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重难点突破13 多元函数最值问题（十二大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破13 多元函数最值问题
目录
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．
题型一：消元法
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为______.
例2．（2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数满足：，则的最大值为___________.
例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.
题型二：判别式法
例4．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.
例5．（2023·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．
例6．（2023·高一课时练习）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.
变式1．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数满足，则的最大值为________．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，且的最大值是，则___________.
题型三：基本不等式法
例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数的最大值是_____.
例8．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数满足，则的最大值为________.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正数，则的最大值为_________．
题型四：辅助角公式法
例10．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．
例11．的取值范围是 ．
题型五：柯西不等式法
例12．（2023·广西钦州·高二统考期末）已知实数，，（i＝1，2…，n），且满足，，则最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
例13．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知，，是正实数，且，则的最小值为______.
例14．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）已知，，则的最小值为______.
变式3．（2023·全国·高三竞赛）已知、、，且，，则的最小值为.
A．B．
C．36D．45
变式4．（2023·全国·高三竞赛）设为实数，且.则的最大值等于.
A．B．0C．D．
题型六：权方和不等式法
例15．（2023·甘肃·高三校联考）已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ .
例16．已知实数满足且，则的最小值是
例17．已知，则的最小值是 ．
变式5．已知，则的最小值是 ．
题型七：拉格朗日乘数法
例18．，，，求的最小值．
例19．设为实数，若，则的最大值是 ．
题型八：三角换元法
例20．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数，若，则的最大值是________
例21．（2023·浙江温州·高一校联考竞赛），则的最小值为______.
题型九：构造齐次式
例22．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，则的最大值是______.
例23．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
例24．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
题型十：数形结合法
例25．（2023·全国·高三专题练习）函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时，_____
例26．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型十一：向量法
例28．（2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．
例29．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.
例30．（2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量，满足，，则的最大值为__________．
题型十二：琴生不等式法
例31．（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对，都有，则有如下性质：．其中，，，， .若，则在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为________.
例32．（2023·全国·高三竞赛）半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是______．
例33．（2023·北京·高三强基计划）已知正实数a，b满足，求的最小值．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
重难点突破13 多元函数最值问题
目录
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．
题型一：消元法
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为______.
例2．（2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数满足：，则的最大值为___________.
例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.
题型二：判别式法
例4．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.
例5．（2023·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．
例6．（2023·高一课时练习）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.
变式1．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数满足，则的最大值为________．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）设，，若，且的最大值是，则___________.
题型三：基本不等式法
例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数的最大值是_____.
例8．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数满足，则的最大值为________.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正数，则的最大值为_________．
题型四：辅助角公式法
例10．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．
例11．的取值范围是 ．
题型五：柯西不等式法
例12．（2023·广西钦州·高二统考期末）已知实数，，（i＝1，2…，n），且满足，，则最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
例13．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知，，是正实数，且，则的最小值为______.
例14．（2023·江苏淮安·高二校联考期中）已知，，则的最小值为______.
变式3．（2023·全国·高三竞赛）已知、、，且，，则的最小值为.
A．B．
C．36D．45
变式4．（2023·全国·高三竞赛）设为实数，且.则的最大值等于.
A．B．0C．D．
题型六：权方和不等式法
例15．（2023·甘肃·高三校联考）已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ .
例16．已知实数满足且，则的最小值是
例17．已知，则的最小值是 ．
变式5．已知，则的最小值是 ．
题型七：拉格朗日乘数法
例18．，，，求的最小值．
例19．设为实数，若，则的最大值是 ．
题型八：三角换元法
例20．（2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数，若，则的最大值是________
例21．（2023·浙江温州·高一校联考竞赛），则的最小值为______.
题型九：构造齐次式
例22．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，则的最大值是______.
例23．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
例24．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
题型十：数形结合法
例25．（2023·全国·高三专题练习）函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时，_____
例26．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型十一：向量法
例28．（2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．
例29．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.
例30．（2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量，满足，，则的最大值为__________．
题型十二：琴生不等式法
例31．（2023·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对，都有，则有如下性质：．其中，，，， .若，则在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为________.
例32．（2023·全国·高三竞赛）半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是______．
例33．（2023·北京·高三强基计划）已知正实数a，b满足，求的最小值．
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