湖南省岳阳市第十五中学等名校2023-2024学年高一下学期开学联考数学试题

这是一份湖南省岳阳市第十五中学等名校2023-2024学年高一下学期开学联考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分 得分：______
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1．已知全集，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
★2．设，是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
4．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知实数a，b，满是恒成立，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
★6，八卦是中国古老文化的深奥概念，下图是一副太极八卦图、现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为a，中心为O，则下列选项中不正确的是（ ）
A．B．
C．和是一对相反向量D．
7．已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
★8．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设a，b，c，d为实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有（ ）
A．若，则函数至少有一个零点
B．存在实数a，k，使得函数无零点
C．若，则不存在实数k，使得函数有三个零点
D．对任意实数a，总存在实数k使得函数有两个零点
★11．已知等边的边长是1，G是其重心，D为边上一点，且，则能得到（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______．
13．若，，则______．
★14．已知平面单位向量，，㳻足，设，，向量与的夹角为，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
已知集合，．
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．
★16．（本题满分15分）
已知非零向量，满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）若，求．
17．（本题满分15分）
如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位，米）（在水面下则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系为．
（1）求A，，，K的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点?
（3）某时刻（单位：分钟）时，盛水W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中?
★18．（本题满分17分）
已知向量，满足，，．
（1）设向量和的夹角；
（2）设向量，，是否存在正实数t和k，使得?如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
19．（本题满分17分）
已知e是自然对数的底数，．
（1）判断函数在上的单调性，并证明你的判断；
（2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
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数学参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1．C 【解析】全集，，
∴．
2．B 【解析】由可知，，方向相同，，表示，方向上的单位向量，所以成立；由可得，共线同向，不一定有，反之不成立．
所以是成立的充分不必要条件．故选B．
3．A 【解析】余弦函数，为了得到函数的图象，则需要将的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，故选A．
4．C 【解析】函数的定义域为，故排除D选项；
令，解得或，所以函数有两个零点1，，
当时，，则，，
则，故排除AB选项，故选C．
5．C 【解析】由已知得，因为函数在R上单调递增，所以，即．故选C．
6．C 【解析】A项，由于，明显有，
故，A正确；
B项，，因为，且，所以，B正确；
C项，和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；
D项，，D正确．故选：C．
7．B 【解析】易知函数定义域为R，且∵
，所以为R上的奇函数，有，由，得，即，
因为a，b为正实数，则有，而，
当且仅当即时等号成立，所以，则的最大值为．
故选：B．
8．B 【解析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可．
对于A，当时，，方向可能不同，∴未必成立，A错误；
对于B，若，则，反向，∴，B正确；
对于C，只能说明，长度的大小关系，但，还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时，未必共线，D错误．
故选：B．
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．AD 【解析】由可得，，A正确；当，，，时，，B不正确；当，，，时，，C不正确；因为，所以，，，所以，所以，D正确．故选AD．
10．ABD 【解析】A：当时，，令，得，
在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：
由图象及直线过定点知函数至少有一个零点，故正确；
B：当，时，作出，的图象，
由图象知，函数无零点，故正确；
C：当，时，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：
由图象知：函数有三个零点，故错误；
D：当时，
当时，例如，
当时，例如，
由图象类比可知：对任意实数a，总存在实数k使得曲线与直线的图象有两个交点，所以函数有两个零点，故正确．
故选ABD．
11．ABD 【解】对A，因为，所以，
则，故A对；
对B，因为G为等边三角形的重心，
所以，故B对；
对C，因为，所以，则，故C错；
对D，因为，所以，
则．故D对．
故选ABD．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．1.2 【解析】由题意可得：，，
∵，∴．
13． 【解析】因为，则，，又因为，则，且，解得或（舍去），所以．
14． 【解析】由题意，∵，∴，即，∴，
∴，
∴当时，取得最小值，此时取得最大值为．故答案为：．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1），，，．
（2）当时，，即成立；
当时，成立．
综上所述，．
16．【解析】（1）∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴与的夹角为．
（2）∵，∴，
∵，又由（1）知，
∴，∴．
17．【解析】（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，，解得，，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中．
18．【解析】（1）因为，，，
所以，
因为，
又，
所以向量和的夹角为．
（2）假设存在正实数t和k，使得，
则，
整理得：．
因为，所以上式可化简为，
因为，即，所以或解得．
所以存在满足条件的t，其中t满足．
19．【解析】（1）函数在上单调递增，
证明如下：
任取，，且，
则，
因为，，且，所以，
所以，，，
故，即，所以在上单调递增．
（2）由题意得，，且对任意成立，
从而有时，恒成立．
又，则，所以．
因为对任意的恒成立，
即时，在上恒成立，
从而有，
即，成立，
因为，所以对于任意成立，
即，所以．
综上，实数a的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
A
C
C
C
B
B
AD
ABD
ABD