率，求所有可能取值．
0
1
2
1
2
3
4
0
1
0.75
1
2
3
2020
2021
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1