湖南省永州市第一中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

永州一中2023年下期高一第一次月考试卷

数学

温馨提示：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并按规定贴好条形码.

3.请将全部答案填写在答题卡上.

一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算求解.

【详解】由得，又，

所以，

故选：C

2. 命题“，有实数解”的否定是（    ）

A. ，有实数解 B. ，无实数解

C. ，无实数解 D. ，有实数解

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，，有实数解的否定是，无实数解，

故选:C.

3. 下列四组函数中，其中表示同一函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数定义的三要素即可判断.

【详解】对于A，的值域为R，的值域为，故A错误；

对于B，，解析式，定义域，值域都相同，故B正确；

对于C，，的解析式不相同，故C错误；

对于D，的定义域为R，的定义域为，故D错误；

故选：B

4. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据根式和分式的性质，列不等式即可求解.

【详解】的定义域需满足，解得且，

故定义域为，

故选：C

5. 已知函数，若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图象，分类讨论即可求解值域求解.

【详解】，且，，

当，此时在单调递减，此时值域为，不符合要求，

当，此时在单调递减，此时值域为，符合要求，

当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，符合要求，

当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，而，不符合要求，

综上可得：，

故选：C

6. 对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】对任意的，记，则，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】对任意的，记，则，

若，则，即，则，

因为，，则，由不等式的基本性质可得，

所以，，所以，，即，

所以，“”“”；

若，如取，，则，故“” “”.

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C. 或 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案.

【详解】不等式的解集为，

可得是方程的根，

所以，且，解得，

由不等式可得，

由得，

所以，解得，

则不等式的解集为.

故选：B.

8. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（    ）．

A. 77 B. 49 C. 45 D. 30

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数.

【详解】集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示．

集合中有25个元素（即25个点），即下图中正方形内部及正方形边上的整点．

所以或或或或或或，共7个值；

所以或或或或或或，共7个值，

所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）．

故选C.

  【点睛】本题考查集合中的元素所表示的具体含义，关键在于理解新定义的集合中元素的构成，准确求出集合和集合所表示的点，借助平面直角坐标系更清楚地看出集合中元素的构成是解决此类问题的常用方法，属于难度题．

二、多选题（每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 已知集合，则下列式子正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出集合A，即可依次判断.

【详解】，

.

故选：ACD.

10. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；

对于B中，若，，

则，

所以，所以B不正确；

对于C中，若，则，

所以C正确；

对于D中，若，则，

所以D正确．

故选：ACD.

11. 下列说法正确的有（    ）

A. 当时，

B. 是的一个必要不充分条件

C. 已知函数定义域为，则函数的定义域为

D. 已知，，若，则实数m的范围是

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式即可求解A，根据必要不充分的判定即可求解B,根据抽象函数的定义域即可求解C，根据集合交集为空集时的范围，即可求解不为空集的范围，进而判断D.

【详解】当时，则，故，所以，当且仅当时取等号，故A错误，

不能得到，而必然可得，所以是的一个必要不充分条件，B正确，

函数的定义域为，则函数的定义域满足，故，故的定义域为，C正确，

已知，，若，

当时，则，

当，此时，则需要或，无解，

综上可知当时，则，故时实数m的范围是，D正确，

故选：BCD

12. 若实数m，n>0，满足．以下选项中正确的有（    ）

A. mn的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最小值为5 D. 的最小值为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据来验证A项

展开基本不等式求解B项.

把用来表示得

验证C项.

证明，然后验证D

【详解】根据基本不等式

当且仅当时有最大值，所以A正确.

当且仅当时有最小值为，所以B不正确.

令则

又因为当且仅当时取得最小值，所以的最小值为，所以C不正确.

又根据基本不等式当且仅当时取得等号，所以即

当且仅当时取得等号.

所以的最小值为.故D正确.

故选：AD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知函数，则_____.

【答案】6

【解析】

【分析】赋值求出答案.

【详解】令得，故.

故答案为：6

14. 已知则的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的性质求解即可.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于中等题.

15. 已知，，且，则实数a的取值范围为_________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据子集关系，对集合分类讨论，结合判别式即可求解.

【详解】由于，若,则，解得，

若，则，此时无解，

若中只有一个元素，则时，，则满足题意，

或者，此时方程的根为,故满足题意，

综上可知：或，

故答案为：或

16. 已知a，b，c为正整数，方程的两个实根为，，且，，则的最小值为________________.

【答案】11

【解析】

【分析】分析出，结合根的判别式得到，取时，求出取得的最小值为11，当时，，从而求出答案.

【详解】因为，，又，a，b，c为正整数，

所以，

又，故，

令，

因为方程有两个不相等的实数根，故，

依题意，可知，故，

又a，b，c为正整数，取，则，，

所以，.

从而，所以

又，所以，因此能取到最小值，

最小值为，

下面可证时，，从而，所以，

又，所以，所以.

综上可得，的最小值为11.

故答案为：11

四、解答题（第17题10分，其余各题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17. 设集合，.

（1）若，求；

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由分式不等式的求解化简集合，即可由集合的并运算求解，

（2）根据子集的包含关系，即可分两种情况求解.

【小问1详解】

由，解得，

所以

当时，，

【小问2详解】

，，

当时，满足题意，此时，解得；

当时，解得，

实数m的取值范围为.

18. （1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；

（2）已知，求的解析式；

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）设出，根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式；

（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.

【详解】（1）由题意，设函数为，

，

，

即，由恒等式性质，得，

，，

所求函数解析式为

（2）令，则，，

因，所以，

所以.

19. 已知实数，，，求

（1）的取值范围；

（2）的取值范围；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】对于（1），通过，得到，解出关于的不等式的解，从而得到的取值范围；对于（2），可以将通分，得到，通过求出的范围，从而得到的取值范围.

【小问1详解】

由基本不等式的定义可知，又

即，解得或（舍去）.

所以的取值范围为

【小问2详解】

由基本不等式的定义可知，又

即，解得得

所以，因为，所以

所以

所以的取值范围为

20. 已知命题，；命题，.

（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）或或

【解析】

【分析】（1）根据判别式即可求解,

（2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解.

【小问1详解】

由题意可知，得或

【小问2详解】

命题p为真命题时，

若时，显然满足，

当时，则，解得，

综上可得p为真命题时，；

当命题p真q假时，，解得；

当命题p假q真时，得或

所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或.

21. 五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量(单位:千辆/小时)与汽车的平均速度(单位:千米/小时)之间满足的函数关系（为常数），当汽车的平均速度为千米/小时时，车流量为千辆/小时.

（1）在该时间段内，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？

（2）为保证在该时间段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）当汽车的平均速度时车流量达到最大值。（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据题意求出，再利用基本不等式即可求出答案.

（2）根据题意列出不等式，解不等式即可.

【详解】（1）有题知：，解得.

所以，

因为，当且仅当时，取“”.

所以当汽车的平均速度时车流量达到最大值.

（2）有题知：，

整理得：，解得：.

所以当时，在该时间段内车流量至少为千辆/小时.

【点睛】本题第一问考查利用基本不等式求最值，第二问考查了二次不等式的解法，属于中档题.

22. 已知函数．

（1）解关于x的不等式；

（2）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.

（2）首先将题意转化为，再利用换元法结合基本不等式求解即可.

【小问1详解】

，即，

当时，即，解集为；

当时，

当，即时，，

因，所以解集为或.

当，即时，，

因为，所以解集为．

综上所述：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或.

【小问2详解】

，即，

因为恒成立，所以，

设，则，

所以，

因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，