株洲市第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份株洲市第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量,,若,则实数m的值为( )
A.B.C.D.6
2．已知等差数列中,,,则数列的公差为( )
A.4B.3C.1D.-1
3．过点且与直线垂直的直线l的方程为( )
A.B.C.D.
4．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则( )
A.B.2C.6D.4
5．在正四棱锥中,,,E为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知平行六面体中,,,,则( )
A.B.C.D.
7．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，•••其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是,，依此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码为( )
A.440B.330C.220D.110
8．已知椭圆的左右焦点分别为,,过的直线交椭圆C于A,B两点,若,点M满足,且,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知曲线,则( )
A.E关于原点对称B.E关于x轴对称
C. E关于直线对称D.为E的一个顶点
10．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并且满足条件,,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.的最大值为D.的最大值为
11．已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,直线交C于另一点N,若,则( )
A.直线的斜率为B.
C.D.直线的斜率为定值
12．直四棱柱的所有棱长都为2,,点P在四边形及其内部运动,且满足,则下列选项正确的是( )
A.点P的轨迹的长度为
B.直线与平面所成的角为定值
C.点P到平面的距离的最小值为
D.的最小值为-2
三、填空题
13．直线经过的定点坐标为__________.
14．已知等差数列的前n项和为,且,,则__________.
15．设,分别是椭圆的左、右焦点,若点P在椭圆上,且,则_______________.
16．点P在所在的平面外,且,,,当A到平面的距离最大时,的面积为__________.
四、解答题
17．已知正项等比数列,若,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．的顶点是,,.
（1）求边上的高所在直线的方程;
（2）求过点A,B,C的圆方程.
19．如图,在正四棱柱中,,,E、F分别为和的中点.
（1）证明：;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．如图,四边形为矩形,,且二面角为直二面角.
（1）求证：平面平面;
（2）设F是的中点,,,二面角的平面角的大小为,当时,求的取值范围.
21．已知正项数列前n项和为,满足,数列满足,记数列的前n项和为,
（1）求数列的通项公式;
（2）求满足不等式的正整数n的最大值.
22．已知F为抛物线的焦点,点P在C上,且满足.
（1）求点P的坐标及C的方程;
（2）设过点F的直线l与C相交于A,B两点,且l不过点P,若直线,分别交C的准线于S,T两点,证明：以线段为直径的圆恒过定点.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：B
解析：
3．答案：C
解析：因为直线的斜率为1,由题意,所求直线l的斜率为,
又直线l过点,所以由点斜式方程可知直线l的方程为:,
即,
故选:C
4．答案：D
解析：由双曲线,可得渐近线方程为,且右焦点为,令,解得,所以,
故选D.
5．答案：B
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：A
解析：设该数列为，我们将（即）作为，接下来两项， （即，）之和作为，接下来的3项（即，，）之和作为，
设第n组的项数为n，则n组的项数和为，
由题，，令，则且，
即N出现在第13组之后，第n组的和为，n组总共的和为，
若要使前N项和为2的整数幂，设，
则项的和应与互为相反数，
即，，
则，，
所以.
故本题正确为：A.
8．答案：B
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：AD
解析：
11．答案：AD
解析：
12．答案：ABD
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：3
解析：
15．答案：6
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）设正项等比数列的公比为,
由,可得,所以,
又由,可得,解得,可得,
所以,即的通项公式,.
（2）由,可得,所以,
且,
故数列是以1为首项,为公比的等比数列,
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）直线的斜率为,故边上的高所在直线的斜率为-1,
故边上的高所在直线的方程为,即;
（2）设圆的方程为,
将,,代入得,
解得,
故圆的方程为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：在正四棱柱中,以点A为坐标原点,
AD、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为,,则、、、,
所以,.
因为,所以,即.
（2）由,得,设平面的法向量,
则,令,得,,即.
设直线与平面所成角的大小为,
则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因二面角为直二面角,即平面平面,又,
平面平面,平面,则平面,
又平面,即得,
四边形为矩形,,则,即,
,平面,于是平面,平面,
所以平面平面;
（2）过E作平面,由（1）知平面,平面,故,
以E为原点,射线EB,,分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,
,,则,,,,
,,,,
设平面的法向量为,则,即,
则,
设平面的法向量为,则,即,
则,
由图可知二面角为锐二面角,
从而有,
而,则,,
所以.
21．答案：（1）
（2）6
解析：（1）由,①
当时,,解得（舍去）,
当时,,②
由①-②得,即,
因为,所以,
当时,由,得,矛盾,
所以,即,
所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以;
（2）由（1）得,
所以
,
,
由,得,
即,即,
令,
则
,
当时,,所以数列从第3项起是递减数列,
又,,,,
所以满足不等式的正整数n的最大值为6.
22．答案：（1）
（2）和
解析：（1）设点,点,则有,
则,
因为点P在C上,故,
解得：或（舍）,即,
所以点P的坐标为,方程为.
（2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在x轴上.
设直线l的方程为,代入,得
设点,,则,,
因为,所以,
直线的方程为,
令,得,所以点
同理,点,
设以线段为直径的圆与轴的交点为,
则,
因为,则,
即,
则,
解得：或,
故以线段为直径的圆所过定点为和.