宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）

A．B．3C．1D．
4．已知各项不相等的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．64
5．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A．B．
C．或D．
6．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的（ ）

A．9B．7C．5D．3
7．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
8．设数列为等差数列，其前项和为，已知和是方程的两个根.若对任意都有成立，则的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．法国的数学家费马曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数时，找不到满足的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下.费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到年才由我国的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取、、、，则等式成立的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A．16B．32C．36D．48
二、填空题
13．某校需要大量志愿者协助开展工作.学校现有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各1名，则不同的安排方式种数是 种．(用数字作答)
14．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为 ．
15．函数在一个周期内的部分取值如下表：
则的最小正周期为 ； ．
16．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
三、解答题
17．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线长.
18．吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？
19．如图所示，直角梯形PABC中，，，D为PC上一点，且，将PAD沿AD折起到SAD位置．
(1)若，M为SD的中点，求证：平面AMB⊥平面SAD；
(2)若，求平面SAD与平面SBC夹角的余弦值．
20．已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．
(1)求曲线、的方程；
(2)经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．
21．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)已知点，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值.
23．设函数的最小值为t
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且，求证：.
参考答案：
1．B
【分析】
由函数有意义求得集合A，进而求出集合B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】
由，得，又，因此，
所以．
故选：B
2．A
【分析】
根据复数的类型求出，再根据复数代数形式的乘方与除法运算法则计算可得；
【详解】
因为复数为纯虚数，
所以且，解得，
又，，，，
则.
故选：A．
3．D
【分析】
运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案.
【详解】
根据图象，

根据平面向量基本定理，可知：，
所以，，
，
故选：D.
4．C
【分析】
根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得.
【详解】设等比数列的公比为，，
依题意，，
两式相除得，
解得或（舍去），
所以.
故选：C
5．D
【分析】
根据双曲线的定义进行求解即可.
【详解】设炮弹爆炸点为，
由题意可知：，
显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有，
可得：，于是有，
根据四个选项可知，只有选项D符合，
故选：
6．B
【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足是输出结果.
【详解】
按照程序框图运行程序，输入
满足，且，
所以，
继续运行；
满足，不满足，
所以，
继续运行；
满足，不满足，
所以，
继续运行；
满足，不满足，
，
继续运行；
满足，且，
所以，
继续运行；
不满足，输出
故选：
7．C
【分析】连接相交于点，取的中点，可得即为平面与平面的夹角，设，在中由余弦定理可得答案.
【详解】连接相交于点，连接，平面，
取的中点，连接，
因为，所以，
所以即为平面与平面的夹角，即，
设，则，所以，
，
在，由余弦定理得.
故选：C.
8．B
【分析】由韦达定理可求得，，结合对任意都有成立，即是前项和的最大值，则，从而可得数列的通项，即可得出答案.
【详解】解：∵和是方程的两个根，∴，.
设数列的公差为，
∵对任意都有成立，即是前项和的最大值，∴，
∴，，，，
当时，，当时，，若对任意都有成立，则.
故选：B.
9．B
【分析】
利用棱锥的体积公式得到的关系式，进而得到球的半径关于的关系式，利用三元基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，
则体积，所以，
设球的半径为，则，即，

则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以球的表面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得球的半径关于的关系式，从而利用三元基本不等式即可得解.
10．B
【分析】任取、、、，则基本事件总数为，分别列出，，时满足的情况，然后利用古典概型的概率公式，即可求解
【详解】任取、、、，则基本事件总数为，
当时，由费马大定理知等式不成立，
当时，可取或，共种情况；
当时，等式即为，可取、、、、、、、、、，共种情况，
综上，使等式成立的基本事件个数为，故等式成立的概率为，
故选：B.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率，一般要求将基本事件列举出来，考查计算能力，属于中等题.
11．A
【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
设中点为H，则，，，
代入数据并整理得：，
等式两边同除以得：，解得：或(舍).
故选：A.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
12．A
【分析】
先判断的对称性、周期性，然后由进行转化，结合图象以及对称性求得正确答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，
由于，所以的图象关于对称，
，
所以是周期为的周期函数.
令，得，
函数的图象关于对称，的图象也关于点对称，
画出函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且交点关于对称，
所以所有零点和为.
故选：A
13．36
【分析】
分步完成，先安排男老师，再安排女老师即可．
【详解】
先安排男教师、再安排女教师，各有中安排方式，
故不同的安排方式共有种.
故答案为：36.
14．
【详解】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.
15． /0.5
【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果.
【详解】由图表知，当时，，当时，，所以，即,
又，，所以得到，又由，得到，又，所以，
故，所以，
故答案为：，.
16．
【分析】
根据给定条件可得，求得，再构造函数，利用导数即可求出最小值．
【详解】
函数的定义域为，求导得，
由函数有两个不同的极值点，则是方程的两个不等的正实根，
于是，且，解得，
依题意，
，
令，求导得，显然函数在上单调递增，
则，由不等式恒成立，得，
所以实数的最小值为.
故答案为：
【点睛】
结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
17．(1)
(2).
【分析】
（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
（2）根据三角形的面积求得，根据同角三角函数的基本关系式求得，利用正弦定理、向量数量积运算来求得边上的中线长.
【详解】（1）由正弦定理可得，所以，
即，又，
所以，
整理得，解得；
（2）依题意，，解得，
又，
所以为钝角，所以由,
解得，
由正弦定理可得，又，
所以，
设的中点为，则，
所以，
所以边上的中线长为.
18．(1)
(2)小李能进入决赛
【分析】
（1）分情况在中式面点和中式热菜中选择元素，再集合组合数公式和古典概率类型公式，即可求解；
（2）首先确定每道中式面点和每道中式热菜被评委认可的概率，再求解每轮通过的概率，最后转化为独立重复事件的期望问题，即可求解.
【详解】（1）设“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有：
①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为
②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为
③得到认可的中式面点和中式热菜各入选2道的概率为
所以；
（2）
由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为，每道中式热菜被评委认可的概率为，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，则 ，
∴，
∴小李能进入决赛.
19．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以O为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）梯形中，，，易知，
所以，而，所以为等边三角形，
∴，又∵，，
∴，面，，
∴面，∵面，
∴平面平面；
（2）由（1）知△为等边三角形，
∴为等边三角形，取AD的中点O，
得，，，∵，∴，
因为面，，∴面．
以O为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系，
得，，，
，，
设平面的法向量为，
∴得，
令，则，则．
取平面的法向量为，
．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
20．(1)，
(2)或
【分析】
（1）分析可知，曲线为抛物线，确定该抛物线的焦点坐标与准线方程，可得出曲线的方程，求出、的值，结合焦点位置可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程分别与曲线、的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）
解：由题意知，点到直线的距离等于，
所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为.
因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，，
所以，，所以，曲线的方程为.
（2）
解：若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为
由，整理得，则，
设、，则，，
所以，，则，
由，整理得，
则，
设、，则，，
所以，
，
因为，即，可得，解得，
所以，直线的方程为.
21．(1)
(2)
【分析】
（1） 由题意先求出，从而可求解.
（2）由对任意恒成立，构建，利用导数求出的单调性，从而可求解.
【详解】（1）
由题意得， 所以，
又因为 ，则切线方程为，
即.
（2）
由题意得对任意，恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，且，，
所以存在使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，不合题意；
当时，，单调递增，且，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，符合题意；
当时，得在上单调递增，
又，
所以，在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
当时，，单调递增，，不符合题意，
综上，正实数的取值集合为.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的关系求直线的直角坐标方程；消去参数得到曲线C的普通方程；
（2）先求出直线的参数方程，代入曲线中，得到韦达定理，再由根与系数的关系求出结果.
【详解】（1）将代入，得，
所以直线l的直角坐标方程为.
由曲线C的参数方程为，化为，
平方相加得曲线C的普通方程为.
（2）易得点在直线l上，
由此可得直线l的参数方程为（其中t为参数），
将其代入曲线C的普通方程中得，
设点M对应的参数为，点N对应的参数为，则，，
所以，一正一负，
所以.
23．(1)3；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分类讨论去中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取值范围，即可求解；
（2）由（1）得，利用已知等式有，再应用基本不等式，即可证明结论.
【详解】（1）（1）
当时，；当时，；
当时，，
所以当时，取最小值.
（2）由（1）可知，因为，，为正实数，
.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.