湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
6．A
【分析】根据圆柱体积和圆锥体积的计算公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】圆柱的体积为，圆锥的体积为，
设液体上方圆锥的底面圆半径为，高为，
作出圆锥的轴截面示意图如下所示：

则，，解得；
故液体上方圆锥的体积为，
所以瓶子中水的体积为.
故选：A.
B
【分析】计算的值，即可得解.
【详解】因为，
所以，估计以内的素数个数为.
故选：B.
A
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，
则有种分发方式．
故选：A．
11.BCD
【分析】利用累加法，分别求出，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有
，利用累加法，
得，得到；n=1成立
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有
，利用累加法，
得，得到,n=1成立
对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；
对于B，令，解得；令，解得；故B正确；
对于C，，则
，
整理得，，故C正确；
对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确；
故选：BCD
对D，，设平面ADE的法向量为，则，取b=1，则，，所以，由可知，，则，而平面，所以∥平面.故正确.
故选：BD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2 13. 52 14. ；
14.【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.
【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故；
奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，
奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
由全概率公式可得：.
故答案为：；
四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
(1) (2).
【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.
（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）由，得，
在中，，
在中，.（5分）
（2），
由余弦定理得，
，，
的周长为.（13分）
16.（本小题满分15分）
（1） （2）-15
【解析】（1）由题意知：，则，（4分）
当时，；当时，；
而，∴，.（8分）
（2），当时，当时，
故.（15分）
（本小题满分15分）
（1）略 （2）
【解析】（1）证明：在四边形中，，，，
所以，都为等腰直角三角形，即，
又因为平面平面，，平面平面，
所以直线平面，又平面，
所以，又，所以平面.（5分）
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
，则，，
因为直线与底面所成角的正切值为，所以在中，，∴.（9分）
设平面和平面法向量分别为，，易知可取，，
因为，，
所以，即，令，解得.
设所求二面角为，所以，∴.（15分）
18．（本小题满分17分）
(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出验证即可；
（2）变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
因为时，有极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在时有极大值，
所以；（5分）
（2）由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：.（7分）
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，.（17分）
19．（本小题满分17分）
(1)1 (2) (3)
【分析】（1）依据所给定义求解即可.
（2）直接利用定义求解即可.
（3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.
【详解】（1）．（4分）
（2），，，
故，，故．（9分）
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故．（17分）
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
D
D
A
B
A
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
BCD