【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（安徽专用）热点02方程与不等式（4种考向19种题型+重难通关练+培优争分练）-专题训练.zip

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安徽中考数学中方程与不等式部分主要考向分为四类:一、方程的性质与概念;二、方程的解及方程的解法;三、不等式（组）的性质及解法;四、方程与不等式（组）的应用题
主要考查类型是计算题和应用题;计算题一般都是常规题型，难度不大，但需要注意检查，防止因粗心导致的不必要错误，应用题这几年的题型比较新颖，难度不大;是中考必拿分数。所以，需要考生平时要加强对计算的训练，做应用题的时候需要认真审题，还要注意符合实际生活情况
考向一：方程的性质与概念
【题型1 等式的性质】
1．（2023•安庆一模）已知三个实数，，满足，，则下列结论正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023•安徽二模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【题型2 二元一次方程的定义 】
3．（2023•禹会区二模）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
【题型3一元二次方程的定义 】
4．（2023•庐江县模拟）下列方程是一元二次方程的是
A．B．C．D．
【题型4 根的判别式 】
5．（2023•蜀山区二模）一元二次方程有两个实数根，，那么一次函数的图象一定不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2023•包河区校级一模）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．B．C．且D．且
7．（2023•金安区校级二模）现规定：，例如，则方程的根的情况为
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．必有一个正数根
8．（2023•滁州二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．且D．且
9．（2023•怀远县二模）下列方程中，有两个相等实数根的是
A．B．C．D．
10．（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是
A．B．C．D．
考向二：方程的解及方程的解法
【题型5 一元二次方程的解 】
11．（2023•阜阳三模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为
A．3B．0C．D．或3
12．（2023•蚌埠二模）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为
A．0B．C．1D．2
【题型6 解一元二次方程-配方法】
13．（2023•庐阳区校级三模）解方程：．
【题型7 解一元二次方程-因式分解法 】
14．（2023•芜湖模拟）解方程：．
【题型8分式方程的解】
15．（2023•滁州二模）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ．
16．（2023•凤阳县二模）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【题型9分式方程的增根】
17．（2023•合肥模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为
A．1B．2C．3D．4
【题型10解分式方程】
18．（2023•六安三模）分式方程的解是
A．B．C．D．
19．（2023•黄山一模）方程的解是 ．
20．（2023•霍邱县一模）解方程：．
考向三：不等式（组）的性质及解法
【题型11不等式的性质】
21．（2023•蒙城县三模）若，则下列不等式不成立的是
A．B．C．D．
【题型12解一元一次不等式】
22．（2023•安徽）在数轴上表示不等式的解集，正确的是
A．
B．
C．
D．
23．（2023•蜀山区校级模拟）解不等式：．
24．（2023•安庆二模）不等式的解集为 ．
25．（2023•全椒县三模）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ．
【题型13解一元一次不等式组】
26．（2023•蚌山区三模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是
A．B．
C．D．
27．（2023•安徽三模）解关于的不等式组．
28．（2023•蜀山区校级模拟）解不等式组：．并在数轴上表示它的解集．
29．（2023•瑶海区校级模拟）不等式组的解集为 ．
考向四：方程与不等式（组）的应用题
【题型14一元一次方程的应用】
30．（2023•舒城县模拟）《九章算术》中有这样一个问题，原文如下：
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
大意为：
几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单位）
请解答上述问题．
31．（2023•安徽模拟）为了慰问北京冬奥会志愿者，某物流公司调用了卡车12辆和6辆分别从甲、乙两地运送慰问物资，其中10辆车到张家口赛区，8辆车到延庆赛区．已知每辆卡车从甲地运送物资到张家口赛区和延庆赛区的运费分别为40元和80元，从乙地运送物资到张家口赛区和延庆赛区的运费分别为30元和50元．设从甲地去往张家口赛区的卡车有辆．
（1）用含的代数式填表；
（2）若该公司共支付运费980元，求车辆的运输方案是如何安排的？
32．（2023•蚌山区三模）在举办“智慧大阅读”的某一项比赛现场，组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？
33．（2023•金安区一模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗翻酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？
【题型15二元一次方程组的应用】
34．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
35．（2023•合肥模拟）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？
36．（2023•宿州模拟）“绿水青山就是金山银山”，2023年3月12日是我国第45个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动．活动开始前对若干棵树苗进行分配．若4人合作种植一棵树苗，则还剩3棵，若3人合作种植一棵树苗，则还有2人未分到树苗．问共有多少棵树苗，多少学生？
37．（2023•芜湖一模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？
38．（2023•全椒县三模）某校为了丰富学生的课余生活，决定购买一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍．某商店的乒乓球拍和羽毛球拍的销售方案如下表所示：
已知购买10副乒乓球拍和10副羽毛球拍需要1000元，购买15副乒乓球拍和5副羽毛球拍需要900元．若张老师购买40副乒乓球拍，50副羽毛球拍，则需花费多少元？
39．（2023•迎江区校级三模）为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
（1）求，的值；
（2）第二次学校书店购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
【题型16一元二次方程的应用】
40．（2023•芜湖三模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
41．（2023•镜湖区校级一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的1.25倍，且甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少2天．
（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度．该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于800人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多6000人，求的值．
42．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【题型17分式方程的应用】
43．（2023•安庆模拟）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾桶，学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍．且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，求一个小号垃圾桶的价格．
44．（2023•雨山区校级二模）某校计划投资8万元建设几间多功能教室，实际上每间多功能教室的费用增加了，所以多花了4万元，但比原计划多建了一间多功能教室，求原计划每间多功能教室的费用是多少？
45．（2023•利辛县模拟）为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为，该工程队原计划平均每天修建公路，请用含，的代数式填表；
（2）若这条要修建的公路长度为，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
【题型18一元一次不等式的应用】
46．（2023•蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？
（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动．已知甲商品的进价为49元个，为保证打折后利润率不低于，至多可打几折．
47．（2023•龙子湖区二模）第24届冬季奥运会于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买2个小套装比购买1个大套装少用20元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元．
（1）求这两种套装的单价分别为多少元？
（2）某校计划用1500元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？
48．（2023•天长市校级二模）某校举行了“喜迎二十大”知识竞赛，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其中二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如表所示：
（1）请把表格填写完整（化成最简）；
（2）用含的代数式表示50件奖品所需总费用 （化成最简）；
（3）若奖品费用不高于500元，则一等奖奖品最多买多少件？
49．（2023•泗县校级模拟）某电器超市销售进价分别为每台200元、170元的，两种型号的电风扇，表格是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变）
（1）求，两种型号的电风扇的销售单价；
（2）该电器超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，若使销售获得的总利润不低于1455元，则种型号的电风扇应至少采购多少台？
50．（2023•禹会区模拟）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌、两款羽绒服来销售，若购买3件，4件需支付2400元，若购买2件，2件，则需支付1400元．
（1）求、两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？
（2）若个体户从淘宝网上购买、两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？
【题型19一元一次不等式组的应用】
51．（2023•安徽模拟）小明买2个活页本和3个中性笔共需21元；小华买3个活页本和2个中性笔共需19元．
（1）求活页本和中性笔的每个售价各是多少元？
（2）如果买活页本和中性笔共30个，其中活页本数量不少于20个，且不多于中性笔的3倍，有哪几种购买方案？
52．（2023•定远县模拟）某服装销售店到生产厂家选购，两种品牌的服装，若购进品牌服装1套，品牌服装1套，共需205元；若购进品牌服装2套，品牌服装3套，共需495元．
（1）求，两种品牌的服装每套进价分别为多少元？
（2）若品牌服装每套售价为150元，品牌服装每套售价为100元，根据市场的需求，现决定购进品牌服装数量比品牌服装数量的2倍还多3套．如果购进品牌服装不多于47套，且服装全部售出后，获利总额不少于1245元，问共有哪几种进货方案？哪种进货方案获利最多？最多是多少？
53．（2023•安徽模拟）某超市准备购进、两种品牌的书包共100个，已知两种书包的进价如下表所示，设购进种书包个且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为元．
（1）将表格的信息填写完整；
（2）如果购进两种书包总费用不超过4500元且购进种书包的数量不大于种书包的3倍，那么超市如何进货才能获利最大？并求出最大利润．
54．（2023•瑶海区三模）建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元．
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？
（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？
（建议用时：15分钟）
一．选择题（共4小题）
1．（2023•泗县二模）若，，为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
2．（2023•瑶海区三模）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
3．（2023•太湖县校级三模）一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．且
4．（2023•雨山区校级一模）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题）
5．（2023•无为市三模）关于的一元二次方程有一根为0，则 ．
6．（2023•金安区一模）方程的根是 ．
7．（2023•镜湖区校级二模）不等式的正整数解有 个．
8．（2023•定远县校级一模）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
9．（2023•六安三模）某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做5个，那么比计划少做了14个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？
10．（2023•怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：
租用甲种型号货车在限定里程内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元收费．租用乙种型号货车在限定里程内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元收费．设里程为千米．
（1）当时，用分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用．
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？
11．（2023•阜阳三模）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一道题：山田三亩，场地六亩共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：假如有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；有山田5亩场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请解答．
12．（2023•瑶海区校级模拟）近年来，妇女权益得到有力保障，参加养老保险（即城镇职工养老保险和城乡居民养老保险）的人数越来越多，2022年某地区参加养老保险的妇女共165万人，与2010年相比，增加了120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，求2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数．
13．（2023•肥东县模拟）随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加．某小区物业统计2023年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2021年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
（1）求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
（2）若2023年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量．
14．（2023•蚌山区校级二模）某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加，3月份的游客人数比2月份减少了．
（1）设该风景区1月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：
（2）求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率．
15．（2023•岳西县校级模拟）甲、乙两个服装厂都接到了生产同一种型号的医用防护服的任务．已知甲服装厂每天生产的数量是乙服装厂每天生产数量的1.5倍，它们同时生产600套防护服，甲服装厂比乙服装厂少用5天．
（1）求甲、乙两个服装厂每天各生产多少套这种医用防护服．
（2）已知甲、乙两个服装厂生产这种防护服每天的生产费用分别是1500元和1200元，现有3000套这种防护服的生产任务，甲服装厂单独生产一段时间后另有安排，剩余任务由乙服装厂继续完成．如果总生产费用不超过78000元，那么甲服装厂至少生产了多少天？
16．（2023•庐阳区校级一模）合肥市某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为．
【观察思考】
当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③；；以此类推．
【规律总结】
（1）按图示规律，第一个图案（图②的长为 ，第五个图案的长为 ；
（2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为为正整数），则 （用含的代数式表示）；
【问题解决】
（3）若要使走廊的长不小于72，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？
（建议用时：20分钟）
一．选择题（共2小题）
1．（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
2．（2023•沂源县一模）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为
A．B．1C．3D．9
二．填空题（共1小题）
3．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数是方程的根，则的值为 ．
三．解答题（共11小题）
4．（2023•银川校级四模）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书？
5．（2023•石家庄模拟）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
6．（2023•沛县模拟）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为．
注：步数平均步长距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
7．（2023•东阿县二模）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？
8．（2023•黄州区校级二模）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了9200元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？
（2）商店按照进价提高标价，要使利润不低于10920，请问最少是多少？
9．（2023•东平县三模）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
10．（2023•南岗区校级一模）开学初，小芳和小亮去商店购买学习用品，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元．
（1）求每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
（2）学校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给小芳，再次购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖励给校运动会中表现突出的同学，经双方协商，商店给出优惠是购买商品的总金额超出50的部分给打9折，请问小芳至少要买多少支钢笔？
11．（2023•沙湾区模拟）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买，两种花木共100棵绿化操场，其中花木每棵50元，花木每棵100元．
（1）若购进，两种花木刚好用去8000元，则购买了，两种花木各多少棵？
（2）如果购买花木的数量不少于花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
12．（2023•锦州模拟）某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．
（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？
（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
13．（2023•喀喇沁旗一模）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶．现某灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到灾区的、两地，由于两市通往、两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．
14．（2023•苍溪县一模）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号衣服9件，种型号衣服10件，则共需1810元；若购进种型号衣服12件，种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件型号衣服可获利18元，销售一件型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且型号衣服不多于28件．
（1）求、型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
满分技巧
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
满分技巧
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
满分技巧
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
满分技巧
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
满分技巧
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
满分技巧
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
满分技巧
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
满分技巧
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
满分技巧
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
满分技巧
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
满分技巧
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
满分技巧
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
满分技巧
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
满分技巧
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
张家口赛区
延庆赛区
甲地辆）
乙地辆）

支付运费（元

满分技巧
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
不足30副
30副及以上
乒乓球拍
按标价出售
每副优惠5元
羽毛球拍
按标价出售
按标价的8折出售
甲
乙
进价（元本）
售价（元本）
20
13
满分技巧
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
满分技巧
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
平均每天修建公路
完成全部工程所需天数天
原计划
实际


满分技巧
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价（单位：元）
15
12
8
数量（单位：件）


种型号
种型号
销售收入
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
满分技巧
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
品牌
购买个数（个
进价（元个）
售价（元个）
获利（元
50
60


40
55

起步价元
限定里程
超限定里程（元
甲
108
80
3
乙
180
100
2
月份
1
2
3
游客人数万人


项目
第一次锻炼
第二次锻炼
步数（步
10000
①
平均步长（米步）
0.6
②
距离（米
6000
7020
地
地
所需车辆数
甲市
4
7
乙市
3
5
所急需帐篷数（单位：千顶）
9
5